初中數學習題變式思維能力訓練探討

何慶

廣州大學附屬中學南沙實驗學校（廣東省廣州市 511466）

在初中教育過程中，許多數學教師往往只注重習題的單一解題方法教育，同時較為依賴題海戰術，忽略了對變式思維能力的訓練。如果學生沒有掌握變式思維，很可能在解題過程中出現解題過程復雜的情況。初中數學教師要合理對學生進行引導，讓學生了解不同的解題方法，進而了解和挖掘更多習題變換技巧，提升習題水平的同時。

1 變式教學提出的現實背景

很多我們認為學生早已熟悉了的知識點，在一輪又一輪的考試中，僅僅是將題型和數量關系稍作變化，就讓一些同學不知所措。

1.1 長期刷題產生厭學情緒

在批改學生測試卷子時可以發現，他們在選擇題方面的正確率不高，而那些平時成績不錯的同學，正確率也只有70%左右。比如“在一個平面上，有三個點M、P、Q,如果MP=9，MQ=4，那么PQ 的長度為（ ）。A、13；B、5；C、13 或5；D，無法確定。”這一題，有72%的同學選擇 C。老師遇到這種情況，也很困惑，便與同學們閑談，同學們就說“天天做那么多的題，看見MP=9，MQ=4，PQ 就等于13 或5，下意識地認為結果是13 和5。”老師聽完同學們的一席話，大受觸動，發現同學們做題都很馬虎。他們并不是不想學習，只是應付性地完成作業，對數學學習產生了一種排斥心理。

1.2 題海戰術違背教育規律

題海戰術，導致了很多學生不能有足夠的睡眠，使他們的學習效率變得很低，思想僵化。在做題和解決實踐問題時，總是試圖借用以往的知識，缺少深入的思考和創造性。我們所提的“變式教學”，旨在克服“題海戰術”所暴露出來的問題以及老師所要改變而不能改變的困境，更多地以老師的課堂和學生的解題實踐為基礎，對問題的演化和發展進行了詳細的探討，著重于技術和方法的發展。并在此基礎上進一步總結了初中數學各種課程的教學方式。

2 變式教學模式設計與實踐

2.1 不同課型的模式設計

變式教學并非隨意、即興地進行，應根據教學目的和學生的實際情況進行精心地設計。本文從教學原則、目標導向原則和針對性原則出發，總結出了不同類型的初中數學教學的教學方式。比如：

1、概念課模式：打造問題情境，對新知識的探索，概念的生成，變式深化，變式的訓練，歸納和提煉。其關鍵環節是“變式深化”，在學生生成概念后，不急著運用概念來解決問題，而是透過概念進行深度研究，加深對概念的認識，并讓同學了解其原因。在此基礎上，運用變式練習題組，使學生在解答、變式和探索中加深對概念的認識，從而實現對認知的內化[1]。

2、定理課模式：打造問題情境，探索猜測，證明結論，得出定理。進行變式深化，變式練習，歸納和提煉。這一模式的核心內容是得出定理，并對其進行了深入研究。利用語言、變形、逆向以及推廣的變式方法，讓同學全面認識到定理，然后透過變式題組，使學生在解決問題和編寫題目時，加深對定理的認識與應用。

3、習題課模式：選擇的實例，解法的變式，問題的變式，方法的運用，解決問題，歸納和提煉。運用實例進行解法變式，實現一個問題多個解題方法，完善解法，以提高學生思維的廣闊度和靈活度。同時總結了解題規則和解題方法，并將解題方法運用于解題中，實現解題方法的轉變和技能的培養。最重要的是，教師和學生對案例的探究，可以得到題目的一種或幾種變式，以促進其探究和創造的精神[2]。

4、復習課教學模式：知識的歸納與分析，選擇的實例，探究解決問題的方法，變式的探索，解決問題，歸納和提煉。在復習課上，可以完成一個或多個循環。每個循環是否完整都可以，這要按照選實例的特點來定。它的關鍵在于“探索變式”，“變式”與常規教學中的“變式”是不同的，它具有“新，深，廣”的特征，就是內容新穎、內容深入、手段運用廣泛。在此過程中，老師適時地引導、指導，指引學生的探索方向。

水利工程施工現場管理的目標是組織高效率的施工，使生產要素優化組合、合理配置，保證施工生產的均衡性。由于水利工程建設投資大、工期長、工序復雜、任務重、參與單位多等，為確保工程建設質量和進度，加強水利工程施工現場管理尤為重要。

5、講評課教學模式：全面評估，分類評估，變式訓練，全面復習，歸納和提煉。在“歸類評析”部分，老師可以從典型錯誤、同類題目分類、典型方法和重點知識評析中，對考生的回答進行側重點評析。所謂“變式訓練”，就是老師針對典型的例子進行變式，針對學生犯下的錯誤進行矯正練習，針對數學思維方式而進行的一次加強練習，從而使他們鞏固自己的知識、加強自己的學習方式和培養自己的能力[3]。

2.2 變式之“變”剖析

2.2.1 教師習題變式層面

我們所提的變式教學，使老師的教學水平和解決問題的角度得到了很大的改善，不用像以前那樣，一味地進行題海戰術，而要把課本上的例題、中考題、競賽題等，發揮出它的深度，探究其中奧妙，并加以恰當分析、深層探究，不斷演變，以舊問題的解答激發新問題，讓老師從問題的表象看出問題的實質，進而進行反思，從而達到“舉一反三，觸類旁通”的教學成效。

如前所述，在教學過程中，老師們不會在一堆問題中找到太多的同類問題，而是從一道基本問題開始，然后用一個例子來指導他們，讓他們從問題的答案開始，不斷地捕捉到其中的“靈光”，從而產生新的問題。這個學習的過程，看上去像是在做一道簡單的題目，但實際上，這需要老師對做的數學問題有很好的理解[4]。

2.2.2 學生問題解決層面

運用數學變式，使學生的思維得以發散，提高他們的學習效率。而且還可以直接運用變式的思維，以一種極端的方式，從一開始的十多分鐘就可以解決的問題，變成了一分鐘內解決，效率和精確度都要高，直接“秒殺”了一些題目。在以上的教學實踐中，只要老師稍微指導一下，就可以很快地得到題目的答案，并且在各種特定的情境下，尋找一個突破，從而得到一個標準的解法。更難得的是，在解決問題時，能從新的問題中找到新的結論，從而產生新的問題。通過變式，為數學問題提供鋪墊。因為老師把知識的發生、形成和發展的歷程告訴了他們，讓他們體會到知識是怎樣在他們的知識中逐步演化和發展的，這樣他們才能真實地了解知識的起源，并形成知識網。在概念形成、問題解決和建立行為體驗的過程中，運用這個分層遞進的變式，使學生能夠自我整合，建立較好的知識架構，并提高問題解決的技能[5]。

2.2.3 課堂教學評價層面

我們所說的課堂評價，是一種以學生為中心的、以探索精神為基礎的課堂評價。在實際的教學中，老師要注重學生的學習，注意觀察他們在課堂上如何進行討論、交流、合作、思考和得出結論，以此來對學生的學習進行全面地評價[6]。

3 變式教學反思與建議

在進行變式教學時，會遇到以下問題：“怎樣解決變式教學與學生地位的沖突”“怎樣才能使變式更有效”“怎樣讓學生更易于接受變式教學”“怎樣防止習題變式成為新的題海戰術”。變式是為實現教育目標而服務的，它必須使學生獲得最好的學習結果，使其發揮最大的作用，而不能因為“變”而改變。為了適應教學與學習的需求，針對學生的認識情況來進行變式，以對所學的知識進行了解，將所學的東西變成自己的能力，從而形成一種“運用-領悟-形成技能-發展能力”的認知活動。所以，在實施“變式”的過程中應特別注意下面幾個方面[7]。

3.1 變式不是教師的“專利”

變式練習的目的在于培養孩子的能力，因此要給他們創造一個讓他們參加變式教學的機會。在課堂上，老師要改變思想，充分發揮教學的民主性，使師生之間緊密合作，相互溝通，做到學生力所能及的事，老師絕不包辦代替。同時，老師也要對學生在變式中取得的成績給予肯定和贊揚，使他們能夠激發學習的熱情，激發他們的思維火花，激發他們的創造性，使他們體會到“變式”的快樂。在掌握了一定的基礎上，就可以讓他們自己去做一些變式，在這個過程中，他們會體會到解決問題的樂趣，這樣才能更好地調動他們對數學的興趣，在思考和探索中發現問題，抓住問題的本質[8]。

3.2 怎樣設計變式更有效

學生在解決問題的過程中，并非為了解題而解題，單純的機械重復會讓學生感到厭煩。在進行數學教學時，要采取開放性的教學方式，指導學生學會一題多解，使他們能夠跳出固有的思維定勢，從多種角度思考問題，從而提高他們的思維能力，使他們能夠運用多種方法去解決問題。當問題得到解答后，要能指導同學們進行對比，找到最優的解答；同時，要把握問題的實質，對問題進行新的認識，并形成新的問題。一幅好的畫作，有了更廣闊的視野，就能讓人有一種永生難忘的感覺。同樣，在設計問題時，要有足夠的思維空間。所以，選擇的例題一定要足夠經典。一要重視知識的橫向聯系；二要有延展性，能夠一題多變；三要注重創新與深度[9]。

3.3 變式設計的難易順序要有“梯度”

問題變式要有一定的難度，而且要分步驟進行。要把它控制在學生的能力范圍內，遵循學生的認識規律，逐漸增加難度，否則就會造成學生的恐懼心理，從而影響問題的處理，從而影響教學效果。采用梯度變式題組，能夠使各水平的同學更容易接受。在老師的啟發下，通過類比、分析、化歸，在思考與探索中解決問題，并能從中得到快樂[10]。

3.4 培養學生思維變通能力

在代數習題練習中，教師也可以利用公式變形，訓練學生思維，讓學生在思考中變通。

例如：根式簡化。計算練習中，為了讓學生更加深入地了解公式，可以設計公式變換練習，強化學生對公式的認識，進而提升公式運用能力。比如公式n ≥0），可以展開如下的變換：等式成立的條件？在第一個式子中，二次根式是成立的，即包含了a ≥0，b ≥0 的情況，不考慮增加其他前提條件。而第二個式子的左側想要有意義，需要保證a、b 同號，如果a、b 兩數都是負數，此時右側的根式就變得無意義，所以，要增加a ≥0，b ≥0這一附加條件。通過代數變式訓練，能夠加深學生對公式的印象，避免學生硬背公式。這一教學過程不僅能讓學生快速記住新公式和知識，還能讓學生在對公式內容進行即時練習，了解公式與條件的關系，并將之使用到訓練解答過程中，讓學生通過變通的變換過程提升思維能力，在理解中記憶公式。

3.5 培養學生發散思維能力

在幾何方面訓練中，教師可以借助圖形變換方式，提升學生解決問題以及思維變通的能力。比如：在圖1 內，C 為A、B邊上的點，將AC 作為一條邊，建立正三角形ACM，同時做以BC 為一條邊的正三角形BCN，問：除去兩個正三角形三邊長度相等以外，是否還有其他相等的線段？

此題答案為：圖中線段AN 與MB 長度相等。在教學中，教師可利用該題開展變式訓練，開拓學生思維[11]。

變式1：C 為AB 上一點，分別以AC 和BC 為一條邊，在AB 兩邊上建立一個正三角形ACM 與BCN，那么線段AN=MB是否正確？請通過作圖與解答，對結論加以說明。

變式2：C 為AB 上一點，分別以AB 和BC 為邊，在AB 一側做正三角形ABM 和BCN，此時AN=MC 是否成立？請通過畫圖說明。

上面的例子屬于一個典型的三角形全等習題，筆者將原來的例題進行細微調整，從而讓新案例具有變式訓練的特點，更加地突出了全等圖形內容，讓學生更容易了解，這道練習能夠提升學生圖形分析能力和空間感知能力。其中，題目本自身的性質沒有改變，表現方法需要在一定程度上進行改變，可避免教學內容過于僵化的情況發生，能夠幫助學生訓練思維發散能力，有助于數學教學方法的探究[12]。

4 結束語

總而言之，想要訓練初中生數學變式思維能力。教師要合理設置問題，保證問題的趣味性，提升學生學習能力。教師要控制習題數量，引導學生主動探究，訓練學生的思維變通與思維發散能力。