單容水箱液位動(dòng)態(tài)矩陣控制研究

郭肖楠,徐兆蓮,張龍琴,曹玉波*

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林132022；2.遼寧中集哈深冷氣體液化設(shè)備有限公司 技術(shù)中心,遼寧 開(kāi)原 112300)

液位是工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的四大熱工參數(shù)之一，因此液位控制已成為工業(yè)生產(chǎn)中研究的重要課題[1]，而預(yù)測(cè)控制是近年來(lái)被提出的適應(yīng)于過(guò)程控制的一種先進(jìn)算法，可適用于復(fù)雜非線性化的工業(yè)過(guò)程，它具有更好的處理非線性系統(tǒng)的能力，特別是動(dòng)態(tài)矩陣預(yù)測(cè)控制算法在復(fù)雜遲延對(duì)象上也具有比較明顯的優(yōu)勢(shì)[2].

文獻(xiàn)[3]針對(duì)CS400裝置的單容水箱實(shí)驗(yàn)對(duì)象，在DCS平臺(tái)上引入DMC先進(jìn)控制算法，組成一個(gè)集散控制系統(tǒng)，該文獻(xiàn)只是具體說(shuō)明了可行性實(shí)施方案[3]，但并未對(duì)方案進(jìn)行實(shí)際操作.文獻(xiàn)[4]借助物理公式和設(shè)備參數(shù)從機(jī)理上對(duì)單容水罐建立數(shù)學(xué)模型，并在靜態(tài)點(diǎn)附近線性化.再利用Matlab中的Simulink平臺(tái)搭建DMC對(duì)單容水罐的控制模塊并實(shí)現(xiàn)仿真，并與PI加前饋控制器控制單容水罐的仿真結(jié)果做了比較，得出DMC控制效果更穩(wěn)定、無(wú)震蕩的結(jié)論[4].

以上文獻(xiàn)并未寫(xiě)出具體的DMC控制算法程序，針對(duì)DMC控制器控制單容水箱線性模型，使用Matlab編寫(xiě)腳本程序?qū)崿F(xiàn)DMC算法對(duì)單位水箱的控制仿真.動(dòng)態(tài)矩陣控制是采用被控對(duì)象的單位階躍響應(yīng)序列作為預(yù)測(cè)和控制的模型，而水箱的數(shù)學(xué)模型建立較簡(jiǎn)單且易構(gòu)造出它的狀態(tài)方程，因此將水箱模型的離散狀態(tài)方程作為DMC的預(yù)測(cè)和控制模型，能夠更好地理解與運(yùn)用DMC控制算法原理，深刻體會(huì)DMC控制器對(duì)對(duì)象的控制過(guò)程，對(duì)進(jìn)一步研究動(dòng)態(tài)矩陣預(yù)測(cè)控制有很大的幫助.

1 單容水箱液位控制建模

單容水箱是一個(gè)自衡系統(tǒng)，其流量特性如圖1所示，被控量為水箱的液位，控制量為進(jìn)水閥開(kāi)度μ，調(diào)節(jié)閥門(mén)開(kāi)度可以改變進(jìn)水流量.出水口的閥門(mén)開(kāi)度保持不變，出水流量與水壓有關(guān)，水壓與水位高度近乎成正比關(guān)系，這樣出水流量會(huì)隨著液位高度的變化而改變[5].當(dāng)流入量等于流出量時(shí)，水箱液位達(dá)到某液位點(diǎn)不再改變[6]，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，然后改變進(jìn)水口閥門(mén)開(kāi)度，液位會(huì)發(fā)生變化，在該平衡點(diǎn)處分析水箱液位在進(jìn)水口閥門(mén)開(kāi)度μ下的動(dòng)態(tài)特性.

設(shè)液位為h，水箱底面積為F，流入量為Q1，流出量為Q2.則物料動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系為：

(1)

將(1)表示為增量形式：

(2)

式中ΔQ1、ΔQ2、Δh是偏離某一平衡狀態(tài)Q10、Q20、h0的增量.

ΔQ1=kμ·Δμ，

(3)

假設(shè)進(jìn)水閥前后壓差不變，kμ為常數(shù).考慮水位只在其穩(wěn)定值附近小范圍變化可得：

(4)

其中Rs為出口閥門(mén)流體阻力.整理(2)～(4)式可得：

(5)

在零初始條件下對(duì)式(5)拉式變換得到：

Rs·kμ·Δμ(s)=Rs·F·s·ΔH(s)+ΔH(s)，

(6)

以進(jìn)水閥開(kāi)度μ為輸入，水箱液位高度h為輸出的水箱系統(tǒng)模型傳遞函數(shù)可描述為[3]：

(7)

將式(1)表示為狀態(tài)方程形式，為了便于理解，可以將增量形式寫(xiě)為函數(shù)形式：

(8)

2 DMC動(dòng)態(tài)矩陣控制

2.1 動(dòng)態(tài)矩陣控制原理

一般DMC動(dòng)態(tài)矩陣控制是以被控對(duì)象的階躍響應(yīng)特性來(lái)作為預(yù)測(cè)模型，而該動(dòng)態(tài)矩陣控制算法是用對(duì)象的狀態(tài)方程為預(yù)測(cè)模型的控制算法，通過(guò)反饋校正和滾動(dòng)優(yōu)化當(dāng)前和未來(lái)時(shí)刻的控制量，使得輸出響應(yīng)符合預(yù)先設(shè)定的軌跡[3]，圖2是預(yù)測(cè)控制的原理結(jié)構(gòu)圖.

如圖2所示，DMC動(dòng)態(tài)矩陣控制由參考軌跡、優(yōu)化計(jì)算、預(yù)測(cè)模型、被控對(duì)象、預(yù)測(cè)輸出5部分組成[7].其中被控對(duì)象輸出值與預(yù)測(cè)模型輸出值的偏差再與預(yù)測(cè)模型重新構(gòu)造預(yù)測(cè)輸出，參考軌跡與預(yù)測(cè)輸出之差經(jīng)過(guò)優(yōu)化算法得出最優(yōu)控制量再作用于被控對(duì)象和預(yù)測(cè)模型[8]，從而實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)優(yōu)化和誤差反饋校正.

2.2 液位預(yù)測(cè)模型

在一個(gè)采樣周期T內(nèi)，根據(jù)歐拉公式可以近似得到液位的微分形式[9]：

(9)

結(jié)合式(8)、(9)，k+1時(shí)刻的液位值可以從k時(shí)刻獲得：

(10)

假設(shè)在預(yù)測(cè)范圍之內(nèi)控制量保持不變，可以得到液位從k時(shí)刻起的未來(lái)P個(gè)預(yù)測(cè)值在滾動(dòng)時(shí)域下的向量形式：

(11)

將未來(lái)P個(gè)預(yù)測(cè)值寫(xiě)為狀態(tài)方程形式可以得到：

HP(k)=Ah(k)+B(μ(k-1)+Δμ(k))，

(12)

2.3 滾動(dòng)優(yōu)化

由上可知，預(yù)測(cè)模型部分需要一個(gè)控制增量，這個(gè)控制增量采用最優(yōu)控制的求解方法得到.

計(jì)算最優(yōu)控制增量的基本思想在于：確定目標(biāo)函數(shù)，并根據(jù)約束條件進(jìn)行求解,在DMC的簡(jiǎn)單應(yīng)用中一般是在無(wú)約束的條件下求解,所以目標(biāo)函數(shù)可以設(shè)計(jì)為：

minJ=[yr(k)-(Ah(k)+Bμ(k-1)+BΔμ(k))]TQ[yr(k)-(Ah(k)+Bμ(k-1)+BΔμ(k))]+μT(k)Rμ(k)，

(13)

目標(biāo)函數(shù)可以解釋為：第1項(xiàng)希望計(jì)算出的控制增量Δμ(k)使系統(tǒng)的輸出值盡可能地接近參考值，并且希望當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后控制增量趨近于0，避免對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)造成不利的影響.第2項(xiàng)是對(duì)控制增量進(jìn)行約束，這樣就不會(huì)使控制增量有很大的變化.

Δμ*(k)=(BTQB+R)-1BTQ[yr(k)-Ah(k)-Bμ(k-1)]，

(14)

其中，Q=q×IP×P，Q為誤差權(quán)矩陣，用來(lái)調(diào)整誤差系數(shù)；R為控制權(quán)系數(shù)，用來(lái)調(diào)整控制增量系數(shù).

上式求解到的Δμ*(k)為一個(gè)最優(yōu)控制增量，然而實(shí)際上DMC使用μ(k)作用于對(duì)象.

由于系統(tǒng)擾動(dòng)的存在，系統(tǒng)的輸出無(wú)法穩(wěn)定在參考值，DMC控制器無(wú)法實(shí)現(xiàn)理想控制，所以實(shí)際的做法就是對(duì)每個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，計(jì)算出的最優(yōu)控制增量與前一時(shí)刻的控制量相加得到當(dāng)下時(shí)刻的控制量并作用于預(yù)測(cè)模型和對(duì)象，這就是滾動(dòng)優(yōu)化.

2.4 反饋校正

在預(yù)測(cè)模型和滾動(dòng)優(yōu)化的基礎(chǔ)上，DMC控制器已經(jīng)實(shí)現(xiàn)開(kāi)環(huán)控制的效果，在理想的情況下，控制器能較好地完成控制工作，但是在現(xiàn)實(shí)情況中系統(tǒng)工作時(shí)會(huì)有模型失配、環(huán)境干擾等不確定因素發(fā)生，所以將開(kāi)環(huán)控制轉(zhuǎn)變?yōu)殚]環(huán)控制能大大的提升系統(tǒng)的抗擾動(dòng)能力.

反饋校正的思路在于：在k時(shí)刻時(shí)，將計(jì)算得到的最優(yōu)控制量μ(k)作用于模型，可得到未來(lái)P個(gè)時(shí)刻的模型輸出預(yù)測(cè)HP1(k)[11]，取預(yù)測(cè)輸出值的第1個(gè)元素即HP1(k+1|k)與下一時(shí)刻的被控對(duì)象的實(shí)際輸出值h(k+1)進(jìn)行比較，得到預(yù)測(cè)誤差e(k+1)如下：

e(k+1)=h(k+1)-HP1(k+1|k)，

(15)

然后對(duì)誤差加權(quán)得到加權(quán)誤差序列用于修正預(yù)測(cè)模型，其計(jì)算表達(dá)式如下：

Hcor(k+1)=HP1(k)+ce(k+1)，

(16)

其中Hcor(k+1)為下一時(shí)刻修正后的模型輸出預(yù)測(cè)值；c為P維誤差校正加權(quán)序列，元素都為1.

此時(shí)還要對(duì)Hcor(k+1)進(jìn)行一步轉(zhuǎn)移操作，最終得到HP0(k+1)作為下一時(shí)刻的模型預(yù)測(cè)初值，表達(dá)式如下：

HP0(k+1)=SHcor(k+1)，

(17)

其中S為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且有

根據(jù)DMC動(dòng)態(tài)矩陣控制的特點(diǎn)，它的控制算法流程圖如下：

3 仿真結(jié)果分析

對(duì)所提出的單容水箱DMC控制算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真所使用的實(shí)驗(yàn)相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 實(shí)驗(yàn)相關(guān)數(shù)據(jù)

給定h0=20 cm，根據(jù)上面DMC預(yù)測(cè)控制算法的設(shè)計(jì)原理，設(shè)定液位的期望值為50 cm，系統(tǒng)采樣周期為1 s,設(shè)置好DMC控制器的參數(shù)后，可以得到單容水箱液位值在動(dòng)態(tài)矩陣控制下達(dá)到設(shè)定值的系統(tǒng)響應(yīng)仿真曲線，見(jiàn)圖4.

初始時(shí)刻液位的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值為20 cm，預(yù)測(cè)控制步數(shù)為6步，在調(diào)整好參數(shù)的情況下，經(jīng)過(guò)10 s后在一定誤差允許范圍內(nèi)系統(tǒng)基本平穩(wěn).在50 s時(shí)給系統(tǒng)一個(gè)擾動(dòng)，將單容水箱的出水閥門(mén)開(kāi)度由原來(lái)的40%增加到70%，如圖4所示出水閥門(mén)開(kāi)度增大時(shí)液位會(huì)先下降，在DMC控制算法下進(jìn)水閥的開(kāi)度增大，增加進(jìn)水流量抑制水位下降，經(jīng)過(guò)8 s后水位回到設(shè)定值.由此可見(jiàn)，以狀態(tài)方程為預(yù)測(cè)模型的動(dòng)態(tài)矩陣控制算法能準(zhǔn)確地跟蹤給定液位的參考值，該預(yù)測(cè)控制是可行正確的.動(dòng)態(tài)矩陣預(yù)測(cè)控制具有調(diào)節(jié)時(shí)間短、抗干擾能力強(qiáng)、超調(diào)量小，系統(tǒng)能較穩(wěn)定快速地變化到工況設(shè)定值等特點(diǎn).

4 結(jié) 論

通過(guò)機(jī)理分析法建立了單容水箱動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)Matlab程序仿真，運(yùn)用狀態(tài)方程為預(yù)測(cè)模型，滾動(dòng)優(yōu)化等原理，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)矩陣控制器，將液位控制在恒定水位.通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器對(duì)單容水箱的控制效果比較理想.在調(diào)節(jié)過(guò)程中，動(dòng)態(tài)矩陣能縮短調(diào)節(jié)時(shí)間，減少超調(diào)量，系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制與抗擾動(dòng)能力較強(qiáng).