一種考慮非線性形變的柔性航天器邊界穩定控制方法

袁 泉 魏春嶺 張 軍

1. 北京控制工程研究所，北京 100094 2. 空間智能控制技術重點實驗室，北京 100094

0 引言

空間太陽能電站作為大型空間結構，在結構尺寸上達到公里量級，呈全柔性狀態，即不存在剛性構架。與剛體結構相比，全柔性航天器的空間分布特性使得相應的動力學模型描述與控制問題變得更加困難。Wie等[1]針對位于地球同步軌道的太陽能電站衛星，設計了采用電推力器的軌道姿態控制系統，通過低控制帶寬降低結構振動與控制的相互作用。Wu等[2]將太陽能電站衛星視作剛體，考慮重力梯度、太陽光壓等攝動作用，利用抗擾技術與LQR理論設計了魯棒最優太陽指向控制策略。Ji等[3]基于多剛體動力學模型設計了空間太陽能電站衛星姿態控制系統。Fujii等[4]通過數值與實驗的方法研究了繩系空間太陽能電站衛星的振動控制問題。Li等[5]考慮了軌道姿態振動耦合的太陽能電站衛星動力學控制。

邊界控制由于實現形式簡單，在分布參數系統的控制中得到了大量的研究與應用。Lagnese[6]研究了部分邊界固定、部分邊界自由的線性彈性動力學系統的邊界穩定問題，給出使得系統一致穩定或強穩定的邊界控制。Lasiecka[7]考慮了二階Petrovsky型演化方程的非線性邊界穩定問題。Balakrishnan[8]分析了一端固定、一端自由且受控制力與力矩作用的Bernoulli梁的等比例阻尼問題。Leugering[9]利用速度反饋，給出了含Boltzmann型弱黏彈性阻尼的懸臂梁的一致穩定邊界剪切力控制。Ma等[10]分析了一端固定、一端自由且受截切力作用的可伸長非線性梁結構的非線性邊界穩定的能量耗散性。Do[11]提出了可大范圍運動的Euler-Bernoulli梁在常見邊界條件下的邊界穩定控制器設計方法，并進行了適定性與穩定性分析。Wozniak等[12]分析了旋轉Timoshenko梁在與其固定的驅動電機的角加速度控制下的穩定性，找到使得系統穩定裕度最大的最優阻尼系數。將帆板等柔性部件視作分布參數對象，邊界控制方法可以用于柔性航天器的主動振動抑制。Li[13]考慮了由中心剛體與彈性梁組成的柔性航天器的姿態機動問題，根據非線性耦合動力學系統，通過線性反饋得到中心剛體上的控制力矩，實現大角度姿態機動與振動抑制。He等[14]將帶有兩個柔性太陽能帆板的衛星等效為中心剛體與兩個Euler-Bernoulli梁的組合體，通過對中心剛體施加控制實現兩塊帆板的振動抑制。Zuyev等[15]考慮了剛體與Kirchhoff板組成的多體力學系統在3個獨立控制力矩作用下的非線性控制問題。

對于空間太陽能電站等大型柔性空間結構，在發生大撓度變形從而幾何非線性形變不可以忽略的情況下，將彈性運動視作對剛體運動的擾動[1-3]或者僅考慮小應變的耦合動力學模型[5]均難以描述幾何非線性引起的動力學剛化現象。因此，本文將空間太陽能電站近似為平面內運動的非齊次自由邊界非線性變形梁結構，建立同時考慮全柔性航天器全局剛體運動和局部彈性運動耦合的空間連續動力學控制系統模型，采用端點配置推力器與控制力矩陀螺的控制構型，利用自由邊界非線性梁的邊界控制方法設計姿態穩定與振動抑制控制器。文章內容安排如下：第1節針對空間太陽能電站動力學系統，給出考慮大范圍運動、大變形及邊界控制輸入項的連續系統模型；第2節基于能量耗散原理，設計全柔性航天器姿態穩定與振動抑制的邊界控制器；第3節通過數值求解算法，對全柔性航天器動力學控制方程進行數值仿真，以驗證所設計的邊界穩定控制律的有效性；第4節給出文章的結論。

1 空間太陽能電站的連續體動力學控制方程

如圖1(a,b)所示，將全柔性空間太陽能電站近似為平面內運動的自由邊界均勻梁結構，采用混合坐標法，考慮平動、轉動與彈性運動的耦合。具體地，采用兩端自由的有限變形梁近似全柔性太陽能電站的動力學特性，假設彈性運動滿足線性應力應變關系，考慮徑向彈性變形與橫向彈性變形的耦合，彈性變形量取值于梁的剛柔耦合運動相對剛體運動的商空間，采用線性約束方式確定浮動坐標系。

圖1 自由彈性結構示意圖

1.1 坐標系的選取與運動學描述

(1)

即認為未變形的“剛性”梁質心與實際變形后的梁的質心重合，姿態為變形梁的中性線的方向的平均值。

圖2 坐標系與位形變量示意圖

1.2 連續體動力學方程

當考慮結構變形對輸入的耦合作用時，如圖1(c)所示，需要對u?X(·,t)中的推力器和控制力矩陀螺兩類輸入項按照所在位置處的位形變量進行變換。

記h、b、ρ、m和E分別為梁的厚度、寬度、密度、質量和彈性模量，J為梁未變形情況下的轉動慣量?？紤]由梁結構的幾何非線性引起的徑向彈性變形與橫向彈性變形的耦合，采用Hamilton原理，建立平動、轉動與彈性運動耦合的空間太陽能電站動力學模型。這里略去動力學推導過程，直接給出整理后的動力學模型。

x(t0)=[[rx0ry0θ0] [vx0vy0ω0]
[u0(·)w0(·)] [vu0(·)vw0(·)]]T
∈SE(2)×se(2)×XKn1/2×XK1/4

(2)

(3)

其中，動力學方程式(2～3)中的相關符號、變量與變量所在空間、空間上的算子的說明如下。

1.2.1 符號說明

上標“·”表示相應變量對時間的導數，上標“T”表示轉置；、、、分別表示相應指標的Hilbert空間、Lebesgue可積函數空間、Banach空間、連續函數空間，其上的內積與范數由自然的能量函數的二次型部分確定；Ker、Dom分別表示映射的零空間與定義域。

1.2.2 相關的變量與函數空間

動力學方程式(2～3)中，狀態變量的各分量的定義及所屬函數空間為

xr=[rx|ry|θ]T∈2(t0,tf;SE(2),se(2),se*(2))

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，SE(2)表示剛體位形空間的二維歐式變換群，se(2)與se*(2)分別是與SE(2)對應的速度、角速度與力、力矩的李代數及其對偶空間，πSE(2)是與約束關系式(1)一致的自然投影映射

(8)

(9)

Banach函數空間的商群定義與Hilbert函數空間的情形類似。

(10)

這里，

(11)

(12)

通過映射πse*(2)對推力器與控制力矩陀螺產生的整體剛體運動效應和局部彈性效應進行分解。即推力器與控制力矩陀螺輸出的“合”推力與力矩為

(13)

其中，

(14)

(15)

推力器與控制力矩陀螺輸出的“凈”應力與彎矩為

(16)

其中，應力與彎矩的內部分量為

(17)

應力與彎矩的邊界分量為

(18)

1.2.3 相應的算子

與剛體運動對應的質量矩陣為

Mr=diag(m,m,J)

(19)

(20)

動力學方程中的1表示相應空間上的單位映射，1的維數根據對應元素確定，這里為了表達的簡潔性統一表示為1。

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

GK[fx,fy,τ]T=[ux,uy]T

(26)

與

(27)

相互等價。借助GK，可以將非齊次邊界問題轉化為齊次邊界問題。

(28)

邊界微分算子的非線性部分

2.4 糖尿病患者握力與體格指標、生化指標的相關性分析 Pearson相關分析發現：無論是男性還是女性，糖尿病患者的握力與其BMI、腰圍、清蛋白、總蛋白、肌酐、NRI呈正相關（P＜0.05），與年齡、糖尿病病程、糖尿病并發癥數量、其他代謝性疾病數量、空腹血糖、餐后2 h血糖、胰島素抵抗指數呈負相關（P＜0.05）。見表2。

(29)

(30)

(31)

(32)

2 全柔性航天器邊界穩定控制

對于梁結構而言，邊界控制指執行機構安裝在梁的兩端。常見的彈性結構邊界控制主要是通過速度反饋引入耗散項，依靠連續體動力學的空間傳遞作用，使得彈性結構振動發生衰減。

2.1 邊界控制問題描述

全柔性航天器的邊界穩定控制問題是指，給定初值x(t0)，通過設計基于狀態反饋的邊界穩定控制器

u?X(·,t)=f(x(t))

(33)

即

使得動力學控制系統(2～3)滿足

(34)

(35)

(36)

2.2 控制器設計

根據自由邊界梁在邊界處的平動與轉動速度，施加滿足全柔性航天器整體能量耗散關系的作用力與力矩，使得航天器按期望狀態運行。根據動力學方程，可以選擇控制律

(37)

(38)

(39)

(40)

其中，

(41)

(43)

(44)

CFL、CTL、CFR和CTR是相應維數的控制參數矩陣。

2.3 穩定性分析

全柔性航天器的能量泛函

(45)

當選擇如式(37～44)所示的控制律時，求取能量泛函的時間導數

(46)

其中，當且僅當在由式(34)確定的相對平衡點處，等號成立。

因此，全柔性航天器在控制律式(37～44)作用下，收斂于相對平衡點。

3 數值仿真與分析

對全柔性航天器動力學控制方程進行數值仿真，以驗證所設計的邊界穩定控制律的有效性。采用有限元方法對連續動力學邊界控制系統進行空間離散化，使用對角隱式Runge-Kutta方法對耦合的姿態分量和彈性運動分量進行時間離散化，得到具有鞍點結構特點的非線性代數方程組；再采用零空間法通過Newton-Krylov迭代方法求解鞍點問題。

3.1 數值仿真參數

全柔性航天器動力學控制方程的相關仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數值

對于給定的狀態初值，分別計算不施加控制與在t=60s時引入如式(37～44)所示的邊界控制作用2種情形下的動力學響應。

3.2 數值仿真結果

在t=60s時引入邊界控制作用時，全柔性航天器端點與中點位置的角速度曲線如圖3(a)、3(c)與3(b)中實線所示，位于兩個端點的沿軸向和橫向的推力器以及控制力矩陀螺的輸出如圖4(a)、4(b)及4(c)所示。

圖3 全柔性航天器端點與中點處的角速度曲線

圖4 全柔性航天器在邊界控制作用下的推力器與控制力矩陀螺輸出值曲線

3.3 仿真結果分析

由圖4發現，因為全柔性航天器的一階撓度方向振動在彈性運動中起主導作用，由邊界控制得到的兩端軸向推力器輸出的推力、控制力矩陀螺輸出的力矩相位相反，撓度方向的推力器輸出的推力相位相同。兩個端點處沿撓度方向的推力器輸出的推力幾乎相同，說明全柔性航天器的低速旋轉整體運動對于局部彈性運動的影響不明顯。這里更關注的是軸向、橫向推力器輸出值的相對大小，由于仿真參數沒有對應實物的尺寸與性能參數，在分析具體的被控對象時，需要考慮適當的尺度變換，以利用本文所給出的全柔性航天器邊界穩定控制問題的分析與設計結果。

4 結論

通過直接對基于連續空間的考慮幾何非線性變形的全柔性航天器系統動力學模型設計基于能量耗散方法的邊界穩定控制器，利用布置在全柔性航天器兩端的推力器和控制力矩陀螺實現了具有動力剛化特點的非線性自由邊界彈性體的邊界穩定控制。

邊界控制實現形式簡單，適用于少數低階模態起主導作用的振動抑制問題。對于低頻模態密集的超大型全柔性航天器，可能存在多個相對邊界撓度運動不敏感并且不能直接忽略的模態振型運動，需要考慮在連續彈性體邊界之內增加執行機構，即采取內部控制。