帶有隨機系數的雙線性INAR(1)模型的統計推斷

范曉東，張 持，張慶春*，趙宸稷，曹曉涵

(1.吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022；2.哈爾濱工程大學 計算機科學與技術學院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.吉林化工學院 信息與控制工程學院，吉林 吉林 132022)

整數值時間序列在金融、交通、醫療、預防犯罪等很多領域都廣泛存在.基于稀疏算子構建整數值模型是擬合整數值時間序列的主要方法.最早的稀疏算子模型是McKenzie(1985)[1]基于二項稀疏算子構建的整數值一階自回歸(INAR(1))模型.統計學者們針對INAR(1)模型進行了廣泛研究[2-4].由于稀疏參數會受到外部環境的影響而隨時間變化，Zheng等(2007)[5]提出了帶有隨機系數的一階整數值自回歸(RCINAR(1))模型，拓廣了INAR(1)模型的應用范圍，但該模型不適用于擬合非線性的整數值數據.在傳統的時間序列分析中，為了擬合地震和疾病暴發等帶有偶然爆發特征的時間序列，Mohler(1973)[6]提出了雙線性模型(Bilinear model).Granger和Anderson(1978)[7]將雙線性模型應用到時間序列建模中.雙線性模型是類似線性ARMA模型的一種非線性模型，它保留了大部分ARMA模型結構的特性，它的另一種常見形式是僅具有AR結構的模型.它比線性模型能更好地擬合現實生活中的非線性時間序列數據，同時它也是時間序列非線性模型中形式最簡單的一類模型.Tong (1989)[8]將雙線性模型引入到整數值時間序列建模中.Doukhan等 (2006)[9]和 Drost等(2008)[10]先后對帶有獨立新息過程和生存過程的雙線性整數值時間序列模型進行了研究.由于該模型的自回歸系數是固定的，所以無法刻畫受環境等因素影響隨時間變化的動態整數值時間序列.因此，為刻畫隨時間變化的整數值時間序列，本文基于帶有隨機系數的二項稀疏算子建立一階自回歸雙線性模型，稱為帶有隨機系數的雙線性非負整數值一階自回歸(RBLINAR(1))模型，并用修正的矩估計法估計模型參數，具有一定的創新性和實用價值.

1 模型及其性質

1.1 RBLINAR(1)模型

稱滿足迭代方程(1)的過程為基于帶有隨機系數的二項稀疏算子的雙線性INAR(1)過程,記作RBLINAR(1)過程.

(1)

其中“°”表示隨機系數的二項稀疏算子，其定義如下：

(2)

注意到，當{εt}已知， {Xt}未知時，RBLINAR(1)模型對于{Xt}而言是線性的，反之若已知{Xt}，{εt}未知時，RBLINAR(1)模型對于{εt}而言是線性的，因此該模型是雙線性模型.

1.2 RBLINAR(1)模型性質

設{Xt}是由(1)式定義的一個RBLINAR(1)過程，其條件矩和矩分別為：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

E(εt|Ft)=max{0,Xt-αpXt-1λ},

(9)

E(Xt+1|Ft)=αpXtmax{0,Xt-αpXt-1λ}+λ,

(10)

下面給出統計性質(4)和(6)的證明，其他性質推導過程類似.

證明(4)：

得證.

(6)：

由稀疏算子性質有：

E(α°X)2=α(1-α)E(X)+α2E(X2),

帶入E(Xtεt)2中得到：

由{Xtεt}嚴平穩，E(Xtεt)2=E(Xt-1εt-1)2進而可以推出:

得證.

2 參數估計

(11)

(12)

(13)

3 數值模擬

針對模型(1)，對模型參數的修正矩估計量進行數值模擬，選取下面4組參數：

(A)p=0.2,α=0.5,λ=1,(B)p=0.2,α=0.5,λ=2,(C)p=0.2,α=0.5,λ=3,(D)p=0.3,α=0.4,λ=1, 分別在樣本長度為100,500,1 000,5 000時借助R 軟件重復模擬1 000次取估計的經驗偏差(Bias)，均方誤差(MSE)進行分析，結果見表1.例如表中(0.1136,13.762 9)，表示經驗偏差(Bias)為0.113 6，均方誤差(MSE)為13.762 9.

表1 RBLINAR(1)模型參數估計的經驗偏差和均方誤差

通過分析表1的模擬結果得到：模型參數的估計值隨樣本長度n的增加逐漸收斂到真實值，均方誤差MSE和偏差Bias會逐漸減小.當α、P取值不變時參數樣本長度為100時，參數λ取值越大，估計的偏差及均方誤差越大.但當樣本長度超過500時對任一組參數，估計效果良好.說明本文提出的修正的矩估計量具有漸近性，估計方法可行.

4 實例分析

為闡明模型的應用，選用曼哈頓地區2008年至2018年的月度偷竊記錄數據，共132個觀測值.圖1～2分別給出了該序列的樣本路徑、ACF圖和PACF圖.從圖1可以看出：序列沒有明顯的趨勢，大致是平穩的.圖2中，從自相關(ACF)圖可以看出，自相關圖是拖尾的，從偏自相關圖中可以看出：序列存在很重要的一階相關關系，所以可以建立INAR(1)模型來擬合該序列.

下面考慮本文提出的RBLINAR(1)模型和其他的3個模型： (1)基于二項稀疏算子的新息過程為泊松分布的INAR(1)模型；(2)基于負二項稀疏算子的邊際分布為幾何分布NGINAR(1)[8]；(3)帶有隨機系數的基于二項稀疏算子邊際為泊松分布的RINAR(1)模型.

基于條件期望下向前一步預測的均方根誤差，將4個模型比較，結果見表2，表中Na表示該參數在模型中不存在.

表2結果顯示RBLINAR(1)模型的均方誤差最小，所以RBLINAR(1)模型是更適合該數據集的模型.

表2 月度偷竊數據的模型及估計結果

5 結 論

基于帶有隨機系數的二項稀疏算子構建了雙線性非負整值一階自回歸(RBLINAR(1))模型，推導出了模型的統計性質并利用修正的矩估計法估計模型中的未知參數.通過數值模擬對模型的估計方法進行了評估，數值模擬結果顯示，模型參數的估計值隨樣本長度增加逐漸收斂到真實值，均方誤差和偏差會逐漸減小，說明修正的矩估計量具有漸近性，估計方法可行.通過給出實際數據說明了模型的應用，通過對比4個模型的均方誤差，得出RBLINAR(1)是更適合數據的模型.