結構模糊可靠度的計算方法

溫 馨， 田 豐， 解豐銘

（遼寧石油化工大學土木工程學院， 遼寧 撫順 113001）

引言

可靠性主要是用來評價一個結構是否滿足要求的指標，定義為結構在規定時間和條件下，完成指定功能的能力[1]。經典可靠性理論中，將結構所受到的應力以及結構的強度視為隨機變量，即考慮了基本變量的隨機性。隨機性是指某個事件在明確給出的條件下，有可能發生或不發生的性質。而模糊性是指一個事件發生了卻無法對其進行明確定義的性質[2]。顯然，實際工程中，基本變量不僅具有隨機性，同時也存在著大量的模糊性。因此在可靠性計算過程中，需要同時考慮變量的隨機性和模糊性，才能得到更為精確的結果。

根據經典可靠性和模糊數學理論，得出模糊事件的可靠度計算公式為：

近些年來，學者們對于可靠性的研究主要集中在隨機可靠性方面，對于模糊可靠性的研究較少。最先對結構的模糊可靠性進行研究的是A.Kaufmann，他提出將模糊理論應用于可靠性計算中。黃洪鐘等[4]考慮了結構極限狀態的模糊性，并提出用狀態變量來表示廣義靜強度的模糊可靠度計算方法。AndrewUtomi Ebenuwa 等[5]基于模糊可靠性理論，提出一種埋地管道的可靠性和風險評估方法，并將其用于確定管道的最佳維修時間，以提高維修效率并節省成本。鄭山鎖等[6]基于“投資- 效益”準則，建立了框架結構的可靠性優化模型，并將其應用于Monte Carlo 算法中，通過算例證明了該優化算法的可行性。

1 模糊可靠性計算方法

1.1 模糊事件的隸屬函數

對于一般集合來說，可以用1 來表示某個元素屬于這個集合，用0 來表示該元素不屬于這個集合。由于模糊集合具有不確定性，因此用一個介于0～1 之間的函數（x）來表示元素對該集合的屬于程度，這個函數就是該模糊集的隸屬函數[8]。

1）模糊強度- 隨機應力下的隸屬函數。結構在設計施工過程中，由于材料存在不確定性導致結構強度具有一定的模糊性。將結構受到的應力看作隨機變量S，結構的強度看作模糊變量。模糊強度- 隨機應力狀態下的隸屬函數如下頁圖1 所示。

由圖1 可知，xmin為隨機應力S 的下限值，xmax為隨機應力S 的上限值，顯然可得下式。

當xmax≤s≤xmin時，陰影部分為模糊安全區域，記為Dr，另一部分為模糊失效區域，記為Df。顯然圖1中，模糊安全區域的面積為（x）dx，模糊失效區域的面積為x）dx，我們可以利用圖1 中模糊安全區域的面積與總積分面積的比值作為該模糊事件的隸屬函數，即：

2）模糊應力—隨機強度下的隸屬函數。除了上文所述的強度具有模糊性外，結構所受到的應力也具有模糊性。將結構的強度視為隨機變量R，結構所受到的應力視為模糊變量，模糊應力—隨機強度狀態下的隸屬函數如圖2 所示。

由圖2 可知，xmin為隨機強度R 的下限值，xmax為隨機強度R 的上限值，顯然可得下式。

當xmax≤r≤xmin時，陰影部分為模糊安全區域，記為Dr，另一部分為模糊失效區域，記為Df。根據圖2可知，模糊安全區域的面積可表示為x）dx，模糊失效區域的面積可表示為x）dx。同理，利用上述理論，整個模糊事件的隸屬函數可以用模糊應力狀態下的隸屬函數中的模糊安全區域的面積與總面積的比值來表示，即：

則整個模糊事件的隸屬函數如式（7）所示。

1.2 模糊事件的可靠性計算

由隨機事件的概率公式可得模糊事件的概率公式如式（8）所示。

1.2.1 模糊強度—隨機應力下的可靠度計算

將式（4）代入式（8）中，可得整個模糊事件的可靠度如式（9）所示。

式中：Pr為結構的可靠度。

理想情況下，當結構的強度不存在模糊性時，上式可轉化為式（10）。

式中：P（A）為隨機事件的概率。

1.2.2 隨機強度—模糊應力下的可靠度計算

將式（7）代入式（8）中，則整個模糊事件的可靠度如式（11）所示。

同理，在不考慮結構所受應力的模糊性時，上式可轉化為式（12）。

顯然，在不考慮基本變量模糊性的條件下，本文所給出的公式與經典可靠性理論中的計算公式一致，足以說明本文所提出的公式的適用性。

2 算例1

某新線大橋中在修筑過程中所采用的鋼筋為HRB400 鋼筋，其屈服強度為400 MPa 左右。鋼筋屈服強度的隸屬函數滿足三角型分布，假設鋼筋所受的應力服從正態分布，即σ～N（260，212）MPa。屈服強度的隸屬函數如式（10）及圖3 所示。求解該鋼筋的屈服強度的模糊可靠度。

鋼筋屈服強度的隸屬函數為：

則根據上述理論可得鋼筋在模糊安全狀態下的隸屬函數為：

當370＜s＜400 時，

當400＜s＜440 時，

根據正態分布的密度函數可得，

則由式（9）可知，鋼筋的模糊可靠度為：

當不考慮鋼筋強度的模糊性時，計算得到的鋼筋可靠度為：

比較兩種情況下鋼筋的可靠度，我們可以得到：在考慮鋼筋模糊性時計算的結果比正常計算結果保守，足以說明計算結構的模糊可靠度能更好地保障結構的安全。

3 算例2

某水利工程中的渡槽橫梁和縱梁均采用C50 混凝土，其抗壓強度為50 MPa，假設其抗壓強度服從正態分布，即fC～N（50，42）MPa。渡槽橫梁和縱梁所受應力大約為35 MPa，其隸屬函數符合三角型隸屬函數分布，其隸屬函數如式（14）及圖4 所示。計算該混凝土在模糊應力下的可靠度。

應力的隸屬函數為：

同理可得，渡槽橫梁和縱梁所受到的應力在模糊安全狀態下的隸屬函數為：

因為混凝土抗壓強度服從正態分布，所以可得：

則由式（11）可得，混凝土受到模糊應力狀態下的可靠度為：

當不考慮混凝土所受應力的模糊性時，計算的混凝土可靠性為：

對比可得，在設計時，考慮混凝土所受應力的模糊性時的計算結果比不考慮其所受應力的模糊性時的計算結果更加保守，結構也更加安全。

4 結論

本文出于實際工程中結構構件的安全性考慮，提出了一種計算結構模糊可靠性的算法。用結構模糊安全狀態下的隸屬函數來表示整個模糊事件的隸屬函數。通過對比以上兩個算例考慮模糊狀態和不考慮模糊狀態的可靠度計算結果可得：利用本文提出的方法計算出的模糊可靠度要比不考慮模糊狀態時計算出的可靠度數值保守，使用該方法進行可靠度計算，能夠更好地保障工程結構的安全。