基于認(rèn)知起點的小學(xué)數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)
——以蘇教版五下“分?jǐn)?shù)的意義”為例

◎談有英

(揚州育才實驗學(xué)校,江蘇 揚州 225000)

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程抽象是數(shù)學(xué)最基本的特征小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得概念、小結(jié)方法、探索規(guī)律、形成解題策略等都離不開抽象但在實際教學(xué)中，學(xué)生對于抽象的知識往往難以理解，有些學(xué)生盡管能記住抽象后的數(shù)學(xué)知識，卻沒有掌握方法數(shù)學(xué)抽象能力主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，能用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)語言表述的能力如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透抽象能力的培養(yǎng)，需要在教學(xué)之前悉知學(xué)生的認(rèn)知起點，從而巧妙構(gòu)思、設(shè)計課程內(nèi)容認(rèn)知起點，是學(xué)生已經(jīng)掌握的與新知學(xué)習(xí)相關(guān)的已有知識經(jīng)驗通過認(rèn)知起點的預(yù)測，可以了解學(xué)生的認(rèn)知水平，利于在教學(xué)過程中有針對性地構(gòu)建知識框架，滲透抽象能力的培養(yǎng)基于此，筆者在蘇教版五下“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)實施過程中：首先進行前期測試，依據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點；其次立足于認(rèn)知起點，精心設(shè)計教學(xué)設(shè)計方案，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

一、依據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點

朱永新教授說過：“要想把學(xué)生引到你需要的地方，你得知道學(xué)生現(xiàn)在在哪里”“分?jǐn)?shù)的意義”是蘇教版五年級下冊第四單元第一課時的教學(xué)內(nèi)容，主要引導(dǎo)學(xué)生抽象出單位“1”的概念，概括出分?jǐn)?shù)的意義學(xué)生在三年級接觸過分?jǐn)?shù)的意義：第一次學(xué)習(xí)時要求學(xué)生能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，知道把一個物體或一個圖形平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示；第二次學(xué)習(xí)時要求學(xué)生知道把一些物體看作一個整體平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)能表示出其中的一份或幾份那么我們的學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知起點究竟在哪兒呢？為了找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點，我們在試教班級進行了前測表1是“分?jǐn)?shù)的意義”的測試試卷及測試結(jié)果

表1 “分?jǐn)?shù)的意義”前測卷

通過表1可以看出，試題1的正確率較高，說明學(xué)生知道把一個物體、一個圖形或由幾個物體組成的整體平均分成幾份，其中的1份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示試題2的錯誤率為175%，通過作答結(jié)果發(fā)現(xiàn)，錯誤的產(chǎn)生不是因為學(xué)生涂色個數(shù)出錯，而是學(xué)生沒有首先進行平均分而直接涂色，并未理解分?jǐn)?shù)是先分后數(shù)產(chǎn)生的數(shù)第3題是一道主觀題，學(xué)生在描述自己所寫分?jǐn)?shù)的意義時約有55%的學(xué)生選擇了單個的物體，如一個圓、一塊餅，約有40%的學(xué)生選擇將許多物體組成的一個整體進行平均分，只有兩名同學(xué)選擇了將計量單位看作單位“1”進行平均分，因此學(xué)生在描述分?jǐn)?shù)概念時會出現(xiàn)不完善的現(xiàn)象由上述前測結(jié)果可以看出學(xué)生的認(rèn)知起點：會用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，能先分再涂表示分?jǐn)?shù)，但不知道一個計量單位也可以作為平均分的對象，在抽象單位“1”時較難擺脫具體事物、整數(shù)的影響，易混淆用來表示數(shù)量間倍比關(guān)系的分?jǐn)?shù)以及用來表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)；平均分的過程仍需加強；學(xué)生尚未建立正確的分?jǐn)?shù)認(rèn)知體系，思維方式還停留在整數(shù)部分，會將分子習(xí)慣性地視作物體的個數(shù)，簡化單位“1”的內(nèi)涵分?jǐn)?shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)中理解難度較大的一個部分，學(xué)習(xí)質(zhì)量直接關(guān)系著學(xué)生對其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)若學(xué)生具備較強的抽象思維能力，就能夠較好地理解分?jǐn)?shù)知識；若學(xué)生抽象思維能力較弱，則很容易被分?jǐn)?shù)本身的抽象、復(fù)雜弄得混亂，達到“談分?jǐn)?shù)色變”的懼怕地步

二、小學(xué)生與數(shù)學(xué)抽象能力

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，抽象是指去情境化的行為，即從具體的情境中進行元素與元素關(guān)系的提取，然后通過這樣的過程得到一個概念小學(xué)生更多習(xí)慣于應(yīng)用具象思維，在具體的情境中學(xué)習(xí)和理解知識，一旦沒有情境的支持，很多學(xué)生就無法有效理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)注重對學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)，以保證數(shù)學(xué)教學(xué)活動能夠順利開展，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和接受能力，讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)

任何一種思維能力的成長都應(yīng)循序漸進小學(xué)階段學(xué)生的抽象思維處于起步階段，這也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的最佳階段小學(xué)階段，學(xué)生需要從已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識中進行第一步抽象，從實物層面的數(shù)學(xué)計數(shù)抽象為半符號層面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也就是小學(xué)課堂上所說的“使用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)量關(guān)系”但小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力停留在這一步還不足以應(yīng)付小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，小學(xué)生需要開始嘗試通過假設(shè)、推理來建立法則和模型小學(xué)生的能力尚不足以完成假設(shè)推理的過程，但要能夠理解和接受數(shù)學(xué)家們假設(shè)推理的結(jié)果，并正確應(yīng)用這些結(jié)果若小學(xué)生不能順利完成這一能力成長，就很容易走上死記硬背學(xué)數(shù)學(xué)的歧途，越學(xué)越困難，越學(xué)越?jīng)]有信心

從上一點的測試分析可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知還比較表面，對于復(fù)雜且重要的單位“1”，學(xué)生們?nèi)鄙賹Ψ謹(jǐn)?shù)的正確理解，也缺少解決分?jǐn)?shù)問題的能力小學(xué)生普遍表現(xiàn)出對整數(shù)的偏向現(xiàn)象，對“1”的誤解，對“部分—整體”概念性關(guān)系的錯誤理解，究其原因主要有以下幾個方面：

第一，學(xué)生無法準(zhǔn)確區(qū)分分?jǐn)?shù)領(lǐng)域中的概念關(guān)系比如在“求一個數(shù)的幾分之幾”問題中，有的學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念掌握不到位；在“求比一個數(shù)多(或少)幾分之幾”的問題中，有的學(xué)生沒能抓住關(guān)鍵語進行轉(zhuǎn)化，推理能力不足，導(dǎo)致結(jié)果錯誤；在“已知一個數(shù)的幾分之幾，求這個數(shù)”問題中，有的學(xué)生沒能充分應(yīng)用線段圖等數(shù)形結(jié)合工具，或?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)除法的認(rèn)識不到位，得到錯誤的結(jié)果；在“已知比一個數(shù)多(或少)幾分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”問題中，有的學(xué)生被已知題干繞暈，沒能充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合工具來幫助理清思路，說明學(xué)生分析、整理、概括等方面的能力都有待加強

第二，教師在分?jǐn)?shù)教學(xué)中的開發(fā)不足，沒有從多方面解析分?jǐn)?shù)中單位“1”的不同，沒能輔助學(xué)生建立起分?jǐn)?shù)知識體系

第三，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣低，在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)上頻頻受到打擊后，對難度較大的分?jǐn)?shù)部分學(xué)習(xí)興趣更低

三、立足認(rèn)知起點，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力

通過對前測情況的進一步分析，我們知道學(xué)生的認(rèn)知起點即：會用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，能先分再涂表示分?jǐn)?shù)，但不知道一個計量單位也可以作為平均分的對象，在抽象單位“1”時較難擺脫具體事物、整數(shù)的影響，易混淆用來表示數(shù)量間倍比關(guān)系的分?jǐn)?shù)以及用來表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)，平均分的過程仍需加強基于此，我們試從積累豐富表象和建構(gòu)分?jǐn)?shù)模型入手，讓學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義有更深層次的理解與感知，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

(一)積累豐富表象，引導(dǎo)學(xué)生自主抽象出單位“1”

(二)建構(gòu)分?jǐn)?shù)模型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力

小學(xué)階段共安排了三次分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，三年級上冊、三年級下冊和五年級下冊，也就是說這是小學(xué)生在小學(xué)階段最后一次學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，我們有必要幫助他們建構(gòu)分?jǐn)?shù)的模型，完善其對分?jǐn)?shù)意義的整體認(rèn)知學(xué)生多次經(jīng)歷將單位“1”平均分的操作后，充分感悟到分?jǐn)?shù)是由“分”而產(chǎn)生的數(shù)單位“1”被平均分成的總份數(shù)即為分母，這樣的“一份或幾份”則是分子，而分?jǐn)?shù)恰是能表示這樣的“一份或幾份”與總份數(shù)之間的關(guān)系的數(shù)至此，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識有了質(zhì)的提升，實現(xiàn)了從一個物體或許多物體組成的一個整體到單位“1”的抽象，真正理解了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，建構(gòu)了分?jǐn)?shù)模型，對分?jǐn)?shù)有了全面、穩(wěn)固的認(rèn)知，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象能力數(shù)形結(jié)合是小學(xué)階段非常重要的數(shù)學(xué)思維方式，也是學(xué)生從小學(xué)到大學(xué)期間學(xué)好數(shù)學(xué)的好幫手正如數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬事休”在分?jǐn)?shù)部分的教學(xué)中，教師要應(yīng)用好線段圖、輔助線等教學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生明確分?jǐn)?shù)數(shù)量關(guān)系，抓住解決分?jǐn)?shù)問題的突破口

四、發(fā)展抽象思維，構(gòu)建教學(xué)案例

在上述找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知起點及教學(xué)實施思考的基礎(chǔ)上，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力為著眼點，我們開展了如下教學(xué)實踐：

(一)預(yù)學(xué)查異——情境感知，積累表象

(二)初學(xué)適異——自主探究，初步抽象

1請相應(yīng)同學(xué)分享一下自己所畫的分?jǐn)?shù)

教師對應(yīng)出示板貼：這就是一個物體、一個計量單位、許多物體組成的一個整體

2師：一個物體、一個計量單位、一個整體，你發(fā)現(xiàn)它們都有什么？

師：沒錯，都可以用自然數(shù)“1”表示，通常把它叫作單位“1”(板書：單位“1”)

為什么這個“1”要加引號？它與我們以前學(xué)過的1有什么不同？

你能舉出單位“1”的例子嗎？還可以把什么看成單位“1”？

總結(jié)：世界萬物，小到一粒沙，大到整個宇宙空間，我們想研究誰就可以把誰看作單位“1”

3我們知道了什么是單位“1”，你能在這些題目里找一找它們把誰看作單位“1”了嗎？

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，種黃瓜的面積是這樣的( )份

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，男生人數(shù)是這樣的( )份

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，海洋面積是這樣的( )份

把( )看作單位“1”，平均分成( )份，媽媽買的蘋果是這樣的( )份

4指名同學(xué)概括什么是分?jǐn)?shù)

(三)研學(xué)導(dǎo)異——內(nèi)化理解，提煉本質(zhì)

1分一分，涂一涂，表示出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)

問:左邊三幅圖有什么相同點和不同點？

相同：把單位“1”平均分成3分，表示其中的2份

不同：單位“1”不同，每1份的個數(shù)也不相同

2分一分、涂一涂，表示出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)

問：右邊三幅圖有什么相同點和不同點？

小結(jié)：雖然單位“1”一樣，但平均分的份數(shù)不一樣，所以每一份的個數(shù)也不一定一樣

師：仔細(xì)觀察，平均分的份數(shù)其實就是分?jǐn)?shù)的什么？

生：分母

師：表示的份數(shù)其實就是分?jǐn)?shù)的什么？

生：分子

師：是的，一個分?jǐn)?shù)的分母是平均分的份數(shù)，分子就是表示的份數(shù)

3師：如果我們把平均分的份數(shù)用字母來表示，表示的份數(shù)用字母來表示，那么我們可以說把單位“1”平均分成份，表示這樣的份，還可以用什么分?jǐn)?shù)來表示？

師：這里、要是非0的自然數(shù)(出示：、為非0的自然數(shù))

師：分?jǐn)?shù)單位可以怎么表示？

(四)拓學(xué)展異——綜合運用，豐盈素養(yǎng)

四、結(jié)語

綜上所述，分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段對抽象思維能力要求較高的一個部分，教師想要做好這部分的教學(xué)工作需要先了解學(xué)生對分?jǐn)?shù)前置知識的掌握程度，充分培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力分?jǐn)?shù)部分教學(xué)中，教師應(yīng)重視單位“1”的抓取，重視學(xué)生對關(guān)鍵句的推理，重視從變式出題，切實提升學(xué)生的思維能力