基于LFSDR的恒模賦形方向圖綜合方法*

王曉東 胡孟凱 竇修全 杜宇峰 苗 峻

（1.陜西省醫療器械質量檢驗院 西安 710065）（2.中國電子科技集團公司第五十四研究所 石家莊 050081）（3.河北省電磁頻譜認知與管控重點實驗室 石家莊 050081）

1 引言

數字波束合成具有掃描速度快、瞬時多波束特點，廣泛應用于雷達探測中，而隨著電子技術以及計算科學的發展，相控陣技術應用越來越廣泛，不再局限于軍事應用，已經滲透到國計民生的各個方面中，且商業應用范圍已經超過軍事應用，比如衛星通信、射電天文學、5G移動網絡、醫療成像檢測等領域[1～3]。隨著應用領域范圍擴大，不同的應用需求對波束形狀、覆蓋范圍、主瓣旁瓣電平比提出特定的要求，通過方向圖綜合方法優化的空域加權，使陣列的輻射特性盡量地接近期望方向圖。近年來，研究者們已經提出了很多賦形方向圖綜合算法，比如Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法[4]，粒子群優化算法（particle swarm optimization，PSO）[5]，遺傳算法（genetic algorithm，GA）[6]，基于凸松弛的優化方法[7～10]等。這些方法都能很好地實現賦形方向圖的綜合，但都沒有考慮激勵幅度的控制，使得各陣元的激勵幅度可能變化很大，這導致天線陣列的饋電難度更大。為了解決這個問題，一些恒模賦形方向圖綜合方法被提出[11～12]。Cao等提出了一種基于二階錐規劃（second-order cone programming，SOCP）的恒模方向圖綜合算法[11]，該方法將非凸的恒模約束松弛為幅度限制約束，但是該方法并不穩定，實際應用中難以保證恒模激勵。此外，一種基于交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multiplier，ADMM）的方法被提出[12]，但該方法收斂并不穩定，且需要很多次迭代。

為提升賦形方向圖綜合算法穩定性、降低算求解復雜度，本文提出了一種基于線性分式半正定松弛技術的恒模賦形方向圖綜合方法。該方法首先建立了恒模賦形方向圖綜合的模型，該模型利用陣元激勵幅度的比值來表示恒模約束；然后，利用線性分式半正定松弛技術對模型進行等價轉換，將約束條件進行松弛，獲得一個易于求解的凸優化問題；最后，在獲得該凸問題的最優解后，再通過特征值分解獲得激勵向量。仿真結果表明，該方法可以有效地實現恒模賦形方向圖綜合，且運算量更小，求解更加穩定。

2 恒模賦形方向圖綜合模型

為驗證算法性能及仿真試驗對比效果，本文以一維均勻線陣為例，建立方向圖綜合仿真模型，一維線陣模型如圖1所示，假設陣元數為N，陣元間距為d，則該陣列模型的陣因子為

圖1 均勻線陣模型

其中，In和αn分別為各陣元激勵的幅度和相位。k=2πλ為波數，λ為波長。

令

則式（1）可改寫為矢量表達式：

其中w為激勵矢量，a(θ)為導向矢量。

2.1 線性分式半正定松弛技術

2.2 基于線性分式半正定松弛的恒模賦形方向圖綜合

從推導過程可以看出，本文提出的方法不需要多次迭代，運算量較小，并且松弛處理的過程是確定的，且松弛后得到的凸問題具有唯一最優解，所以該方法求解過程是穩定的，下面將通過仿真試驗進行分析，確認該種方法的有效性和魯棒性。

3 仿真試驗

為了驗證所提方法的有效性，本文進行了仿真試驗，對比了三種方法實現的平頂方向圖以及對應的激勵幅度，試驗參數設置為：波束中心指向90°方向，波束寬度30°，陣元數N=32。所有的仿真試驗都在64位計算機上完成，CPU為Intel Core（TM）i5-7500，RAM為4 GB，使用的仿真軟件為64位的Matlab R2012b。

圖2 基于二階錐規劃的方法實現的平頂方向圖及其對應的激勵幅度

為充分驗證算法的性能，分別對兩種方法進行了1000次蒙特卡羅仿真試驗，為了便于觀察和分析，圖3和圖4僅展示了其中典型的實現結果。圖3（a）為文獻[11]中基于二階錐規劃的方法實現的平頂方向圖，圖3（b）為對應的歸一化激勵幅度，可以看出該方法實現的方向圖并不穩定，且不能保證激勵是恒模的。圖4為文獻[12]中基于交替方向乘子法的方法實現的平頂方向圖，由于該方法沒有對幅度進行松弛，求解得到的激勵能嚴格滿足恒模約束，故在此沒有展示其對應的歸一化激勵幅度。從圖4中可以發現，該方法實現的平頂方向圖也是不穩定的。為了更直觀地說明這一現象，對1000次蒙特卡羅實現的結果進行了統計，能否成功實現恒模激勵的樣本的統計結果如表1所示，可以發現基于二階錐規劃的方法僅有約1/3的概率能成功實現恒模激勵的平頂方向圖綜合，而基于交替方向乘子法的方法則有約1/2的概率能成功實現恒模激勵的平頂方向圖綜合，這直觀地說明了上述兩種方法的不穩定性。

圖3 基于交替方向乘子法的方法實現的平頂方向圖

表1 蒙特卡羅仿真結果統計

相比于上述兩種方法，本文提出的方法是穩定的，其對原問題松弛后得到的凸問題具有唯一的最優解，這可以使得每次求解都能收斂到相同的解，因此該方法是穩定的。為了說明該方法的有效性，將上述兩種方法最好的結果與該方法進行了對比，如圖5所示。圖5（a）對比了三種方法實現的平頂方向圖，圖5（b）對比了對應的歸一化幅度，可以發現，上述兩種方法實現的最好結果僅與本文方法接近，說明了本文方法能穩定有效地實現恒模激勵的平頂方向圖綜合。

4 結語

針對目前恒模賦形方向圖綜合算法工程化中存在運算量大、求解不穩定的問題，提出了一種基于線性分式半正定松弛的恒模賦形方向圖綜合方法，利用陣元激勵幅度的比值表示恒模約束，并通過線性分式半正定松弛技術對恒模約束進行松弛，由于該方法的松弛過程是確定的，且松弛后的凸問題具有唯一最優解，因此本方法保證了模型求解的唯一性和求解過程的穩定性。同時針對該方法進行蒙特卡洛試驗仿真，仿真結果表明，相比于已有的兩種方法，本文方法能將實現恒模激勵的平頂方向圖綜合的概率從1/3和1/2提升至1，且已有的兩種方法能達到的最好結果僅與本文方法接近。因此，該方法可以有效地實現恒模賦形方向圖綜合，且運算量更小，求解更加穩定，具有工程推廣價值。