基于軌道擬平根的合作目標機動跟蹤UKF相對導航方法

楊盛慶 陳筠力 王 禹 賈艷勝 崔 佳 王嘉軼

1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 201109 3.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109

0 引言

高精度的導航數(shù)據(jù)處理是實現(xiàn)航天器智能自主控制的基礎(chǔ)[1]，航天器的高精度相對導航則是實現(xiàn)自主編隊軌控任務(wù)的基礎(chǔ)。不同的編隊控制任務(wù)，譬如近程交會對接、編隊保持、編隊重構(gòu)，其導航所需獲取的狀態(tài)信息也不盡相同。由于任務(wù)時間較短，交會對接的近程導引段與接近段一般采用CW制導。使用Hill方程進行相對導航，即能夠獲取較高精度的制導率所需的相對位置、速度信息。對地測繪領(lǐng)域，合成孔徑雷達(synthetic aperture radar, SAR)載荷的干涉成像分布式衛(wèi)星則需要實現(xiàn)長期的在軌自主編隊保持和必要的編隊重構(gòu)。目前，在軌的分布式SAR衛(wèi)星編隊主要有PRISMA[2-3]、天繪二號[4]等。參考文獻[5-6]提出了基于相對軌道擬平根的編隊動力學模型。該模型通過定義編隊構(gòu)型參數(shù)，將Hill坐標系這類周期變化的相對狀態(tài)參數(shù)轉(zhuǎn)化為了僅具有長期項變化的相對軌道擬平根。由相對軌道擬平根構(gòu)造的相對導航濾波算法能盡可能降低周期相對運動導致的導航誤差，從而減小導航誤差導致的控制代價。編隊構(gòu)型參數(shù)中軌道面內(nèi)的沿跡向漂移和半長軸偏差，反映了雙星在軌道面內(nèi)的平均化的相對運動特征。但是，星間的半長軸偏差并非直接可測的物理量，其相關(guān)的觀測方程具有較高的非線性，因此半長軸偏差的準確獲取存在困難。參考文獻[7]提出了一種基于約化相對軌道擬平根的衛(wèi)星編隊導航方法，基于沿跡向漂移的歷史數(shù)據(jù)估計半長軸偏差，針對控制頻率固定、控制間隔時間充分的多脈沖自主編隊保持[8-10]，能夠?qū)崿F(xiàn)長期穩(wěn)定的高精度衛(wèi)星編隊相對導航。參考文獻[7]所述方法，采用相對位置作為觀測量，基于約化相對軌道擬平根構(gòu)造了擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)濾波算法。該方法所采用的EKF濾波算法相較無跡卡爾曼濾波算法(unscented Kalman filter, UKF)，在處理非線性較強的動力學系統(tǒng)時存在不足[11]。當存在軌道機動時，EKF濾波算法中的狀態(tài)估計和測量信息不符導致狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣的偏差累積，最終導致濾波發(fā)散，無法跟蹤控制過程中構(gòu)型參數(shù)的變化。參考文獻[12]基于改進的編隊Lawden方程構(gòu)造UKF相對導航濾波，編隊狀態(tài)估計精度明顯優(yōu)于采用EKF的濾波方法。參考文獻[13]構(gòu)造了基于相對軌道擬平根的UKF濾波算法，該方法將雷達體制的測距測角信息轉(zhuǎn)化為相對位置、速度信息，進而轉(zhuǎn)化為相對軌道擬平根作為濾波算法的狀態(tài)變量。參考文獻[14]針對航天器氣動輔助變軌問題，采用UKF進行參數(shù)優(yōu)化估計。但是，上述方法均未考慮軌道機動對相對軌道動力學產(chǎn)生的影響。

未來，隨著電推進的普及，自主編隊保持的控制間隔將更短。高比沖的電推進，也為自主編隊構(gòu)型重構(gòu)的應(yīng)用提供了必要的基礎(chǔ)，上述自主控制任務(wù)都對相對導航提出了更高的要求。但是，目前基于相對軌道擬平根的導航方法中沒有考慮軌道機動跟蹤的濾波算法。軌道機動的跟蹤有多種方式，濾波器設(shè)計層面有漸消因子自適應(yīng)濾波等方式[15]。但核心的問題還是建立更準確的動力學模型。參考文獻[16]采用交互式多模型UKF算法，研究了地空導彈武器指控系統(tǒng)的機動目標跟蹤方法。參考文獻[17]采用自適應(yīng)交互式多模型UKF算法，研究了小行星探測任務(wù)中小推力變軌過程的自主導航方法?？紤]到合作目標的編隊通常具有星間鏈路，能夠有效測量雙星之間的相對位置、速度和傳遞機動加速度信息。編隊運動方程基于Hill坐標系，相對運動具有軌道周期特征。自然攝動下(主要是地球中心引力)的三軸相對加速度呈周期性，且數(shù)值大于機動控制產(chǎn)生的影響，基于Hill方程的濾波中機動加速度近乎于測量噪聲，無法有效跟蹤半長軸偏差變化。針對上述情況，充分利用可測信息，構(gòu)造基于高斯攝動方程的相對軌道運動狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和高維狀態(tài)觀測方程能夠有效跟蹤軌道機動過程中構(gòu)型參數(shù)的變化情況，有利于星上自主策略的快速生成和更新。

本文針對存在軌道機動的編隊導航問題，提出了基于高斯攝動方程進行相對軌道擬平根狀態(tài)估計的方法。同時，充分利用星間測量的相對位置、速度信息，建立高維觀測方程，保證了導航濾波的實時穩(wěn)定性，不再需要歷史數(shù)據(jù)進行星間半長軸偏差的估計。本文方法能夠有效跟蹤軌道機動對編隊相對運動產(chǎn)生的影響，給出連續(xù)穩(wěn)定的相對導航結(jié)果。

1 相對軌道動力學與導航方法

1.1 Hill方程與相對導航

航天器編隊在軌道系下的相對運動滿足[5]

(1)

下標1,2為航天器編號，式(1)可以化簡為

(2)

其中，

Hill坐標系與軌道坐標系轉(zhuǎn)換為常值矩陣

式(2)兩側(cè)同乘Aoh可以得到Hill坐標系下的相對運動方程。式(2)兩側(cè)均為一次多項式，因此Hill方程在軌道系和Hill坐標系下的形式一致。

圖1 衛(wèi)星編隊與Hill坐標系定義[7]

不同于交會對接近程段的線性逼近，橢圓編隊的相對速度呈周期性變化，其相對加速度解析公式如式(2)所示。該項系統(tǒng)固有的相對加速度大于一般電推進系統(tǒng)實施軌道控制所產(chǎn)生的加速度。因此，基于Hill方程的相對導航中加入推力效應(yīng)等效于系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移時的噪聲，無法體現(xiàn)對相對軌道特征的影響。

編隊構(gòu)型參數(shù)與Hill坐標的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

上述編隊構(gòu)型參數(shù)能夠較好地反映相對運動的幾何特征。沿跡向漂移l為相對運動的橢圓中心與主星的距離，星間的半長軸偏差Δa可以理解為沿跡向漂移的變化速率，是與沿跡向漂移相關(guān)的統(tǒng)計量。

使用Hill方程的相對導航能夠較好地跟蹤軌道機動情況下的相對位置、速度信息，及部分編隊構(gòu)型參數(shù)，但無法快速準確獲取半長軸偏差。實時導航濾波過程中，式(3)中的Δa只能置零處理。構(gòu)型參數(shù)無法跟蹤真實的變化情況，不能滿足自主軌道控制的控制策略輸入要求。

1.2 基于相對軌道擬平根的相對導航

定義相對軌道擬平根[7]

(4)

式(4)中，ak,ek,ik,ωk,Ωk,uk(k=1,2)均取軌道平根。定義標量δe,δi滿足

定義如下編隊構(gòu)型參數(shù)，相對軌道擬平根與編隊構(gòu)型參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足

參考文獻[7]提出的基于約化相對軌道擬平根的衛(wèi)星編隊導航方法，克服了模型線性化造成的誤差。該方法僅使用相對位置作為觀測量，且需要使用較長時間積累的歷史數(shù)據(jù)估計半長軸偏差。對于軌道機動情況，無法有效跟蹤相對擬平根的變化情況。機動后需要重啟導航，實現(xiàn)新狀態(tài)的建立。

2 軌道機動跟蹤濾波

2.1 高斯攝動方程與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

(5)

(6)

(7)

2.2 高維觀測方程

為了克服觀測方程的非線性對于Δa估計不準的問題，設(shè)計采用高維的觀測方程。即充分利用合作目標能夠獲取的相對位置、速度和機動加速度等測量信息。

考慮軌道機動的相對軌道擬平根的觀測方程取Y=h(X)，分量滿足式(8)。

(8)

2.3 無跡卡爾曼濾波

UKF采用無跡變換描述非線性方程函數(shù)泰勒級數(shù)展開的二階項和其它高階項，通過少量樣本及其非線性變換后的均值和方差作為狀態(tài)預測、測量預測和相應(yīng)的方差陣[15]。UKF可以達到二階濾波精度，而不必對非線性函數(shù)進行求導，適合本文構(gòu)造的機動跟蹤相對導航模型。從方法實現(xiàn)難宜程度和導航精度方面相較EKF都具有優(yōu)勢。

記系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程為

UKF的算法流程如下[18]。

(a) 初始化

其中，l為濾波器狀態(tài)變量的維數(shù)，α,k為可設(shè)濾波器參數(shù)。

(b) 選擇Sigma點

χi,k-1=

(c) 狀態(tài)預測

χi,k |k-1=f(χi,k-1)

yi,k |k-1=h(χi,k |k-1)

(d) 量測更新

上述式中Qk和Rk分別為系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣和量測噪聲協(xié)方差矩陣。需要指出，針對不同工況下的Qk和Rk優(yōu)化是智能控制研究的一個重要方向。

圖2 機動跟蹤的UKF導航濾波流程圖

3 導航算法的仿真驗證

3.1 基于Hill方程的相對導航

為了充分驗證導航算法對各向軌道機動的跟蹤能力，仿真設(shè)計了軌道系下徑向、切向、法向這三個方向的4次機動?？紤]衛(wèi)星質(zhì)量1500kg，配置40mN電推進，推力加速度為2.67×10-5m/s2。軌道機動的實施情況如圖3所示，相較自然攝動下相對周期運動對應(yīng)的相對加速度，軌道機動的加速度相對較小。

相對測量考慮差分GNSS體制的測量精度，相對位置測量單軸精度0.1m，相對速度測量單軸精度0.001m/s。加速度測量ak考慮10%的偏差，采用如下式的簡易濾波anav(tk)=0.2·ak+0.8·ak-1。

根據(jù)仿真結(jié)果可以觀察到，基于Hill方程的相對導航，能夠跟蹤Hill坐標系下的相對位置、速度變化，如圖4所示。但是，對于構(gòu)型參數(shù)中半長軸偏差Δa無法有效跟蹤。如圖5所示，動力學曲線能夠有效反應(yīng)歷次軌道機動的變化過程，體現(xiàn)為構(gòu)型參數(shù)的變化。但是，基于Hill方程的UKF濾波無法精準確定星間的半長軸偏差。導致采用式(3)計算編隊構(gòu)型參數(shù)時相關(guān)參數(shù)的失真現(xiàn)象，無法連續(xù)并準確地確定機動過程中的編隊構(gòu)型參數(shù)。

圖3 自然攝動和軌道機動在軌道系下各軸變化情況

圖4 基于Hill方程的相對導航的相對位置、速度確定精度

3.2 基于軌道擬平根數(shù)的相對導航

使用本文所述的UKF相對導航方法，進行軌道系下三個方向軌道機動的跟蹤。UKF濾波器參數(shù)取值α=0.001,k=0。

濾波仿真結(jié)果如圖6和8所示，作為比對實驗，設(shè)置了未采用機動跟蹤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的導航濾波仿真，結(jié)果如圖7和9所示。仿真結(jié)果表明，本方法能夠有效跟蹤機動過程中構(gòu)型參數(shù)的變化，半長軸偏差的確定維持了較高的精度。

圖5 基于Hill方程的相對導航構(gòu)型參數(shù)

圖6 基于本文方法的相對導航結(jié)果

圖7 未采用機動跟蹤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的相對導航結(jié)果

圖8 基于本文方法的相對導航精度

圖9 未采用機動跟蹤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的相對導航精度

4 結(jié)論

提出了一種基于軌道擬平根數(shù)的UKF相對導航方法。針對基于Hill方程或者約化相對軌道擬平根的相對導航所存在的不足之處，考慮將高斯攝動方程引入到相對軌道擬平根的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。推導了高維的觀測方程，結(jié)合UKF濾波算法，實現(xiàn)了針對編隊構(gòu)型參數(shù)和星間半長軸偏差的高精度相對導航。

本文方法充分利用合作目標相對位置、速度和機動加速度等測量信息，能夠跟蹤軌道機動對相對運動產(chǎn)生的影響，連續(xù)給出控制策略所需的相對導航結(jié)果。