金字塔點陣圓筒結構軸向彈性波傳遞特性研究1)

任 怡 張 昊 張 望 劉海東 李 釗 張滿弓,2)

* (西南科技大學制造過程測試技術教育部重點實驗室,四川綿陽 621010)

? (武漢第二船舶設計研究所,武漢 430064)

** (天津航天瑞萊科技有限公司,天津 300462)

引言

點陣結構一般是由連續、重復排列的相互連通的單元組成的三維結構,也可以理解為三維空間中由相互連通的支柱和節點組成的多孔材料結構[1-3].點陣結構的周期和多孔特征使其具有特殊的力學和聲學特性,如比強度高、比剛度大、輕質和隔振等,在航空航天、艦船等領域具有十分廣泛的應用前景[4-8].

對點陣結構的減振和隔聲性能,已經有廣泛的理論[9-10]和實驗研究[11-13],點陣結構通過單胞的周期性排列獲得聲子晶體帶隙,在帶隙范圍內抑制彈性波的傳播[14-16].An 等[17]提出了一種基于拉伸主導的三維聲學超材料點陣結構,通過振動傳遞試驗驗證了其結構的減振性能.Liu 等[18]將一些輔助結構引入點陣結構,使用布洛赫定理和有限元相結合的方法研究了彈性波在這種改進的二維點陣結構中的傳播,通過對輔助結構的參數分析,設計了一種基于改進點陣結構的寬頻帶隔振結構.Matlack 等[19]將局域共振結構和點陣結構相結合,提出了一種彈性超結構,可以實現低頻寬帶隙的減振效果.Cao 等[20]通過有限元方法和實驗研究了桿件截面變化的點陣結構,討論了形狀參數對點陣結構的力學性能和能量吸收能力的影響,并得到了最優的桿件形狀參數.文獻[21]在立方體點陣結構上附加了局部諧振器,研究了不同尺寸和質量的局部諧振器對帶隙的寬度和位置的影響.Wu 等[22-23]使用譜元法研究了由兩種不同材料組成的晶格結構的振動帶隙特性,參數分析了結構和材料對帶隙的影響.Syam 等[24]設計了六種不同的點陣結構,并使用有限元方法和實驗研究了這些結構的減振性能.Wang 等[25]使用遺傳算法在最小重量的前提下對夾層板的聲學和力學性能進行了優化設計研究,最終得到了一種重量輕、機械效率高的隔音材料.

與目前廣泛研究的基于二維平面和三維長方體的點陣結構不同,點陣圓筒結構是沿軸向和環向周期性陣列的結構.對點陣圓筒結構的研究主要集中于結構的力學性能[26-28],而缺乏對其低頻寬帶減振的相關研究.事實上,針對圓筒結構(如管道)等,存在著豐富而又迫切的應用場景,如化工管道和艦船管道的低頻減振降噪控制等,合理的骨架結構形式將是能否實現預期隔振效果的關鍵.因此,本文以金字塔型單胞為對象,通過環向和軸向陣列形成點陣圓筒結構,針對獨立參數進行結構設計,并聯合ABAQUS 對結構軸向減振性能進行分析.利用無量綱參數系統分析了金字塔單胞的高和寬,桿件的直徑以及環向陣列的個數對金字塔點陣圓筒結構軸向減振性能的影響規律.在此基礎上,設計了一種具有低頻寬帶減振性能的金字塔點陣圓筒結構,利用3D打印技術制備了樣件,完成振動實驗測試并與有限元模擬結果進行對比.

1 金字塔點陣圓筒結構參數化模型

通過Rhino 和Grasshopper 等軟件建立的金字塔點陣圓筒模型如圖1 所示,主要結構參數如下: 金字塔單胞軸向和環向陣列的個數分別為m和n,結構的內接圓和外接圓的半徑分別為rc和Rc,金字塔單胞的四根桿件的交點為底面四邊形的中心,為等腰四棱錐結構,桿件為圓柱桿,直徑為d,單胞的長寬高分別為a,b和h,一共有8 個結構參數,它們之間滿足如下關系

圖1 金字塔點陣圓筒結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the pyramid lattice cylinder structure

所以獨立的結構參數只有6 個.

Rhino 是目前普遍應用的三維NURBS 工業建模軟件,Grasshopper 是與Rhino 緊密結合的參數化設計插件.Grasshopper 作為一種節點可視化編程語言,是一種圖示算法編輯器或者可視化腳本編輯器,可高效實現實時數據結構調整并觀察、記錄結構的推敲過程[29].因此,本文使用Rhino 和Grasshopper軟件對結構進行建模,固定選取金字塔點陣圓筒結構的內接圓半徑rc=100 mm,通過改變桿件的直徑、金字塔單胞的寬和高、單胞環向和軸向陣列的個數,實現對金字塔點陣圓筒結構的設計和模型生成.

2 結構軸向振動有限元模型

本研究關注金字塔點陣圓筒結構軸向振動的控制情況,為了驗證結構的減振性能,利用有限元仿真分析結構的振動傳輸特性,通過在一定頻率范圍內進行諧響應分析得到響應曲線,從曲線中可以直觀獲得結構對彈性波的衰減能力.傳輸特性函數(FRF)的定義為

式中,u1和u2為振動傳輸激勵和響應的位移值.

利用有限元軟件ABAQUS 進行模擬仿真[30],在金字塔點陣圓筒結構的左端面施加z方向的位移激勵,并在右端面提取位移響應,有限元模型如圖2 所示,選用梁單元.計算中使用的具體結構參數如表1所示,使用的材料為樹脂,密度ρ=1180 kg/m3,彈性模量E=2 GPa .圖3 給出了兩個模型(軸向陣列個數不同)在軸向位移激勵下的振動傳輸特性曲線.從圖中可以看出,在116～466 Hz 范圍內,兩個模型的軸向振動都有較大衰減,且隨著軸向陣列個數的增加,振動衰減的強度逐漸增大.

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element analysis model

表1 金字塔點陣圓筒模型結構參數Table 1 Structural parameters of pyramid lattice cylinder model

圖3 振動傳輸特性曲線Fig.3 Vibration transmission characteristic curve

3 金字塔點陣圓筒結構參數影響分析

量綱分析理論表明,某一物理過程不因其中相關物理量量綱選擇的任意性而改變,由此可以得到物理量之間的關系[31].因此,本文將引入歸一化頻率的概念,用于對頻率進行無量綱處理.歸一化頻率定義為

式中,f,rc和分別為結構的頻率、內接圓半徑和縱波波速,根據歸一化頻率的表達式可以得知,歸一化頻率與具體材料選取和結構的內接圓半徑無關.

同時為了評估結構振動衰減的能力,使用無量綱參數—相對帶寬BG%的概念,其定義為

式中,fH和fL分別為帶隙的上、下邊界頻率值,相對帶寬即為帶寬與中心頻率之比[32-34].使用相對帶寬的概念可以降低帶隙效果評價對絕對頻率的依賴,便于在更寬頻率范圍內統一評估結構的減振效果,一般認為BG%越大,減振效果越好.

學科地位的確定，不是學科建設的終結，而是學科建設的開始。治安學雖然學科地位得以確認，但它還只是正在成長中的新興學科。審視治安學學科的形成與發展，不難發現學科成熟程度低，學科建設問題多的現狀。

下面將利用無量綱參數—歸一化頻率和相對帶寬,系統討論金字塔點陣圓筒結構中單胞環向陣列的個數、單胞的寬和高以及桿件的直徑對結構減振效果的影響.

3.1 單胞的寬對金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性的影響

金字塔單胞的寬決定了點陣結構的軸向長度,當選取單胞的高為28.4 mm,桿件直徑為1 mm,軸向和環向陣列個數分別為15 和20,此時金字塔點陣圓筒結構的外接圓半徑為130 mm.改變單胞的寬,得到不同單胞寬的金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性曲線如圖4 所示,當單胞的寬為20.00 mm,33.33 mm和46.67 mm 時,帶隙的起始歸一化頻率分別為:0.010,0.009 和0.008,終止歸一化頻率分別為: 0.047,0.040 和0.032.由此可見,隨著單胞的寬增加,帶隙向低頻移動,帶寬變小,相對帶寬分別為129.82%,126.53%和120.00%.

圖4 不同單胞寬下的振動傳輸特性曲線Fig.4 Vibration transmission characteristic curves of different unit cell widths

3.2 單胞的高對金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性的影響

選取單胞的寬為40 mm,桿件直徑為1 mm,軸向和環向陣列個數分別為15 和20 時,改變單胞的高,分別取8.65 mm,18.52 mm 和28.40 mm,此時的金字塔點陣圓筒結構的外接圓半徑分別為110 mm,120 mm 和130 mm.不同單胞高對金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性的影響如圖5 所示,當單胞的寬為8.65 mm,18.52 mm 和28.40 mm 時,帶隙的起始歸一化頻率分別為: 0.024,0.013 和0.009,終止歸一化頻率分別為: 0.062,0.045 和0.036.由此可見,隨著單胞高度增加,帶隙向低頻移動,帶寬變小,相對帶寬分別為88.37%,110.34%和120.00%.

圖5 不同單胞高下的振動傳輸特性曲線Fig.5 Vibration transmission characteristic curves of different unit cell heights

綜合考慮金字塔單胞的高和寬對整個結構減振性能的影響,從圖6 可以看出,隨著金字塔單胞的高和寬的增加,帶隙頻率的上限和下限都在降低,帶隙頻率的上限比下限降低的幅度更大,所以結構的帶隙往低頻移動時,整個帶隙的寬度也在變小.從相對帶寬的角度去評價整個結構的低頻寬帶減振性能,如圖6(d)所示,隨著金字塔單胞寬的增加,相對帶寬變小,隨著單胞高度增加,相對帶寬變大.相比于單胞寬的影響,相同的變化幅值下,單胞高對結構的減振性能影響更大,所以在考慮設計金字塔點陣圓筒結構用于振動控制時,應該主要考慮金字塔單胞高對結構減振性能的影響.

圖6 單胞的高和寬對結構減振性能的影響Fig.6 The effect of unit cell height and width on structural vibration reduction performance

圖6 單胞的高和寬對結構減振性能的影響(續)Fig.6 The effect of unit cell height and width on structural vibration reduction performance (continued)

3.3 單胞桿件的直徑對金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性的影響

選取單胞的寬為40 mm,單胞的高為28.4 mm,軸向和環向陣列個數分別為15 和20 時,改變金字塔單胞桿件的直徑,分別取0.5 mm,1.0 mm 和1.5 mm,得到圖7 所示的傳遞特性曲線,當桿件的直徑為0.5 mm,1.0 mm 和1.5 mm 時,帶隙的起始歸一化頻率分別為: 0.004,0.009 和0.013,終止歸一化頻率分別為: 0.018,0.036 和0.054.由此可見,隨著桿件的直徑增加,帶隙向高頻移動,帶寬變大,相對帶寬分別為127.27%,120.00%和122.39%.桿件的直徑直接影響整個結構的剪切剛度和等效密度,改變整個結構的減振性能,桿件越細,在低頻時的減振效果越好,但是結構的剛度會隨之變小,所以在結構設計中,應該首先滿足結構剛度的需要,然后選擇較小的桿件直徑,以達到低頻減振的效果.

圖7 不同桿件直徑的振動傳輸特性曲線Fig.7 Vibration transmission characteristic curves of different rod diameters

3.4 單胞環向陣列的個數對金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性的影響

選取單胞的高和寬分別為28.4 mm 和40 mm,桿件直徑為1 mm,軸向陣列個數為15,此時金字塔點陣圓筒結構的外接圓半徑為130 mm.改變單胞環向陣列的個數,得到不同單胞環向陣列個數下金字塔點陣圓筒結構振動傳輸特性曲線如圖8 所示,當環向陣列的個數為10,20,30 和40 時,帶隙的起始歸一化頻率分別為: 0.007,0.009,0.010 和0.010,終止歸一化頻率分別為: 0.027,0.038,0.041 和0.044.由此可見,隨著環向陣列個數的增加,帶隙向高頻移動,帶寬變大,相對帶寬分別為121.89%,123.72%,120.93%和124.72%.從中發現,當環向陣列個數從30 增加到40 時,結構的帶隙范圍變化顯著減小,對結構減振性能的影響減弱.

圖8 不同單胞環向陣列個數下的圓筒振動傳輸特性曲線Fig.8 Vibration transmission characteristic curves of different numbers of unit cell circular arrays

3.5 等比例模型參數分析

本文重點關注的結構參數為單胞的高、寬和桿件的直徑.為了進一步探究這些結構參數之間的關系,使單胞的高、寬和桿件的直徑控制在一定的比例,如b:h:d=20.0:14.2:0.5,同時改變三個參數的數值,如表2 所示,此時固定金字塔單胞軸向、環向陣列的個數為15 和20,結構內接圓的半徑為 100 mm.得到的振動傳遞曲線和相對帶寬隨著桿件直徑變化的結果如圖9 所示,當單胞的高、寬和桿件的直徑三個參數的比值為上述定值時,隨著桿件的直徑增加,帶隙向低頻移動,帶寬減小,但是結構的相對帶寬BG%是一樣的,均為122.50%左右.

表2 等比例模型的結構參數Table 2 Structural parameters of the equal scale model

圖9 等比例模型的帶隙范圍和相對帶寬Fig.9 Band gap and relative bandwidth for the equal scale model

在實際應用中,當結構內接圓的半徑為 100 mm時,為了保證結構整體的協調性和力學性能,單胞的高、寬應不大于60 mm,桿件的直徑不大于5 mm,此時單胞的高、寬和桿件的直徑的比值如果相同,帶隙頻率會隨著結構參數有規律的變化.定義無量綱結構參數k為直徑的變化量 Δ 與結構內接圓半徑rc的比值,其表達式為k=Δ/rc.如圖9 所示,以桿件直徑為1 mm 的模型為基準,隨著直徑大小改變,無量綱結構參數k相應變化,其帶隙范圍變為[2-100k fL0,2-100k fH0],fL0和fH0分別為桿件直徑為1 mm 時的帶隙頻率下限和上限.

點陣結構的固有頻率決定了帶隙寬度和頻率位置,固有頻率f0正比于結構剛度k0與質量m0比值的1/2 次方,即[24].結構的剛度越低,參與振動的質量越大,那么結構的固有頻率就會越低,帶隙范圍的頻率也就越低[35].圖10 為等比例模型中隨桿件直徑變化的結果,其反映了結構固有頻率的變化趨勢,隨著等比例模型中桿件直徑的增加,結構固有頻率減小,帶隙向低頻移動,與圖9 中的結果相符合.

圖10 等比例模型的Fig.10 for the equal scale model

4 實驗驗證

通過本文總結的參數規律,可以根據實際的減振需要設計具體的金字塔點陣圓筒結構,首先確定一組基準模型結構參數,通過歸一化頻率比較結構的帶隙范圍和需要的帶隙范圍的差距,改變基準模型結構的單胞高、單胞寬和桿件的直徑之間的比例,使結構的相對帶寬和所需要的減振結構的相對帶寬一致,然后再調整等比例模型的具體尺寸大小,使結構完全滿足所需要的減振效果.

在實驗中,選用增材制造技術制備樣件,希望結構能夠在500～1500 Hz 內能有一個良好的減振性能,以表1 中軸向周期數為8 的金字塔點陣圓筒結構為基準模型,固定結構內接圓半徑rc=100 mm,通過上述的設計方法,進行參數調整,最終確定了滿足減振要求的結構參數為:rc=100 mm,b=40 mm,h=28.4 mm,d=4 mm,m=8和n=20 .

由于金字塔點陣圓筒結構兩端不便于安裝和測量,所以在結構的兩端加裝一個厚度Hb=5 mm,直徑Db=296 mm 的圓板.3D 打印時使用的材料為光敏樹脂,是一種具有精確和耐久特性的類ABS 的立體光造型樹脂,材料參數為密度ρ=1180 kg/m3,彈性模量E=2 GPa .蓋板對傳遞特性的影響如圖11所示,發現蓋板并不影響整體振動衰減的效果,因此使用這種加蓋的結構驗證純金字塔點陣圓筒結構的減振效果是可行的.圖12 為實驗用金字塔圓筒點陣結構的模型圖和實物圖.

圖11 有無蓋板的傳遞特性曲線對比Fig.11 Comparison of transfer characteristic curves with and without cover

圖12 實驗用金字塔點陣圓筒結構Fig.12 Pyramid lattice cylinder structure in experiment

隨機振動的頻帶寬,且有連續的頻譜,能同時在所有的頻率上對試件進行激勵,相比于簡諧振動僅對某些頻率或連續掃頻來模擬實際環境振動的影響,隨機激勵信號的振動實驗測試更能反映結構在一定頻率范圍內的真實減振效果,因此在實驗中采用隨機激勵信號.實驗示意圖如圖13(a)所示,樣件的一端通過夾具固定在振動臺上,激勵端的加速度傳感器固定在振動臺上,用于接收響應的兩個加速度傳感器固定在樣件的上端面,通過振動臺產生隨機激勵信號,響應端的信號被接收后通過數據處理,得到實驗振動傳輸曲線如圖13(b)所示,結果表明,在500～1500 Hz,實驗結果與有限元模擬的結果基本一致,結構體現了良好的減振效果,平均的衰減強度達到了50 dB 左右.

圖13 振動測試實驗Fig.13 Vibration test experiment

5 結論

金字塔點陣圓筒結構具有良好的軸向低頻寬帶減振性能.本文通過參數化建模,使用有限元方法計算結構的傳遞特性函數,系統研究了單胞的寬、高以及桿件直徑等關鍵參數對減振效果的影響,并通過振動測試實驗對結構的減振性能進行了驗證,具體結論如下.

(1)隨著金字塔單胞寬的增加,帶隙向低頻移動,帶寬和相對帶寬都減小;隨著金字塔單胞高的增加,帶隙向低頻移動,帶寬減小,相對帶寬變大;隨著桿件的直徑和環向陣列個數增加,帶隙向高頻移動,帶寬變大.

(2)當確定金字塔單胞軸向、環向陣列的個數和結構內接圓的半徑時,使單胞的高和寬以及桿件的直徑控制在一定的比例,參數的數值變大,帶隙向低頻移動,帶寬減小,但結構的相對帶寬BG%不變.同時,在一定的尺寸范圍內,當直徑變化k時,帶隙頻率的上下限為變化前的倍.

(3)通過結構參數分析得到的規律,設計了一種具有低頻寬帶減振性能的金字塔點陣圓筒結構,并通過增材制造技術進行制樣,最后進行振動測試實驗,實驗與有限元結果基本一致,結構在500～1500 Hz 有明顯減振效果.