解題教學中的“圖窮匕見”

繆 雨

(福建省福安市城北中學，福建福安，355000)

根據“雙減”政策對于中小學提出了“減輕學生作業負擔”的總體要求，中小學學校要完善作業管理辦法，統籌從全學科出發，合理調控作業結構，減少作業總量.但對于中學生而言，面臨著中考這一“人生分水嶺”，又不得不加大加深學習的投入，大量刷題，以應對層出不窮的考題.以數學為例，每年的中考試題都在求新求變中考查學生的“思維能力”，如果學生沒有進行重復大量的訓練，根本無法在2個小時內完成大部分的試題，更不要說解決多達20分值的填選解答壓軸題.

本文將通過“圖何來，解何去”這個確定性思想讓學生學會通過繪制圖形的過程來尋找解題方法.這樣既能鞏固基礎知識，又能有效地思考解決問題的方法，在減少學生作業量的基礎上提高學生動手動腦的主觀能動性.下面結合初一、初二、初三、中考試題中4道例題的解決方法來談談這方面的思考與實踐.

1 經構圖過程，尋解題思路

例1如圖1，將一張長方形的紙片ABCD沿EF折疊，CE交AF于點G，過點G作GH∥EF，交線段BE于點H.說明GH平分∠AGE．

圖1-1

圖1-2

例題分析：本題若在圖1-1中解決問題，那么為了判斷GH平分∠AGE而進行角的推導時會發現無法運用到題目中最重要的條件—折疊，這時只需補齊翻折前的部分，如圖1-2由AD′∥BC′可得∠AGE=∠C′EG，再由EF平分∠C′EG、GH∥EF，即可說明GH平分∠AGE，問題得解.

就學生的視界與正常的思維方式，必定只著眼于圖1-1中的角進行推導.因此在教學中應要求學生思考：圖1-1是如何得到的，翻折前四邊形CDFE的位置在哪？此時學生畫出四邊形C′D′FE后必能根據圖形直觀通過翻折的性質發現EF平分∠C′EG，進而解決問題.

根據確定性思想，當我們解決一些復雜的問題時，關鍵就是要尋找確定這個問題的所有條件.它們往往就是能不能順利解決問題的突破口.這是解題、審題的一種重要思考方式及策略.也就是所謂的解題意識，只有先樹立了這樣的解題意識，才能談解題能力的提升與積累.然而筆者以為只通過讀題學生不容易發現決定問題的所有對應條件，而讓學生通過題目重新繪制圖形不但能找到這些條件，而且能察覺題中隱含的信息，讓輔助線的生成變得必然且自然.

例2已知四邊形ABCD形狀如圖2-1所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=2，CD=1，求AD、BC的長．

圖2-1

圖2-2

圖2-3

例題分析：本題通過確定性思想可以有多種解法，例如圖2-2和圖2-3中構造一線三直角來確定圖形點、線、角的位置可以很快解決問題.

圖2-4

圖2-5

圖2-6

但這些方法對學生分析條件運用模型的能力提出較高的要求.筆者認為延長AD、BC構造出Rt△ABE是最本質的解法，然而如何讓學生能夠想得到呢？這里只要讓學生繪制出符合條件的四邊形ABCD，學生必然有了構造△ABE的意識.首先由于AB的長和∠A、∠B的度數是確定的，因此能畫出來的部分如圖2-4所示.接下來因為CD的長度是確定的且要求CD垂直于AH，那么我們可以如圖2-5所示讓三角板一直角邊與AH重合，讓三角板沿AH方向平移，直到三角板另一直角邊在射線AH、BG間的線段長度符合CD的長時停止平移，則此時CD的位置也就確定，四邊形ABCD也就繪制完成.以上構圖過程中不論是如圖 2-4中的畫射線AH、BG，還是如圖2-5中的平移三角板，都讓學生感受到讓射線AH、BG繼續延展的自然過程，到這里必然會畫出如圖2-6的Rt△ABE，回到了學生最熟悉解三角形部分.讓學生深刻感受到一個確定的元素是如何確定下來的，就是怎么求解的思想.

圖3-1

例題分析：本題∠BAC是確定的，AE、EC的長度也是確定的，因此可以繪制如圖3-2.因為點F是△ABC的外心，則DE⊥AB于點D，且D是AB中點，所以可以依次確定點D與點B的位置，進而確定AB的長度，繪制出△ABC如圖3-3.點E的位置是確定的，求EF長的關鍵是確定點F的位置，而點F是△ABC的外心，那就必需再繪制△ABC的邊AC或BC的垂直平分線，與DE的交點就是點F.因為AC的長度是確定的，所以AC的垂直平分線也是確定的，與DE的交點F也就確定了，則EF必可求.通過重新繪制本題的圖形，堅定了學生解決問題的信心，更重要的是讓隱藏起來的線FG必然的顯現出來，使添加輔助線變的自然而然.

圖3-2

圖3-3

圖3-4

在初中三年的教學中，一種好的思維方式只教學生一次是不夠的，需要教師在不同的階讓學生反復經歷.“反復經歷、深化認識”，既是對學生不同學習階段的客觀要求，也是促進學生積累經驗、提升解題能力的必經之路.

通過以上這3道例題，讓學生分階段感受當解題遇到困難時，經歷回溯圖形的繪制過程，分解或組合條件思考能得到什么，即分析確定的量與確定的關系，將所知與問題相結合，發現隱藏的信息，找尋解題思路.

一個問題有多種解法固然能提高思維的廣度，但多個問題歸于一種解法更為重要，這不僅減少學生的課業量更是有效提高學生的思維的高度，達到“解一題，會一類，通一片”.

2 多視角回溯繪圖，究解題方法

一些經過大量刷題訓練的學生確實“見多識廣”,但是他們對概念、定理定律和公式法則這些抽象的東西沒有深入琢磨和思考，造成抽象思維很難建立起來.特別的，這些學生只是機械的記憶一些解題技巧和方法，卻缺失了分析、思考問題的能力.

圖4-1

圖4-2

圖4-3

這些學生通過模仿費馬點問題構造旋轉或許能解決問題，但其中構造什么、怎樣構造、為什么要構造不甚了了，特別是解題時必然會遺漏本題的多種結論.接下來對本題通過回溯圖形的繪制過程進行定性分析

圖4-4

如圖4-5，繪制∠BCD=∠ABP，由 tan∠ABP=tan∠ACB=2，即點A在射線CD上.

圖4-5

圖4-6

綜合點A即在⊙C′上又在射線CD上，可得點A為⊙C′與射線CD的交點.

由圖象發現圓與射線有2個交點，說明本題滿足條件的AC的長有2個.當然由于學生繪制圖象不一定準確，但當出現這種情況下肯定會思考直線與圓的位置關系，察覺本題不能只按題目原圖解決問題，而要思考是否有不同解.

如圖4-6，當圖形繪制完成之后自然形成一個常見的旋轉變換的幾何模型，那么連接CC′，在△ACC′中，CC′、AC′、∠ACC′都是確定的，這是由于“邊邊角”的條件，因此可得兩個AC的值，這也與所繪制的結果相符合.

圖4-7

圖4-8

圖4-9

3 反思“繪圖解題”，鍛煉深度思維

解題要“瞻前又顧后”，解題后進行反思.簡單的題目就琢磨其蘊含的基本圖形，難題就想解決這個問題的方法和策略.把握住思想和方法，提煉出對未來解題有指導作用的信息.

反思“回溯圖形繪制進行解題”的方法，發現不但對數學題目本身及解題方法的重新認識，而且在繪制圖形的過程中看到本題用到哪些知識、什么方法，這些知識與方法是如何組合在一起的，從中鞏固概括出的基礎知識、邏輯結構等.同時繪制圖形直觀展現了確定問題源的條件，支持學生平移、旋轉、翻折，讓圖形更生動、學生的思維更深入，更恣意伸展！