基于TODIM的正態(tài)模糊VIKOR法及其應(yīng)用

常 娟，王茂龍，石思怡，金 思，王文君

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046；2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 開封 475004)

1 引 言

多屬性決策是利用已有的決策信息對有限個方案進(jìn)行擇優(yōu)排序[1]，其理論和方法廣泛用于經(jīng)濟(jì)、管理等決策問題[2-4]。由于信息和人類思維的模糊性，模糊信息形式的多屬性決策問題逐漸受到關(guān)注，諸如三角模糊數(shù)[5-6]、梯形模糊數(shù)[7-8]、直覺模糊數(shù)[9]、畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)[10-11]等形式的多屬性決策方法已取得豐富的研究成果。由于正態(tài)分布的普適性，Yang[12]提出了正態(tài)模糊數(shù)(NFN)，相比而言，用NFN描述信息更能客觀反映數(shù)據(jù)分布，更接近人類思維。目前，NFN的拓展研究成果已成功應(yīng)用于不同領(lǐng)域。例如：龔艷冰等[13]、黃利軍等[14]將正態(tài)云模型分別用于企業(yè)員工績效評價、配電網(wǎng)優(yōu)化調(diào)度問題；劉衍民等[15]研究猶豫正態(tài)模糊優(yōu)先集成算子并用于城市綜合評估；周天綺等[16]利用區(qū)間正態(tài)信息集成算子處理數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)選擇問題；常娟等[17-19]則相繼提出正態(tài)模糊C-OWA算子(NFC-OWA)、基于前景理論的NF-TOPSIS法和NF-TODIM法；Yang等[20]則提出更為廣泛的Q-RO正態(tài)模糊數(shù)，并研究了集成算子及其性質(zhì)。

可見，NFN相關(guān)的研究成果豐富，但以下兩個方面尚待進(jìn)一步研究：一是目前的研究大多是在決策者完全理性基礎(chǔ)上，而考慮決策者行為的正態(tài)模糊決策方法僅文獻(xiàn)[18-19]涉及。事實上，研究者們經(jīng)過實驗發(fā)現(xiàn)，在實際問題中決策者往往存在損失規(guī)避、參照依賴等有限理性行為，這導(dǎo)致人們在方案選取中往往更傾向于自己感覺最滿意的方案。因此，研究考慮決策行為的正態(tài)模糊決策方法具有一定實際意義。二是經(jīng)典的決策方法，例如多準(zhǔn)則妥協(xié)解排序法(VIKOR)[21]尚未拓展至正態(tài)模糊環(huán)境。VIKOR法通過方案與理想方案的接近度排序，可以在沖突目標(biāo)下選出折衷方案，且優(yōu)選結(jié)果區(qū)分度較高。VIKOR法應(yīng)用廣泛，目前已拓展至直覺模糊集、畢達(dá)哥拉斯模糊集、概率語言術(shù)語集等多種模糊環(huán)境[22-24]。

在行為決策理論中，交互式多屬性決策(TODIM)法[25]是一種典型的考慮決策者參照依賴、損失規(guī)避的多屬性決策方法[26]，在使用中無須確定參照點且參數(shù)較少。由此，文獻(xiàn)[23]所提TODIM-VIKOR法可以有效處理畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境的行為決策問題。相比畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，利用統(tǒng)計方法確立的正態(tài)模糊數(shù)在刻畫決策信息時更為客觀、全面。基于此，將TODIM-VIKOR法拓展至正態(tài)模糊環(huán)境，可以在有效解決正態(tài)模糊有限理性行為決策問題的同時，得到更為合理的排序結(jié)果。綜上，本文提出基于TODIM的正態(tài)模糊VIKOR(NF-TODIM-VIKOR)決策法，并將其應(yīng)用于航空服務(wù)評價問題中，通過不同角度的對比分析說明NF-TODIM-VIKOR方法是可操作且有效的。

2 基本概念

2.1 正態(tài)模糊數(shù)

顯然，當(dāng)σ=0時，NFNα=(a，σ)就退化為實數(shù)a。

定義2[27]設(shè)NFNα=(a,σ),β=(b,τ)，數(shù)t∈R, 規(guī)定

(1)tα=(ta,tσ);(2)α+β=(a+b,σ+τ)。

定義3[28]設(shè)模糊數(shù)α∈F(R)，則稱E(α)和D(α)為α的期望值和方差, 其中

若NFNα=(a,σ),則E(α)=a，D(α)=σ2/2。

可采用下面的方法比較NFNs的大小。

定義4[18]設(shè)NFNα=(a,σ),β=(b,τ)，則

(1)若a>b，則有α>β； (2)若a=b，則當(dāng)σ<τ時,α>β；當(dāng)σ=τ時,α=β。

2.2 經(jīng)典TODIM法[25]

步驟1 將S=(aij)m×n規(guī)范化得到R=(rij)m×n；

k,l=1,2,…,m,j=1,2,…,n,系數(shù)θ的取值范圍為[1, 2.5], 通常可取θ=1和2.5；

2.3 經(jīng)典VIKOR法[21]

經(jīng)典VIKOR法是一種應(yīng)用廣泛的決策方法。該方法通過計算各方案與理想方案的接近度，對方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，可以在沖突目標(biāo)下選出折衷方案，且優(yōu)選結(jié)果區(qū)分度較高。VIKOR法的具體步驟為：

步驟1 對決策矩陣S=(aij)m×n規(guī)范化得到矩陣R=(rij)m×n；

步驟3 計算群體效益值Si、個體遺憾值Ri：

步驟4 計算各方案的利益比率:

i=1,2,…,m,ρ為決策系數(shù)，一般取0.5，Qi越小，表示方案離正理想方案越近，方案越優(yōu)；

步驟5 若Q(1)

若只滿足條件(1)，則A(1),A(2)均為妥協(xié)解；

3 基于TODIM的正態(tài)模糊VIKOR法

經(jīng)典TODIM法在方案兩兩比較優(yōu)勢度基礎(chǔ)上，通過集成運(yùn)算得到的綜合優(yōu)勢來決定方案排序，這一做法使得排序依據(jù)過于單一。而VIKOR法可以綜合考慮方案的群體效益值、個體遺憾值和利益比率，得到的排序結(jié)果更為全面，且可在沖突目標(biāo)下選出折衷方案。由此，若將TODIM和VIKOR法相結(jié)合，則可在兼顧決策者有限理性行為基礎(chǔ)上，使得排序結(jié)果更為合理、有效。鑒于此，下面提出基礎(chǔ)TODIM的正態(tài)模糊VIKOR法。

經(jīng)典TODIM法步驟2中利用實數(shù)間的距離計算實數(shù)間兩兩比較的優(yōu)勢度，在正態(tài)模糊環(huán)境中，利用NFNs的距離，借鑒經(jīng)典TODIM法，定義NFNs的兩兩比較優(yōu)勢度。

定義6[19]設(shè)方案Ak,Al關(guān)于Cj的屬性值分別為NFNαkj和αlj，屬性Cj的權(quán)重為wj，則Cj下Ak相對于Al的優(yōu)勢度為：

其中，參數(shù)θ>0為損失衰退系數(shù)，通常取θ=1和2.5。

結(jié)合TODIM法中兩兩比較優(yōu)勢度的思想和VIKOR法在排序中的優(yōu)勢，在正態(tài)模糊環(huán)境下，由定義6計算各屬性下方案間的兩兩比較優(yōu)勢度，從而構(gòu)建優(yōu)勢度決策矩陣，在此基礎(chǔ)上利用經(jīng)典VIKOR法確定方案的排序，進(jìn)而提出NF-TODIM-VIKOR法，具體決策步驟如下：

步驟2 由定義6計算Cj下，Ak相對于Al的優(yōu)勢度vj(Ak,Al),k,l=1,2,…,m,j=1,2,…,n；

步驟3 計算Cj下，方案Ak的優(yōu)勢度vj(Ak)，其中

進(jìn)而構(gòu)建優(yōu)勢度決策矩陣：

步驟5 在構(gòu)建優(yōu)勢度決策矩陣(vj(Ak))m×n的基礎(chǔ)上，利用經(jīng)典VIKOR法的步驟3和步驟4，計算各方案的Sk、Rk和Qk值，k=1,2,…,m；

步驟6 利用經(jīng)典VIKOR法的步驟5確定方案的優(yōu)劣排序和妥協(xié)解。

4 決策應(yīng)用

4.1 決策算例

現(xiàn)階段，隨著我國高鐵產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展，航空公司的競爭壓力日益增大，好的航空服務(wù)質(zhì)量是提高航空公司競爭力和經(jīng)濟(jì)效益的關(guān)鍵，以往通常用經(jīng)典數(shù)表示乘客對航空公司的服務(wù)滿意度，但當(dāng)乘客群體非常大時，經(jīng)典數(shù)無法全面、準(zhǔn)確反映整體滿意度狀況。鑒于NFN的優(yōu)勢，用NFN表示各項指標(biāo)的滿意度，可以兼顧數(shù)據(jù)的整體水平和穩(wěn)定性狀況。設(shè)有四家航空公司(A1,A2,A3,A4)，參照文獻(xiàn)[30]確定四個評價指標(biāo)為：可靠性(C1)、響應(yīng)性(C2)、有形性(C3)、移情性(C4)，經(jīng)專家評定各評價指標(biāo)權(quán)重為(0.3，0.2，0.3，0.2)。乘客通過調(diào)查問卷對各評價指標(biāo)的服務(wù)滿意度打分，打分的結(jié)果用NFN表示。例如，乘客對A1的響應(yīng)性(C2)打分的均值為70，標(biāo)準(zhǔn)差為2.1213，則由定義3，可用NFNα12=(70,3)表示A1在C2下的評價值。類似得到其他評價值αij，i,j=1,2,3,4,結(jié)果如表1所示。下面利用NF-TODIM-VIKOR法，對各航空公司擇優(yōu)排序。

表1 正態(tài)模糊決策矩陣

表2 各方案的Sk,Rk,Qk值

由于各評價值均表示滿意度，故無需對決策矩陣規(guī)范化。

步驟1 首先計算NFNαk1和αl1的距離d(αk1，αl1),k,l=1，2，3，4。再由定義4、定義6計算C1下Ak相對于Al的優(yōu)勢度矩陣(v1(Ak,Al))4×4，取θ=2.5，具體結(jié)果分別為：

同理，計算其他優(yōu)勢度矩陣分別為：

步驟2 計算矩陣(vJ(Ak,Al))4×4的行和，得到Cj下各方案的優(yōu)勢度：

進(jìn)而構(gòu)造優(yōu)勢度決策矩陣：

步驟4 計算各方案的Sk、Rk和Qk值，k=1,2,3,4，具體如表2所示。

步驟5 由Qk值確定方案排序為A3?A4?A1?A2，又由Q4-Q3=0.6188>1/3，且A3的群體效益值、個體遺憾值均最小，故最優(yōu)方案為A3。

4.2 對比分析

為驗證所提方法的有效性，下面分別采用文獻(xiàn)[17-19]所提方法進(jìn)行決策對比分析，排序結(jié)果如表3所示。

表3 各決策方法的排序結(jié)果

可以看出，僅NFC-OWA的結(jié)果與本文所提方法不同。這是因為，NFC-OWA通過集成算子進(jìn)行決策，本質(zhì)上是基于期望效用理論，并未考慮決策者的有限理性行為。而表1中A4的評價值α43=(52,3.1)在所有評價值中最小，即相對于其他評價值是損失的，由于決策者往往對損失更為敏感，因此，從實際反映決策者心理行為角度，得到A3優(yōu)于A4的結(jié)果是合理的。這一結(jié)果在表3中后三種正態(tài)模糊行為決策方法均有體現(xiàn)，說明這三種方法均體現(xiàn)了決策者的有限理性行為。

從各種方法的區(qū)分度來看，NFC-OWA和PT-NF-TOPSIS對A3和A4的區(qū)分度不明顯，而本文所提方法關(guān)于A3和A4的區(qū)分度最高，且綜合各方案的群體效益值、個體遺憾值，得到的結(jié)果更有說服力。

5 結(jié)束語

考慮到?jīng)Q策者的參照依賴、損失規(guī)避行為，提出NF-TODIM-VIKOR法用于正態(tài)模糊環(huán)境下的多屬性決策問題。該方法在正態(tài)模糊優(yōu)勢度基礎(chǔ)上構(gòu)建優(yōu)勢度決策矩陣，并利用 VIKOR法對方案進(jìn)行排序，通過航空服務(wù)評價算例驗證了該方法可操作性強(qiáng)、便于計算。與其他決策方法的對比分析說明，本文所提方法能夠反映決策者的有限理性行為，決策結(jié)果是合理、有效的，且可以得到區(qū)分度更高的排序結(jié)果。本文的研究為航空服務(wù)評價問題提供了新的正態(tài)模糊行為決策方法。