基于小波去噪的灰色Verhulst模型在變形監測中的應用

董坤烽

（1.云南建投第一勘察設計有限公司，云南 昆明 650031）

目前，相關學者對礦區地表沉降動態預計的研究從不同方面提出多種方法，如構建灰色模型和時間函數模型，或以神經網絡、卡爾曼濾波等智能算法構建的開采陷預測模型[1-6]。本文為使預測模型符合礦區地表下沉規律，對小波去噪預處理得到的觀測數據建立灰色Verhulst模型來實現。灰色Verhulst模型與灰色GM（1，1）模型類似，但是根據礦區開采地表沉陷規律可知，下沉-時間曲線呈“S”形變化，而由GM(1,1)模型表達式可知預測趨勢為指數式變化，不符合礦區地表沉陷規律，因此采用對飽和狀態的非線性序列進行較好預測的灰色Verhulst模型。

1 小波閾值去噪

小波閾值去噪的基本原理就是設置一個閾值處理高頻噪聲信號，其中大于該閾值的小波系數的有用信號進行收縮和保留；對小于該閾值的小波系數的噪聲進行剔除[2]。對于含噪聲的一維信號模型可以表示為：

式中，s(t)為原始信號；n(t)為方差是σ2的高斯白噪聲，服從N(0，σ2)。

小波閾值去噪的基本思想在于：①選定小波基函數對信號f(t)多層分解得到小波系數；②采取一定的閾值函數處理得到新的小波系數；③小波重構獲得去噪信號。

1.1 小波閾值函數

當信號分解后，需要對小波系數進行閾值處理，常用的閾值函數分為硬閾值函數與軟閾值函數。

硬閾值函數的數學表達式為：

由于軟硬閾值函數均存在一定程度的不足，因此相關學者構造加權平均閾值函數，既能克服硬閾值函數中不連續問題，也能減少軟閾值函數中的恒定偏差[7]。

式中，μ為加權因子，一般為0.5，本文采用固定閾值[8]。

式中，σ為第j層小波變換后的均方差。

1.2 分解層數與去噪效果評價指標

信號的分解層數越多對信噪分離越有利，但是對于信號重構來說，隨著分解層數的增加，信號重構的誤差也會增加[9]。通常一段長度為M的信號其分解層數n為：

式中，小波閾值去噪效果通過信噪比SNR與均方差RMSE來衡量。

式中，f(i)為原始信號；為去噪后信號。

一般來說，均方根差越小、信噪比越高，去噪效果越好。

2 灰色Verhulst模型

設原始監測數據序列為：

通過對原始數據累加生成1-AGO序列。

與GM(1,1)模型的建模方法相同步驟[10～11]，得到灰色Verhulst模型一階白化非線性微分模型。

式中，a，b為灰色Verhulst模型待計算參數。

按最小二乘法則解得待求參數估值。

將a，b代入微分方程得到灰色Verhulst模型時間響應序列。

最后還需要還原數列得到模型的預測值。

建立半參數灰色Verhulst模型時也需要進行模型檢驗，驗證所建立的模型是否符合實際情況，灰色模型精度檢驗如表1所示[12]。

表1 灰色模型精度檢驗對照表

3 算例分析

礦區沉陷變形監測數據來源于某礦區西九采區回采工作面C觀測線98號測點，共計14期累計沉降觀測數據（表2）。

表2 C觀測線98號監測點累計沉降值

3.1 基于小波閾值去噪的數據處理

1）小波基函數與分解層數確定。考慮到礦區觀測點沉降數據的變化特點以及小波基函數的數學特性，本文選取能處理離散小波變換且具有正交性和緊支性的SymN小波基。SymN小波基中N的取值對去噪效果有影響。為確定N的取值，首先確保分解層數與閾值函數統一，通過去噪后的信噪比和均方差進行對比，由表3可得出N=4去噪效果最好。

表3 Sym N小波基函數對比

根據分解層數的經驗公式，在N=4的前提下進行1～3層分解，對比各層分解后得到的信噪比和均方差，確定本次監測數據選取Sym4小波1層分解。

3.2 閾值函數確定

基于Sym4小波1層分解，分別選取硬閾值、軟閾值以及加權平均閾值函數對噪聲信號進行處理并進行信號重構，由表4可知，通過3種閾值函數去噪信號的信噪比和均方差對比，加權平均閾值函數處理得到的去噪信號效果最佳。

表4 閾值函數去噪效果對比

從圖1也可以看出，基于小波閾值去噪的數據與原始觀測數據的變化趨勢一致，且經過閾值去噪的預處理，削弱了某些因素造成的誤差影響，為建立灰色Verhulst模型提高了精準度與可靠性。

圖1 原始數據與去噪數據效果對比

3.3 灰色Verhulst模型建立

根據礦區地表沉降的呈現S型曲線變化特點，將監測數據序列建立預測模型，為驗證灰色Verhulst模型的預測精度，以前10期為樣本數據建立了表5所示的幾種預測模型，預測結果以及殘差值如表6所示。

表5 預測模型方案

表6 地表沉降預測模型結果對比表

通過表5對礦區地表沉降的數據的相關計算以及圖2的曲線圖對比分析可知：

圖2 沉降預測模型對比圖

1）對于礦區地表變形監測數據的變化特點，由于GM（1，1）模型屬于指數式變化，因此前四期數據預測較為準確，但是隨著觀測次數增加會導致誤差逐漸增大，對該數據序列不適用于建立預測模型。

2）觀測數據無論是否經過小波閾值去噪處理，灰色Verhulst模型預測模型顯示的數據變化趨勢與原始觀測數據大致相同，說明灰色Verhulst模型適用于該礦區地表沉降監測數據。

3）經計算對比可知，方案2預測模型的誤差絕對平均值為55.429 mm，方案4預測模型的誤差絕對平均值為48.357 mm，因此經過小波閾值去噪建立灰色Verhulst預測模型精度更高。經過灰色精度檢驗表驗證，模型精度為Ⅰ級。

4 結語

相對于GM(1,1)模型，灰色Verhulst模型針對礦區地表變化特點建立的預測模型具有明顯優勢。為了削弱觀測噪聲的影響，利用小波閾值去噪的方法對觀測數據進行預處理能大大提高灰色Verhulst模型的預測精度，提高了其在工程應用中的適用性。本文建立的小波去噪與灰色Verhulst模型組合模型應用于礦區地表沉降監測中具有可行性。但本文仍有不足之處，如閾值門限設定為固定值會造成一定程度的信號損失，不同的樣本數據的數目會影響預測精度，有待于進一步研究。