變質量力學系統的廣義高斯原理及其對高階非完整系統的推廣1)

張 毅 陳欣雨

(蘇州科技大學土木工程學院,江蘇蘇州 215011)

引言

高斯[1]于1829 年提出了一個微分變分原理,它是分析力學的普遍原理.陳濱[2]曾指出: “從力學概念上來說,把高斯原理作為基本原理似乎是最恰當的”.梅鳳翔[3]認為“高斯原理可作為分析動力學的基礎”.Udwadia 等[4]在他們的《分析力學》著作中以高斯原理作為出發點采用矩陣代數運算導出分析力學的基本方程及其對完整和非完整系統的應用,揭示了高斯原理在描述約束系統運動方面的廣泛適用性.不同于d’Alembert-Lagrange 原理和Jourdain原理,高斯原理具有極值性質,可表示為拘束函數的高斯變分等于零[1].利用高斯最小拘束原理可以直接通過求函數極值的方法獲得質點系的運動規律[5-6].因此,高斯原理在復雜系統的動力學建模以及近似計算等方面發揮其獨特的作用.例如,機器人動力學[5]、多體系統動力學[6-14]、彈性桿動力學[15-18]以及混合動力學問題[19]等.梅鳳翔等[20]對高斯原理的起源及其發展現狀做了很好的綜述.迄今,約束系統的高斯原理和最小拘束原理及其應用研究已有諸多成果[21-28].然而,盡管高斯原理在處理理想的一階約束系統時是完備的[2],但是對于高階約束系統,高斯原理及其極值問題仍是一個開放的課題.此外,在工程實際和自然界中存在大量變質量系統的實例[29-31],例如以噴射高速氣流而實現高速運動的火箭、高空環境下工作的爬壁機器人、混凝土攪拌機以及噴淋系統等.近年來,在變質量系統的分析力學研究方面亦取得重要進展[32-38].本文將研究變質量力學系統的高斯原理.文中建立了變質量力學系統的高斯最小拘束原理,并通過定義變質量非完整系統修正的拘束函數,給出變質量非完整系統的高斯最小拘束原理;提出了變質量力學系統的廣義高斯原理,通過定義廣義拘束函數,建立了變質量力學系統的廣義高斯最小拘束原理,并將方法推廣到高階非完整力學系統.

1 變質量力學系統的高斯原理

1.1 高斯原理

設變質量力學系統由N個質點構成,其位形由n個廣義坐標qs確定.第i個質點的質量為mi=mi(qs,t),則Meщepcкий方程給出[39]

其中 δG(·) 表示高斯變分,即僅對加速度取變分,而坐標和速度不變[2].在高斯意義下,理想約束條件為

將式(3)代入方程(2),得

式(4)是變質量力學系統的高斯原理[39].

1.2 高斯最小拘束原理

高斯原理是建立在最小拘束概念的基礎之上的.對于變質量力學系統,由于主動力Fi和反推力Ri不依賴于加速度,因此它們的高斯變分等于零.于是,原理(4)可改寫為

類似于常質量情形[1-2],定義變質量系統的拘束函數為

則式(5)成為

因此,式(7)表明: 對于具有雙面理想約束的變質量力學系統,每一瞬時在其所有與約束相容的可能加速度之中,真實運動的加速度使拘束函數Z在高斯變分下取得極小值.因此,式(7)可稱為變質量力學系統的高斯最小拘束原理.

如果系統中各質點的質量保持不變,則Ri==0,式(7) 給出經典的常質量情形下的高斯最小拘束原理[3].

將式(6)展開,得

其中,省略號“···”表示與加速度無關的項.而

稱為質點系的加速度能量[3].因此,拘束函數Z可表為

將點的矢徑ri=ri(qs,t) 對時間t求二階導數,得

因此有

將式(11)求高斯變分,并考慮到式(13),得

其中

分別為質點系的廣義力和廣義反推力.于是,式(7)給出

這是變質量力學系統高斯原理的Appell 形式[39].

1.3 高斯最小拘束原理對變質量二階線性非完整系統的推廣

假設系統受到理想二階線性非完整約束

則約束加在加速度空間的虛位移上的限制為

其中aε+β,s和aε+β是廣義坐標qs,廣義速度和時間t的函數.

如果系統受到的是理想一階非線性非完整約束

可將方程(19)求導,得

因此,比較式(17)和式(20),對于一階非完整約束式(19),有

構造函數

其中 λβ=λβ(qs,,t)是約束乘子.函數Zf可稱為變質量非完整力學系統修正的拘束函數,等號右邊第二項可視作由于存在非完整約束而對拘束Z的一個修正.將式(11)和式(17)代入式(22),得

容易證明

實際上,對式(23)求高斯變分,并注意到 λβ的高斯變分為零,我們得到

將式(16)和式(18)代入式(25),即得式(24).

類似于式(8),我們有

于是,式(24)表明: 對于具有雙面理想約束的變質量二階線性非完整力學系統,每一瞬時在其所有與約束相容的可能加速度之中,真實運動的加速度使修正的拘束函數Zf在高斯變分下取得極小值.式(24)可稱為變質量二階線性非完整力學系統的高斯最小拘束原理.

由式(25)和式(24)可表為

式(27)可稱為變質量二階線性非完整力學系統的高斯原理的Appell 形式.

2 變質量力學系統的廣義高斯原理

2.1 廣義高斯原理

其中 δGk(·)可稱為在k次加速度空間中高斯意義下的變分,或簡稱k次高斯變分,其變分規則為

在廣義坐標下的形式為

當k=0時,δGk(·) 成為經典的高斯變分.

在k次加速度空間,高斯意義下的理想約束條件為

于是式(28)成為

式(32)稱為變質量力學系統的廣義高斯原理,可表述為: 對于具有雙面理想約束的變質量力學系統,在每一瞬時,真實運動不同于所有可能運動之處僅在于,真實運動使主動力、慣性力和反推力在k次加速度空間的任何虛位移上所做元功之和等于零.當k=0 時,式(32)退化為式(4).

若各質點的質量保持不變,則式(32)退化為

式(33)可稱為常質量力學系統的廣義高斯原理.

2.2 廣義高斯最小拘束原理

將拘束函數(6)對時間t求k階導數,并將其定義為廣義拘束函數,即

于是式(32)成為

當k=0 時,式(36)成為式(7).

式(36)表明: 對于具有雙面理想約束的變質量力學系統,在每一瞬時k次加速度空間所有與約束相容的可能加速度之中,真實運動的加速度使廣義拘束函數Z～在k次高斯變分下取得極小值.式(36)可稱為變質量力學系統的廣義高斯最小拘束原理.

將矢徑ri=ri(qs,t) 對時間t求k+2 階導數,得

因此有

將加速度能量S對時間t求k階導數,得到

因此有

由式(39)、式(41)、式(35)和式(15),式(36)可表為Appell 形式

當k=0 時,原理(42)成為式(16).

若各質點的質量保持不變,則式(42)成為

式(43)可稱為常質量力學系統的廣義高斯原理的Appell 形式.

2.3 廣義高斯最小拘束原理對高階非完整系統的推廣

假設系統受有理想k+2 階線性非完整約束

如果系統受到的是理想k+1 階非線性非完整約束

可將方程(46)求導,得

因此,比較式(44)和式(47),對于k+1 階非線性非完整約束式(46),有

構造函數

將式(42)和式(45)代入式(51),得到

類似于式(37),我們有

式(52)表明: 對于具有雙面理想約束的變質量高階非完整力學系統,在每一瞬時k次加速度空間所有與約束相容的可能加速度之中,真實運動的加速度使得廣義拘束函數在k次高斯變分下取得極小值.式(52)可稱為變質量高階非完整力學系統的廣義高斯最小拘束原理.

由式(51),式(52)也可表為

式(54)可稱為變質量高階非完整力學系統的廣義高斯原理的Appell 形式.

3 算 例

例1.研究燃燒著的勻質圓球沿粗糙水平面的慣性運動.設球的初始半徑為r0,密度為 ρ .試建立系統的運動微分方程.

解:設由于燃燒所引起的質量減少與球的表面積成比例,即[40]

取球心坐標x,y以及3 個Euler 角 ψ,θ,φ 為廣義坐標,則球的加速度能可表為[40]

由于圓球沿水平面作慣性運動,且微粒分離的相對速度為零,因此廣義力和廣義反推力等于零.

圓球與粗糙水平面的接觸點的速度等于零,即系統有2 個一階非完整約束

將式(57)對時間t求導數,得到

由本文給出的修正的拘束函數式(23),得到

計算高斯變分 δGZf,并令其為零,得到

對于本問題,5 個廣義坐標,2 個非完整約束,因此有3 個自由度.依據Lagrange 乘子法,由式(60)可得

方程(61)是系統的運動微分方程,與文獻[40]用Nielsen 方程給出的結果一致.

約束(58)對加速度空間的虛位移的限制為

根據式(16),由式(56),可得

由式(59),系統的可能運動的拘束函數為

由式(64)和式(59),并利用式(62)和式(63),得到可能運動的拘束與真實運動的拘束Zf之差為

因此,真實運動的拘束函數Zf取得極小值.

例2.變質量Hamel 例[40].

質量為m=m(t) 的質點在力的作用下在空間中運動,它的運動受有理想三階非完整約束

試建立質點的運動微分方程.

解:以x,y,z為廣義坐標,質點的加速度能為

由式(11),拘束Z為

其中Q1,Q2,Q3是廣義力,u1,u2,u3是質點分離或并入的微粒相對質點的速度u在三個坐標軸上的投影.

約束方程(66)可寫成

因此,廣義拘束函數(49)給出

依據Lagrange 乘子法,由式(71)可得

這是系統的運動微分方程.方程(72)與文獻[40]用Nielsen 方程給出的結果一致.

4 結論

與d’Alembert 原理和Jourdain 原理不同,高斯原理是極值原理,由此可直接獲得質點系的運動[5-7].而變質量系統在工程實際和自然界普遍存在,因此研究變質量力學系統的廣義高斯原理及其最小拘束形式具有重要意義.

(1)建立了變質量力學系統的高斯最小拘束原理,構造了非完整系統修正的拘束函數,得到了變質量二階線性和一階非線性非完整力學系統的高斯最小拘束原理.

(2)提出了變質量力學系統任意階情形的廣義高斯原理,并通過對拘束函數求k階導數定義k次加速度空間的廣義拘束函數,建立了變質量力學系統廣義高斯最小拘束原理.

(3)構建高階非完整系統的廣義拘束函數,建立了變質量高階非完整力學系統的高斯最小拘束原理.