帶有指令濾波的板球系統(tǒng)反步滑模控制的研究

孟圣鈞，韓光信*，白淏文，路瑩昕

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022；2.中國電子科技集團(tuán) 第十一研究所，北京 100020)

板球系統(tǒng)是欠驅(qū)動的高階非線性系統(tǒng)，通過對其軌跡跟蹤控制的研究為實際生產(chǎn)起到了理論指導(dǎo)的作用[1].目前，對于板球系統(tǒng)的跟蹤控制問題，主要方法是依據(jù)板球系統(tǒng)運動學(xué)模型或動力學(xué)模型，通過滑模控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等控制方法設(shè)計軌跡跟蹤控制器[2-11]，圍繞著小球做定點、曲線運動而展開的系統(tǒng)魯棒性研究.滑模控制作為一種常見的非線性控制策略，對模型的內(nèi)部特性以及外部擾動不敏感，可應(yīng)用于板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制中[2-5].文獻(xiàn)[2]提出一種基于視覺伺服控制的軌跡跟蹤方案，通過設(shè)計滑模控制器使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性.但忽略了滑模控制導(dǎo)致的系統(tǒng)抖動現(xiàn)象，降低軌跡跟蹤精度.文獻(xiàn)[3]研究了反演自適應(yīng)動態(tài)滑模控制方法，通過設(shè)計新的切換函數(shù)，有效解決了傳統(tǒng)滑模的抖振問題，但軌跡跟蹤誤差較大.文獻(xiàn)[4]設(shè)計出非線性自適應(yīng)滑模控制器，提高了軌跡跟蹤精度.但是，當(dāng)球參數(shù)未知時，軌跡跟蹤精度有待提高，難以適用這種方法.文獻(xiàn)[5]采用結(jié)合系數(shù)的自適應(yīng)解耦模糊滑模控制器設(shè)計方法，實現(xiàn)了板球系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，避免了復(fù)雜的計算，但其滑模表面的系數(shù)問題有待進(jìn)一步更合理地解決，而且小球的速度越大，誤差越大.以上方法均是針對滑模控制中遇到的抖振、參數(shù)變化影響軌跡跟蹤控制等問題，提出相應(yīng)的控制解決方案.文獻(xiàn)[6-8]利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，結(jié)合PID控制器在板球系統(tǒng)上完成方形軌跡跟蹤控制和定位控制.其中，文獻(xiàn)[6-7]采用LM算法替代梯度下降法整定PID控制參數(shù)，分實現(xiàn)RBF-PID控制的優(yōu)化；文獻(xiàn)[8]采用遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)，加強(qiáng)了系統(tǒng)控制的實時性.文獻(xiàn)[9]提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制方法，避免了backstepping方法的計算復(fù)雜性.文獻(xiàn)[6-9]控制方案在一定程度上降低軌跡的震蕩幅度，但跟蹤精度有待提高.文獻(xiàn)[10]設(shè)計了一種基于變論域模糊控制算法，改善了控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì).文獻(xiàn)[11]引入蟻群算法，研究了基于蟻群優(yōu)化的直接自適應(yīng)模糊滑模控制方案，相比于文獻(xiàn)[3-10]提高了軌跡跟蹤精度.

板球系統(tǒng)通過電機(jī)控制驅(qū)動軸，進(jìn)而控制平板上的小球運動，實現(xiàn)小球的定點運動、軌跡跟蹤運動以及繞障運動，其快速高精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制已成為當(dāng)前研究的重難點.板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制目標(biāo)是：在預(yù)定的控制動態(tài)品質(zhì)下，讓小球在復(fù)雜多變的運動場景中，能夠按照參考軌跡完成高精準(zhǔn)跟蹤控制.本文針對板球系統(tǒng)受到的未知擾動影響軌跡跟蹤性能這一問題，選取合適的滑模控制規(guī)律保證系統(tǒng)的快速跟蹤性能和穩(wěn)定性能，對滑模控制中出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象以及小球位置信息提取過程中受到的干擾問題，將帶有指令濾波功能的反步控制算法與滑模控制算法相結(jié)合，設(shè)計帶有指令濾波的反步滑模控制器，實現(xiàn)板球系統(tǒng)的高精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制.仿真實驗表明，該控制方案在抑制系統(tǒng)擾動和消除抖振現(xiàn)象的同時，能夠使小球快速、精準(zhǔn)地跟蹤預(yù)定曲線，使小球的軌跡跟蹤誤差不斷收斂于零.

1 板球系統(tǒng)建模和控制方案問題描述

1.1 板球系統(tǒng)建模描述

板球系統(tǒng)有兩個對稱的X,Y軸子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)有4個自由度，分別是小球的位移和速度、平板的轉(zhuǎn)角和角速度，板球系統(tǒng)實驗臺如圖1所示.

本文在不影響系統(tǒng)性能的建模過程中，小球的滑動摩擦力和滾動摩擦力記為零，假設(shè)小球在平板上只有滾動且不會脫離平板，且平板的轉(zhuǎn)角緩慢轉(zhuǎn)動(一般不超過±5°).在平衡點xe=0處，分別在X,Y軸方向上對板球系統(tǒng)解耦、線性化后，利用拉格朗日方程建立板球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過計算、簡化后可得板球系統(tǒng)X,Y軸方向的狀態(tài)方程為[12]：

(1)

其中，x1,x2,x3,x4和x5,x6,x7,x8分別為板球系統(tǒng)X,Y軸子系統(tǒng)小球的位移和速度、平板的轉(zhuǎn)角和角速度.g表示重力加速度，系數(shù)k=m/(m+Jb/R2)，m表示小球質(zhì)量，R表示小球半徑，轉(zhuǎn)動慣量Jb=2mR2/5，ux,uy分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸的控制輸入.wx,wy分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸受到的未知擾動.y1,y2分別表示板球系統(tǒng)X,Y軸小球的位置輸出.

1.2 基于指令濾波的反步滑模控制方案

由于小球在平板上的運動不受約束，當(dāng)小球以較大的速度運動時，攝像頭采集小球的位置信息存在滯后現(xiàn)象，且小球X、Y兩軸耦合性強(qiáng).其次，小球自身的滾動摩擦、與平板之間的滑動摩擦以及外界不確定擾動等因素，都會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為實現(xiàn)高精準(zhǔn)的軌跡跟蹤控制，本文基于滑模控制原理，依據(jù)系統(tǒng)跟蹤誤差設(shè)計滑模面，求得控制規(guī)律.進(jìn)而引入二階指令濾波器，濾除系統(tǒng)存在的量測噪聲干擾，將反步法和滑模控制方法的優(yōu)勢相結(jié)合，提出了反步滑模控制策略，克服了滑模控制器產(chǎn)生的抖振問題[2]，有效地抑制了系統(tǒng)受到的干擾，以增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性.基于指令濾波的板球系統(tǒng)X軸反步滑模控制方案如圖2所示.Y軸設(shè)計方案參考X軸.

2 控制器設(shè)計及閉環(huán)穩(wěn)定性分析

2.1 滑模控制器設(shè)計

滑模控制的主要思想是基于“滑動模態(tài)”運動，利用控制的不連續(xù)性使得系統(tǒng)在一定的條件下沿著預(yù)定的軌跡運動，對于由板球系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性、參數(shù)不確定性以及外界未知干擾等因素引起的擾動具有良好的魯棒性，進(jìn)而滿足板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制性能要求.本文設(shè)計的滑模控制規(guī)律包括等效控制律和切換控制律兩部分.因板球系統(tǒng)X,Y軸對稱分布，Y軸方向的子系統(tǒng)控制器設(shè)計參考X軸.

根據(jù)式(1) X軸子系統(tǒng)選取誤差方程：

(2)

其中，y0x為板球系統(tǒng)X軸方向輸入信號.定義滑模切換函數(shù)：

s=b1e1+b2e2+b3e3+e4,

(3)

其中，常數(shù)bi>0(i=1,2,3).結(jié)合式(2)，對式(3)求導(dǎo)后可得：

(4)

(5)

當(dāng)板球系統(tǒng)受到未知擾動wx時，滑模控制律在等效控制的基礎(chǔ)上還要考慮切換控制uwx來調(diào)節(jié)滑模運動的動態(tài)品質(zhì)，提高系統(tǒng)克服未知擾動的能力.本文選擇指數(shù)趨近律作為切換控制的主要組成部分[13]:

(6)

uwx=ηsgn(s)+λs,

(7)

結(jié)合式(5)和(7)可得總滑模控制規(guī)律為：

u1x=ueq+uwx.

(8)

2.2 帶指令濾波的誤差反步控制器設(shè)計

為了緩解外界未知擾動對小球反饋狀態(tài)變量位置、速度的影響，本文針對誤差反步控制律的狀態(tài)量引入二階指令濾波器，通過對小球位置和速度進(jìn)行濾波處理，提高系統(tǒng)軌跡跟蹤精度，抑制滑模控制器的抖振現(xiàn)象，進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以板球系統(tǒng)X軸方向為例設(shè)計帶指令濾波的誤差反步控制器，Y軸方向設(shè)計參考X軸.引入二階指令濾波器如下[14-15]：

(9)

其中，ξ為阻尼比，ωn為無阻尼自然頻率.

結(jié)合式(1)中X軸方向子系統(tǒng)和式(9)，構(gòu)建帶有二階指令濾波的復(fù)合系統(tǒng)為：

(10)

結(jié)合式(10)，定義系統(tǒng)偏差：

(11)

其中，e01=e1為小球位置誤差;e02、e03、e04分別表示廣義上的小球速度誤差、平板轉(zhuǎn)角誤差和角速度誤差；α1、α2、α3為虛擬函數(shù)，在后面進(jìn)行定義.

結(jié)合式(10)，對式(11)中e01進(jìn)行求導(dǎo)：

(12)

(13)

定義虛擬函數(shù)α1：

α1=-c1e01(c1>0的常數(shù)),

(14)

代入式(13)得：

(15)

(16)

通過式(16)定義虛擬函數(shù)α2：

(17)

代入式(16)得：

(18)

(19)

通過式(19)定義虛擬函數(shù)α3：

(20)

代入式(19)得：

(21)

(22)

選取控制規(guī)律u0x：

(23)

結(jié)合式(10)、(11)、(12)、(14)、(17)、(20)，化簡式(23)，可得帶指令濾波的誤差反步控制器為：

(24)

其中，f1=c1+c2+c3+c4，f2=c1c2+c1c3+c1c4，f3=c2c3+c2c4+c3c4，

結(jié)合式(8)和式(24)可得反步滑模控制規(guī)律為ux=u0x+u1x.

(25)

2.3 穩(wěn)定性分析

板球系統(tǒng)式(1)穩(wěn)定性與輸入和擾動無關(guān)[17]，在X軸方向子系統(tǒng)中可令ux=0,wx=0，選取Lyapunov方程V5(x)=xTp1x(p1為實對稱矩陣)，求導(dǎo)得：

(26)

則式(1)中的X軸子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

(27)

此時，滑模控制系統(tǒng)能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

結(jié)合式(15)、(18)、(19)、(22)、(26)和式(27)，可知：

(28)

那么，板球系統(tǒng)X軸方向閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，同理可證Y軸方向閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則基于指令濾波的反步滑模控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

3 仿真結(jié)果分析

(27)

圖3～5分別為反步滑模控制的軌跡跟蹤曲線、X,Y軸跟蹤誤差響應(yīng)曲線和控制器輸出曲線.作為對比，圖6～8給出了增量PID滑模控制下的軌跡跟蹤曲線、X,Y軸跟蹤誤差響應(yīng)曲線和控制器輸出曲線.

對比仿真實驗結(jié)果可知，反步滑模控制X,Y軸跟蹤誤差絕對值的平均值分別為0.27 mm和0.233 mm；增量PID滑模控制X,Y軸跟蹤誤差絕對值的平均值分別為1.6 mm和2.13 mm.帶指令濾波的反步滑模控制能夠在預(yù)設(shè)的調(diào)節(jié)時間內(nèi)2 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而增量PID滑模控制大約20 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，全程帶有抖振現(xiàn)象.當(dāng)系統(tǒng)受到同樣的外界未知干擾時，本文所提出的控制方案能夠迅速克服擾動，保持較高的軌跡跟蹤精度，魯棒性強(qiáng).

4 結(jié) 論

本文針對系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制問題，研究了帶有二階指令濾波器的反步滑模控制方案.在滑模控制過程中，結(jié)合等效控制律和切換控制律設(shè)計控制器，使得系統(tǒng)能夠按照“滑動模態(tài)”進(jìn)行軌跡跟蹤運動.同時，采用反步法抑制系統(tǒng)的抖動，確保系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定.仿真結(jié)果驗證，該控制算法有效地克服了滑模控制的抖振問題，使小球在預(yù)設(shè)時間內(nèi)快速達(dá)到穩(wěn)定跟蹤狀態(tài)，提高了系統(tǒng)控制性能.