新課標背景下高中數學建模素養研究

林裕杰

摘 要：新課標環境下，核心素養體系之內，數學建模為關鍵部分之一。數學建模是指學生能夠從數學問題當中抽象出數學模型，應用數學語言或者方法建立模型，計算求解，最終檢驗結果，將模型不斷改進。下文簡要論述建模素養培養價值，并從高中數學教學角度論述建模素養提升教學路徑，以供參考。

關鍵詞：新課標；高中數學；建模素養

《普通高中數學課程標準》（2017年版）頒布以來，為高中數學新一輪教改指明了方向。數學學科核心素養當中，數學建模素養相關的闡述為“針對現實問題進行抽象，選擇數學語言進行表達，應用數學方法建立模型，解決問題”。在高中數學課堂教學方面，重視學生數學素養的培養，能夠培養其數學學習興趣，促進教育改革目標的實現。

一、數學建模的基本內涵

運用數學建模方法能將現實問題通過數學化的形式處理，通過數學語言有效表達問題內容，借助相關數學知識與方法建立問題模型，以此提供正確的問題解決辦法。簡言之，數學建模能夠把數學和現實相結合。有關數學建模，需要經過三個階段：一是建模階段，即從數學視角出發找出存在的實際問題，然后利用相應的數學思維合理剖析該問題，以數學語言表達分析問題的最終結果，建立起數學模型，將實際問題有效轉換成數學問題；二是求解問題階段，運用有關數學知識解答問題模型，求解問題結果；三是調試模型階段，主要指的是改進或調試所構建的數學模型，將依托模型獲得的結論對比實際問題結果。總之，有效運用數學建模的方法，一方面有利于增強學生的數學創新意識與應用意識，另一方面能充分調動學生的主動性及積極性，在助力課堂教學質量提升的同時，培養學生數學建模素養。

二、高中數學建模素養滲透的可行性及必要性

（一）可行性

高中學生已經歷過形式運算階段，他們具備能將現實問題抽象成為數學問題的基本能力，并且具備一定的抽象性思維，而這種抽象性思維恰好是進行數學建模的必要技能。同樣，這一能力可以為順利進行數學建模活動奠定基礎。另外，數學建模要滿足必要的技術性需求，即學生在數學建模時應以數學思想、數學知識為支撐。由初中階段進入高中階段，學生已經了解和掌握了有關幾何、函數、概率等知識，特別是在高中階段進一步加深對以上知識的認知。與此同時，高中學生能靈活運用一些數學思想方法，例如類比、轉化以及數形結合思想等。綜上所述，高中學生已具備數學建模所需的理論知識、思維方式以及數學思想，因此能為數學建模過程的順利進行提供支持。

（二）必要性

第一，數學建模的滲透，能夠選擇學生感興趣的數學問題創設學習情境，讓學生在課堂上經歷數學問題抽象過程，經過分析和解決，逐漸提高學生建模能力。第二，數學建模的應用還能促進教師教學理念轉變，樹立以生為本觀念，對于課堂教學模式大膽革新，探索出具有特色的教學路徑。第三，在建模教學環節，教師可選擇信息技術作為輔助，分析、求解和檢驗模型，生動呈現建模信息。第四，數學建模的應用下，教師將學生的應用能力作為培養重點，提高其將數學知識轉化為解決問題的能力，實現數學素養提升目標[1]。

三、高中數學建模教學現狀

（一）未能體現智能計算思維

國內很多高校已開設數學建模及智能計算的專業課程，旨在依托智能技術輔助數學建模問題的處理，從中體現出數學和智能科技之間的有機融合，降低了解決數學建模問題的難度。高中階段的數學建模教學處在起步階段，很多教師沒有對智能計算思維形成一個系統認識，在建模教學中往往忽視和信息技術之間的融合，智能計算思維的滲透相較有限，一旦問題過于復雜則難以進行建模分析，導致建模教學僅滿足于簡單的知識層面，這樣會影響到數學建模素養的提高。

（二）未能做到全過程數學建模教學

作為核心素養的數學建模已經被歸進課標中，但是從實際情況來看高中數學教師與學生仍需進一步適應，具體表現在數學建模教學依舊以應用題為主，這樣的解題訓練過于封閉，并非全過程的數學建模教學。缺少“建立模型”部分，這樣會失去學科融科、思維開放的優勢特征，大幅降低建模教學的現實價值；而缺少“檢驗與改進”部分，不利于發展其數學思維，培養其科學精神。以上存在的問題均會淡化建模素養的培育功能。

四、數學建模主要流程

（一）找出線索，提出問題

有關能否發現問題并提出問題，始終是數學教育領域關注的重中之重。在20世紀我國數學教育領域主要重視“三大能力”的培養，關于“問題解決”能力沒有予以應有的重視。但是在新課改持續深入及素質教育推廣普及的背景下，解決問題的能力逐漸獲得重視。在課堂教學或是制訂課程標準中都能優先考慮這一能力。從實際情況來看，我國學生更傾向于處理問題但是這種問題是封閉的，和西方發達國家相比，我國學生提出問題的能力還需進一步增強，作為數學教師需有意識地引導學生積極思考，主動找出并能提出問題。而這也屬于數學建模的首要環節，這里提出的“發現問題”需要依附于與之相應的情境中，學生對教學情境、現實場景展開深入思考，而“提出問題”應為抽象的數學問題抑或現實問題。這一環節中起到關鍵作用的是提出問題，要求其具備一定的思考價值，立足某一問題或系列問題，引發后續的建模活動。

（二）剖析問題，建立模型

剖析問題并非只拘泥在數學領域，學生還要調動現實生活或在其他學科習得的經驗，因此在一些情況下存在資料差異。簡單來講，這個環節是“加工”提出的問題，也就是所謂的“問題數學化”，讓其徹底成為一個數學問題，但是依舊存在不一樣的現實背景，并且內部結構關系體現在數學層面上。有關“再加工”，即通過已了解的數學概念、數學定理、數學性質等讓數學問題模型化。借助上述兩大環節會達到數學抽象的效果，從問題的現實世界進入數學世界，利用相應的數學方法和規律剖析問題。

（三）明確參數，計算求解

具體來講這一過程為解決問題的過程，其關鍵在于確定參數。決定確定參數的是數據豐富性及數據質量，且收集數據為關鍵的數學建模組成部分。為此，應確保其來源的豐富性，比如封閉性問題需要利用所給出的各類數據；而開放性問題，要利用網絡、教材等途徑獲得。有效運用這些數據將各項模型參數確立，再通過具體的計算解決問題，這樣也能看出數據分析、運算與數學建模的關系十分密切。

（四）結果證明，調試模型

最后一個建模流程要求給出最終的問題結果。但在某些情況下，能從上個流程中獲得結果抑或給出判斷。若是面對的數學問題相較復雜，其中涉及多個方面，那么數學模型所涉及的參數類型各有不同，計算中所采用的數據如果來源單一，很容易因為不符合現實情況而發生結果偏差，出現這樣的情況要結合具體情況再進行調整。

五、新課標背景下高中數學建模素養提升教學策略

（一）關注數學建模和課堂教學的融合

在數學教材當中，數學建模內容有幾個課時，要實現教學目標，就需要教師關注建模內容思想性研究，組織建模活動期間，既能從教材出發，又能將建模思想貫穿于數學知識體系。

比如：講授“數列”知識的時候，教師可以選擇信用貸款、銀行儲蓄等類型問題創設建模活動情境；講授“分段函數”的時候，可以選擇“個人所得稅”的稅率表輔助建模活動的實施；講述“不等式”和“解析幾何”等知識的時候，教師也可對學生加以指導，輔助其研究教材數學知識相關的問題，從中尋找數學模型。

因為教材中的內容呈現的是相對簡單的數學模型，和真實建模活動之間存在差異，教材內部提問題的目標明確、結構簡單，但是數學建模問題大多結構無規律、條件模糊，所以，需要教師在教學期間，注意對教材問題的拓展。如“教育儲蓄”問題的講解，其本質屬于“零存整取”定期儲蓄形式，當問題的結構明確時，已知條件大多會給出“月存款數額”“利率”“存款時間”“本金”和“利息”等條件當中的幾個，要求學生求解，此類問題開放性較小，對于高中生來講難度不高，教師在組織建模活動的時候，可以適當對其進行拓展，將知識背景提供給學生，要求其利用網絡搜索與問題相關信息，通過小組合作方式制訂回報率最高投資方案。在活動過程中，引入函數模型，帶領學生學習函數概念，用生活實例作為建模背景，將函數圖表之間的關系抽象出來，體會函數和變量之間的對應關系，對比指數函數、對數函數之間的異同，結合記憶函數概念，抽象出函數模型，提高學生建模能力。通過以上教學流程，將建模活動和日常教學相互融合，潛移默化影響學生思維，為其建模素養提升奠定基礎[2]。例如：某艘載貨油輪在沿直線返回某城市港口的行程中，收到地方氣象臺公布的臺風預報信息：“某號臺風中心在輪船正東方向70千米處，預測本次臺風所影響的范圍是半徑為30千米的圓形區域。”已知港口位于臺風正南方的40千米處，這艘油輪若在航線不變的情況下，試問其能否遭受臺風影響？學生在解決這道問題的時候，教師可以引導其通過建立不同的數學模型解決。模型1：首先將方程變為一般式并求出圓心與半徑；通過點至直線的距離公式，求出直線到圓心距離；對比和的大小。模型2：將圓和直線方程聯立；利用消元法得到一元二次方程；求出判別式的值并與0比較大小。

（二）組織探究互動，引領學生探究學習

高中階段與建模有關的知識內容包括函數、概率、幾何等，需要學生綜合運用以往學習的函數和方程知識，對數學知識進行梳理，使之形成完整體系，才能內化吸收，建立數學模型。在生活當中，和概率模型相關的情境相對較多，比如：有獎促銷、成績評價、詞匯量估計等內容，都需要學生利用數學的問題，建立概率模型才可求解；幾何空間和數量之間聯系密不可分，學生可以利用數形結合方式，分析題意、解決問題，在建模階段，應用代數與幾何工具，讓問題更加清晰。在數學課堂教學環節，教師可以選擇生活化問題，組織學生研究學習，發散思維、相互討論、建立模型。

例如：“同種商品不同型號存在的價格差異”問題講解，教師就可以從生活當中的飲料、牙膏等商品價格差異角度出發，創設情境，要求學生思考“商品重量不同價格不同生活現象”，隨之拋出問題，“同學們知道商品價格如何確定？”“定價過程存在哪些規律？”“同型號商品定價該如何計算？”“日常生活怎樣挑選商品最劃算？”用生活化問題，引發學生學習興趣，隨后，教師用多媒體展示不同商品價格信息：

商品質量規格有三種，分別為：40克、120克、165克；定價分別為：3.70元、9.30元、12.60元。

商品質量規格有三種，分別為：200克、400克和750克；定價分別為：18.50元、32.00元、60.50元。

商品質量規格有三種，分別為：50克、90克、135克；定價分別為：3.10元、5.10元、6.80元。

教師指導學生觀察，提出思考問題，“同學們能否分析商品價格、質量之間存在的關聯？”“同學們是否能夠通過建立模型解決？”培養學生發現問題和提出問題的能力，為后續模型建立奠定基礎。為了輔助學生順利建立模型，在教學過程中，教師還可將函數擬合這一思想引入，借助函數工具擬合數據，通過觀察變量數據，建立分析模型。選擇商品信息，要求學生觀察，依據條件，利用坐標描述商品信息，最終展示成果。小組合作過程當中，學生可以順利畫出圖形，經過觀察發現，“商品質量增加，價格也隨之提升”，順利聯想到一次函數，假設商品質量是，價格是，即可建立模型，取兩組數據，代入關系式，將與的數值求解出來，最終得到函數，嘗試運用函數模型求解165g的商品定價，培養學生應用模型解決數學問題的能力。

（三）應用階梯式教學輔助建模過程

學生的模型素養的形成不能一蹴而就，在教學過程中，教師應該根據學生能力和認知規律，設置階梯式教學模式，循序漸進滲透建模知識，提高其模型素養。階梯式建模流程如下：

第1階段：為了讓學生體會到數學與生活之間的密切關聯，教師可以展示“動植物”分形藝術圖片，讓學生在藝術作品當中體會斐波那契數列特點，激發其學習興趣，感受數學模型在生活當中的應用。在此基礎上，還可循序漸進滲透經營管理、投資、幾何模型等建模知識，輔助學生對數學模型形成初步感知[3]。

第2階段：當學生初步掌握常見的數學模型后，教師可以選擇論文案例，組織學生閱讀，利用閱讀材料，讓學生感受建模思想，體會問題向模型轉化過程，從閱讀內容當中提煉數學方法。閱讀過程中，學生可以動手操作、自主查找信息，提高自學能力，形成建模思維。

第3階段：教師可以選擇簡單的數學應用題，要求學生根據問題，從中尋找數學工具解決，典型的包括“打包問題”和“名額分配”問題，將數學模型數字化，讓學生學會利用數字結果檢驗模型。

第4階段：經過以上流程的訓練，學生能夠關注日常生活，從中發現數學問題，在教師的指導下，應用數學知識解決相對復雜的模型問題，形成模型素養。

（四）創設合適的教學情境

從某種角度來講，理論知識的傳授是變相引導學生建立相應的數學模型。處在當前新課改的環境中，教師要認識到“學生屬于發展中的人”，那么在具體授課環節有必要注意引導學生發散思維，最好不要把解題方法向學生直接講授，而引導其在具體的實踐探索過程中摸索解題策略，在這一過程中學生便會完成對數學模型的構建，同時也在處理這道問題時會利用此模型。數學教師則要為學生創設合適的教學情境，輔助學生進一步體現數學模型的現實意義。

例如：我市某企業打算修筑一個花壇，而且在花壇中間留出一個近似平行四邊形的草地，已知、兩點間距離是8米，并以、兩點間線段作為對角線，已知草坪周長是32米，需解決的問題如下：首先，怎樣設計能使保留的草坪面積達到最大；其次，如果草坪中留出的小路經點，而且小路和對角線夾角是/3，現在要對這條小路重新修建，請你計算出需重修小路的長度。引導學生對問題做如下分析：假設和兩點所在的直線的坐標系是軸，線段中點原點，由此可得絕對值為8，直線和橢圓的交點是點和，題中平行四邊形周長是32米，那么問題（1）需要求出圖形面積的最大值；問題（2）則是求解絕對值。

問題（1）：由題意可得絕對值+絕對值=絕對值+絕對值=6，圖形頂點因為在橢圓上，那么為5，為4，據橢圓標準方程能得出為3，這個橢圓的方程為。點如何處在橢圓頂點，那么點的坐標是（0，3），即圖形面積達到最大為24。

問題（2）：假設過點的直線是，因為其坐標是（-4，0），所以直線斜率為，由此可得直線方程為，然后聯立方程與，因為的絕對值為，依據弦長公式可得約等于7.14，即重修小路的長度是7.14米。

在學生建模解決問題的過程中，教師應樹立角色轉變意識，由以往的“傳授者”轉變為“推進者”，課堂教學環節靈活采用數學建模的教學方法、多媒體教學技術等，做好點撥和引導工作，輔助小組交流討論，掌握建模方法。

（五）有效運用計算機信息技術

以“指數函數”的相關課題為例，教師以往選擇白板、PPT、教材的形式講授知識，在必要時會在白板上作圖，一旦涉及的數據較多較大，則不方便使用白板作圖進行模型驗證。為此，教師可以引入Excel軟件輔助構建數學模型。

例如，某地區未成年男性平均體重數據如下：身高（cm）為70、80、90、100、110、120、130、140、150、160、170的體重（kg）順次為7.90、9.99、12.15、15.20、17.50、20.29、26.86、31.11、38.85、47.25、55.05。依據體重高出相同身高男性平均數值的1.2倍則判定為偏胖，如果小于0.8倍則判定為偏瘦的標準，判斷這一組男性的體重數據是否正常？

首先，假設模型。通過Excel中散點圖，觀察到身高—體重的關系呈現上升趨勢，將各個散點相連得到平滑的一條曲線，通過觀察這些數據點在圖中的分布，發現這條曲線近似于函數的圖形，利用此函數模型分析體重與身高的關系。

其次，構建模型。將表格中的數據（70，7.90）和（160，47.25）代入到方程得出，，借助軟件中的計算器得出結果，。通過該結果構建的數學模型為。

最后，驗證模型。把問題中已知的身高數據帶入到已建立的數學模型中，若是獲得體征數據和提供的表格數據近似，表明建立的是合理的模型，即能夠說明題中身高與題中的具體情況。學生在此模型中計算男性175cm的體重：約等于60.29，因為76/62.29約等于1.26大于1.2，所以這個未成年男性的體重偏胖。

六、提高高中數學建模素養培養水平的建議

（一）依托互聯網絡打造學習社區

進入“互聯網+”時代，怎樣將信息技術轉換成促進數學建模素養滲透的新鮮血液，是數學教師要認真考慮的一個問題。由于數學建模本就處在創新、發展與完善的過程中，建立有關數學建模的研究平臺十分重要。為此，建議數學教師利用以下渠道構建討論平臺，助力數學建模素養的培養。一是構建網絡化的數學建模平臺。例如：建立學校網站，以年級或班級為單位建立該網站，學生和教師能在網站平臺上分享個人的研究成果，分享和數學建模相關的學習方法與經驗。旨在將自己掌握的數學建模成功向其他人分享，達到取長補短的學習效果。二是通過QQ、微信等社交軟件打造學習群，由此作為宣傳數學建模活動的平臺。在學習群中發布和數學建模相關的問題與實例，也能分享與之相關的學習資料等，這樣學生即使沒有教師授課，也能在群中獲得相應的基礎知識。

（二）優化數學建模教學環境

通過開展數學建模活動雖然有助于培養學生的數學建模素質，可是高中階段課程學習時間緊、學習任務重，加之面對巨大的高考壓力，只得縮減有關數學建模活動考核的占比。面對這樣的現實情況，教師單方推進數學建模活動的難度較大，需要學校在教學條件、時間安排方面予以一定支持，讓教師擁有充足精力去組織數學建模活動，指導學生利用相應的計算機軟件完成建模。此外，學校也可以定期舉辦數學建模大賽，這不乏為培養學生建模素養的關鍵途徑之一，還是增強其創新能力的核心手段。學生在競賽中，在規定時間內通過學習的數學知識，用掌握的數學思維方法分析、解決問題，在此過程中學生會掙脫定式的解題思維，發揮個人或團隊的創造力、合作力。

結束語

綜上分析，新課標下，高中數學課堂建模素養教育策略的選擇是課程改革的要求，也是提高學生能力的現實需求，因此，數學教師需要注重數學建模、課堂教學之間的融合，組織學生參與建模活動，通過探究活動方式學習，應用階梯式教學，循序漸進完成建模過程，實現學生建模素養的提升目標。

參考文獻

[1]時俊.新課標背景下高中數學建模素養探究[J].科學咨詢（科技·管理），2022（4）：197-199.

[2]田錕.高中數學建模教學的意義及策略[J].教育科學論壇，2022（16）：56-58.

[3]劉夢麗.新高考背景下的高中數學建模教學研究[D].重慶：西南大學，2021.