因“型”制宜話大小
——指、對、冪型數(式)大小比較

柴澤禮

(甘肅省永昌縣第一高級中學，甘肅金昌，737200)

比較大小問題在高考中一直占有一席之地，我們都是通常利用對應函數的單調性來進行大小比較.但對于指數、真數、底數不同的情況混合在一起進行比較大小時，由于形式各異，而且不能具體計算出該式子的值，也不能直接利用函數的單調性進行比較，這就成了很多同學無法逾越的“障礙”，所以只能通過亂猜、靠運氣.[1]現就對此類問題進行分類舉例，對常用的方法和技巧進行歸納總結，以饗讀者.

1 通過公式化為同底或同指

A．b

(2) (2013年新課標全國Ⅱ8)設a=log36,b=log510,c=log714則( )

A．c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

解析給出的a、b、c的“型”一樣，故只需進行等價變形，化為同底、同指、同真即可.

(2)a、b、c的底、真都不同，但三個式子的真數都可以分解成含底數的兩個因數的乘積形式，所以可以用對數的運算法則與換底公式化為同底的形式，進而利用對數函數的單調性進行大小比較.即

2 借助“中間量”或確定大致范圍

如果給出的式子既有指數式又有對數式，直接無法比較其大小，更無法相互進行轉化為同底或同指或同真的形式，則借助“中間量”分別與要比較的數進行比較，從而可間接地比較出要比較的數的大小.而對指對數式而言，優先選取的“中間量”通常為0和1，這在兵法上可稱為“分割包圍，各個擊破”.有時候0、1會“失效”，這時就要看給定的式子中是否有定值，若有則可選此定值為“中間量”，若無則需根據所給式子的范圍進行估計.如log23，可知1=log22

A．a

A．a

解析給出的a、b、c的“型”不一樣，則需先對同“型”的進行比較，再取“中間量”與其進行比較.

3 利用函數的圖象

如果不是直接給出幾個具體式子的大小比較，而是以方程根的形式給出，若可以求解該方程的根，則只需求解出根用方法一、二比較即可，如2a=6可得a=log26.若該方程是以“超越方程”的形式出現，則無法求解出根，直接比較很困難.此時常常要將問題轉化為兩個函數圖象交點的橫坐標大小問題，再借助圖象進行求解.

A．c

4 構造函數

如果給出的是結構相似或相同的式子或不等式的大小比較，看似無“型”，實則有“型”.通常可以考慮通過變形得到同“型”不同“量”的幾個式子，進而構造函數，利用函數的單調性進行比較.

典例4(1) (2020·全國Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，則( )

A． ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0

C. ln |x-y|>0 D. ln |x-y|<0

(2) (2021·武漢市質量監測)已知a=4ln3π，b=3ln4π，c=4lnπ3則a、b、c的大小關系是( )

A．c

指、對、冪函數值比較大小的試題是高考中的常見題型,此類試題雖然題目簡短但內涵豐富,不僅考查指數函數,對數函數,冪函數的運算,性質,圖象等內容,還可以綜合考查導數和不等式等知識.[2]而此類問題處理的核心就是“求同存異”，將幾個數(式)變形為具備某相同的部分，從而轉化比較的對象，使它們同“型”，將“無法比較”轉變為“可以比較”.