淺談高中數學不等式應用及學習策略

◎方異平

(湖北省大冶市第一中學，湖北 大冶 435100)

高中學生的數學成績差異非常明顯，學生對提高數學成績的意愿也相對較高，這也是課外輔導機構鼓吹數學成績重要性的籌碼從高考的角度分析，數學成績占比相對較高，并且數學的計算或者解題思維也會滲透到物理、化學、地理及生物等科目，促使學生、家長對數學都非常重視不等式的解題過程可體現學生的計算能力，并且可作為學生計算能力高低的有效參考等式計算的模式相對固定，但不等式的應用或者解題過程需要學生靈活變化思維，以一種動態的思維考察題目中各類元素的變化趨勢，將此類思維運用到基本初等函數的比較大小題目、函數與向量的最值問題以及圓錐曲線動點變化或者導數題目中參數范圍的求解過程中

一、高中數學不等式考查特點及題型分析

(一)選填題型分析

高中數學不等式的選填題型較為常見，是高考的必考題型，但此類題目的靈活性比較強，可與各知識模塊相結合，常見的結合方式包括集合求解范圍、對數比較大小、函數不等式以及線性規劃等此類題目的題干往往比較簡單，類似以下例題1和例題2此種類型但此類題型的規律性較強，并且作為選填題目，對學生知識總結能力及靈活變通能力的考查也相對較高學生在解答此類題目時，可借助一些規律減少計算量，甚至直接通過答案的特點確定正確答案但正是由于此類題目的出題方式比較靈活，如果題目難度增加，也會作為選填題中的壓軸題目出現，失分率往往較高學生在應用不等式時，應將不等式的解法和題目題干中的關鍵元素結合起來，通過知識定位以及題型模擬的方法確定解題思路但學生應清楚的是，此類題目的考查重點并非不等式，而是與題目所涉及的知識模塊的性質、定義相關，有時也需要學生進行大量的計算，但從整體角度分析，此類題型對不等式的考查依舊比較明顯，解題難度整體不高

1若2-2<3--3-，則( )

A.ln(-+1)>0 B.ln(-+1)<0

C.ln|-|>0 D.ln|-|<0

2若定義在的奇函數()在(-∞,0)單調遞減，且(2)=0，則滿足(-1)≥0的的取值范圍是( )

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

(二)大題題型分析

不等式在大題中的應用更為關鍵，一些題型對不等式的應用呈顯性特點，會在第二問直接給出不等關系，提問學生不等關系中包含的參數的取值范圍有些題目雖然并未給出不等關系，但在學生解題時，則需要根據題設條件構造不等關系，利用不等關系確定題目中參數的范圍，此類題目多在圓錐曲線以及導數部分出現，數列部分也有所涉及學生在應用不等式時，需要注意的是，為了確保不等式應用的準確性，不能思維定式由于不等式的具體形式和列式求解的辦法需要根據題目的已知條件確定，而已知條件往往需要經過變形之后方可使用，為此，學生在應用不等式或者自行構造不等式時，應對題設條件進行處理，避免受到題設條件誤導，出現思路上的問題另外，此類題目對學生解題經驗的要求相對較高，學生需要經過大量的練習和總結之后，方可確定構造不等式的具體形式以及數列放縮的因子等此類題型的常見形式如例題3和例題4所示

3已知等差數列{}的前項和為，+1->0，=3，且，，12+成等比數列

(1)求和；

二、高中數學不等式應用及解題方法分析

(一)以分類討論思想為基礎，注重參數分析

分類討論思想是高中數學解題中最常用的思想，此思想也會與轉化和化歸思想聯合使用，對題設條件進行變形，突出不等式的計算和解題過程在應用分類討論思想時，學生應重視分析不等式中包含的性質問題，包括函數單調性以及周期性等另外，由于此類題目需要分類討論，相對的計算過程也比較復雜特別是在涉及函數的對稱軸或者單調性時，學生一定要仔細畫圖，將函數圖像的變化規律明確反映在草稿紙上，這樣在涉及解集問題、函數零點個數問題時，可從圖中直接看出最終的結果，這也是提高不等式解題速度的有效方法之一下面通過具體的例題進行說明

5已知,∈且≠0，若(-)(-)(-2-)≥0在≥0上恒成立，則( )

A.<0 B.>0 C.<0 D.>0

解題過程大致為：

(1)當<0時，在≥0上，-≥0恒成立，∴只需滿足(-)(-2-)≥0恒成立，此時2+<，由二次函數的圖像可知，只有<0時，滿足(-)(-2-)≥0，>0不滿足條件

(2)當<0時，在[0,+∞)上，-≥0恒成立，∴只需滿足(-)(-2-)≥0恒成立，此時兩根分別為=和=2+

①當+>0時，此時0<<2+，當≥0時，(-)(-2-)≥0不恒成立；

圖1

②當+<0時，此時2+<，若滿足(-)(-2-)≥0恒成立，只需滿足<0；

圖2

③當+=0時，此時2+=>0，滿足(-)(-2-)≥0恒成立

圖3

綜上可知滿足(-)(-)(-2-)≥0在≥0恒成立時，只有<0，故選C

在解決這個題目時，學生需要首先篩選題目中的有效信息，包括主要的不等式和恒成立區間；在明確此類問題的基礎上，學生應思考題干中、、+對參數范圍的影響，進而以此作為分類的標準，擴展分類討論的計算過程由于此題分類討論的情況相對較多，雖然計算不難，但作為選做題目，難度依舊較高，學生在解題時需要格外小心，按部就班地在草稿紙上畫出不同情況之下對應的圖像，選擇符合題意的不等式范圍如果題目涉及函數的性質，學生應以函數的增減區間作為分類討論的分解標準，如上文中例題2所示，具體的解題過程不再贅述

(二)嚴格遵守不等式的應用條件，避免用錯

這里所說的不等式應用條件特指基本不等式的應用條件基本不等式是最為常見的不等式，但正是因為此類不等式較為常見，在實際的應用中相應的約束條件也較多尤其是在利用基本不等式求解最值類問題時，其約束條件相對固定，學生應背記清楚，避免出錯另外，在應用基本不等式時，有時也需要對不等式進行構造處理，目的是利用題設條件，但此類題目往往具有明顯的標志性前提，如“均為正數”“相加為1”等下面借助具體的例題進行說明

6已知正數，滿足2+=，則+2的最小值為( )

A.8 B.10 C.9 D.6

此類題目相對簡單，考查的知識相對基礎，但學生在應用基本不等式時，應明確不等式的應用條件，主要包括：①不等式各項均應為正數；②在求解題干中“和”的最小值時，學生需要將構成和的二項之積轉化成定值；在求解題干中“積”的最大值時，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；③在應用基本不等式時需要注意應對取等號值進行驗證，如果驗證等號值時發現不等式不成立，則此時的最值不可取，最值也就不存在了但這并不意味著題目的最值就真的不存在，而是需要變化其他解題思路，避開等號值常見的方法有畫圖、求導等在計算例題7時，學生需要靈活應用“1”的作用，進而將題設條件應用到不等式的構造過程中，借助基本不等式求解最小值

(三)建立完善的函數構造體系，廣泛刷題

導數與不等式題型是一類重要題型，題目難度較大，并且有時也會與數列知識、三角函數聯合，題目的計算量相對較大，往往作為壓軸題目出現，近些年考查的難度雖然有所下降，但整體計算量依舊不小，經驗性非常強，需要大量刷題，總結經驗在解答此類問題時，常常會用到構造函數的方法構造新函數，此類函數中的因子即為題目所求，不等式的變化目的也是突出所求參數的獨特地位在構造函數時，學生需要先明確經典構造模型的具體形式，仿照經典構造模型進行函數的構造，這樣可節省解題時間在構造了函數之后，往往需要對函數的單調性進行分析，分析的方法一般為求導，其間還需要聯合具體的函數圖像，對函數的單調性進行進一步的判斷下面結合具體的例題進行說明

8已知函數()=e-sin-cos,()=e+sin+cos

(2)若()=2+，求

三、高中數學不等式學習策略

數學作為高中教育階段的基礎性學科，同樣又體現在學生的日常生活中，具有明顯的實踐性特點其中，不等式的運算同樣是數學知識中最為貼近日常生活的板塊，并有著廣闊的應用范圍基于此，教師要掌握好不等式的應用方法，利用好不等式的優勢

(一)利用不等式的相關性質解決問題

在高中數學教學的過程中，教師首先可以通過不等式的應用來解決相關的性質問題高中階段的數學題中常常會出現某個特定不等式的范圍問題因此，通過對不等式的應用，便能夠借助其中的性質予以展開其中，包括同向、異向不等式兩邊相互加減進行多個不等式的結合，得到符合條件的數值但是，在這一過程中，需要把握好其中的細節應當明確的是，這樣一種應用僅僅是對不等式的轉化，而非針對不等式的等價變形因此，需要在過程中遵循不等式的規律，切實避免實際的取值范圍無形中增大而導致計算結果出現偏差

(二)利用不等式的特性求最值

一般認為，在不等式應用的過程中，最值問題是十分常見的一類問題，也是十分重要的問題那么，從比較常見的利用不等式進行最值計算的方式來看，主要包括了和積轉化方法、常數代換方法、函數單調性方法和配湊定值方法雖然在利用不等式進行最值計算時，看似簡單，但實際操作的過程中，仍很容易出現錯誤例如，在應用和積轉換方法的過程中，應當格外注意原等式同實際所求式子的關系，并同時做好整體性思維的運用雖然應用不等式進行最值計算是不等式十分廣泛的一種方法，但是在實際計算和應用的過程中，要把握好各項細節，以避免出現計算結果的數值偏大

(三)利用不等式的推理過程，培養學生的抽象思維

在高中數學不等式教學的過程中，教師首先可以通過對不等式的推理過程的應用，針對學生的抽象思維進行培養因此，這需要教師進一步關注不等式的推理過程在課程教學的過程中，教師應當積極營造出不等式的推理氛圍，啟發和引導學生針對下一步的未知環境進行合理想象同時，在學生參與學習的過程中，不能簡單地聽和看，要學會思考，尤其是針對教師的思維方式進行思考，結合教師的思維方式嘗試自己分析和推理，從而構建起抽象的思維，在不等式求解中針對抽象的規則加以充分利用

(四)利用初中與高中的連接，促進知識點的掌握

在高中數學不等式教學和應用的過程中，教師需要進一步把握好初中數學與高中數學的連接，進一步促進學生對相關知識點的掌握從很多學生的不等式認知情況來看，學生會將高中的不等式當作初中不等式的延伸和拓展由此可見，初中不等式同高中不等式之間往往也伴隨著一定的連貫性，并在二者的連接中形成了一個有機的整體系統因此，高中階段的不等式學習不僅僅是針對其中某一個具體章節的學習，更多的是通過高中階段的不等式學習來回歸整個初中階段的不等式學習，并以初中階段的不等式學習作為基礎和線索，激發學生在思想方面的共鳴，從而實現高中階段不等式學習能力的提升

(五)利用數學化歸思想，有效解決常見問題

在高中數學不等式教學和應用的過程中，教師也需要進一步利用好數學化歸思想在數學學科教學的過程中，數學思想的滲透是十分重要的數學思想的滲透和應用也不僅僅體現在某一個單一板塊的知識中，而是完全貫穿數學教學的始終從不等式教學中的數學思想來看，主要體現的是不等式中的“化歸思想”其中，“化歸思想”的核心則主要表現為在面對數學問題時，針對數學問題的運算步驟進行簡化因此，學生在學習的過程中，要切實學習好這一思想，并針對其進行熟練的應用，由此掌握面對數學問題時形成最為簡單的思路的方法，不斷減少數學問題解答的運算步驟和負擔壓力同時，通過數學思想的應用，也能夠在縮短解題步驟的基礎上，進一步降低學生的解題錯誤率，從而保證更為理想的解題準確率

(六)合理運用各知識點之間的聯系解決問題

在應用和學習不等式的過程中，教師同樣需要利用好各個知識點之間的聯系來引導學生解決數學問題在高中數學教學中，各個板塊的內容彼此之間并不是相互獨立的，而是相互聯系、相互依存的因此，在面對不等式問題進行解答的過程中，學生不能只結合本章節的知識來面對問題，而要對以往所學的數學知識做好整合，并把握好其中的本質和內涵，通過規律引入更好地面對不等式問題，從而掌握更準確、更輕松和更便捷的問題解答方式同時，通過各個數學知識、數學內容的結合，也能夠進一步體現出數學學科的教育價值

四、結束語

總之，不等式問題如果作為單獨題目出現，難度不會太高，但是當不等式與數列、函數及導數聯合出題時，其計算量會大大增加，難度也會增大為了解決此類問題：首先，學生一定要大量刷題，“題海”練習是提升數學成績的最有效方法；其次，學生在練習時，應注重對解題思路的分析和總結，勤看勤思考，將自己的解題思路與標準答案進行對比，學習標準答案的解題思路，逐漸積累解題經驗；再次，在臨近高考階段，學生一定要反復練習高考真題，從真題的練習中總結不等式題目的出題方式，以出題人的角度分析題目的構造方式，知己知彼，明確知識的具體應用原則與應用方法；最后，需要從解題思維的角度總結做題經驗，這樣方可適應高中數學的學習節奏，獲得理想的數學成績