基于三體系統平動點軌道的環日全景任務軌道設計

蔣卓樂 王亞敏 張永合

(中國科學院微小衛星創新研究院 微小衛星重點實驗室 上海 201203)

0 引言

太陽觀測是研究太陽爆發、太陽活動周以及極端天氣等事件起源的重要手段。日–地L1 點是開展太陽持續觀測以及太陽風預警的理想空間位置[1,2]。NASA，ESA 等國際航天機構先后發射了SOHO，RACE，WIND 和ACE 等航天器進入日–地L1 點軌道開展太陽觀測[3]。2020 年由ESA 主導的Solar Orbiter 探測器借助金星和地球引力變軌，進入環日高傾角軌道，對太陽高緯度地區進行近距離的觀測[4]。2018 年NASA 發射的Parker 探測器是首個飛入日冕的太陽抵近觀測航天器[5]。中國預計2022 年底發射ASO-S，以“一磁兩爆”為科學目標，將成為中國首顆綜合型太陽探測衛星[6]。太陽立體觀測可以實現多角度同時觀測及太陽高緯度觀測。2006 年NASA 發射了STEREO 姊妹航天器，通過月球飛越，與地球形成了超前、置后軌道，在黃道面開展太陽立體觀測[7]。2018 年，中國提出了在太陽黃道面組建6 星立體觀測網——太陽全景探測，實現太陽磁場及日球層3D 觀測[8]。Wang 等[9]基于這一概念，開展了科學軌道、深空轉移軌道及任務的優化設計研究。

基于三體動力系統理論[10-13]的不變流形軌道，可以設計低燃耗的行星際轉移，不但能降低運載費用，還能節省深空軌道機動的燃料需求，降低航天器規模。2007 年日本月球探測器月球-A 提出了通過日–地–月低能量軌道，捕獲進入環月軌道的方案[14]。2001 年美國的Genesis 探測器是第一個利用三體系統不變流形軌道進入日–地L1 點的探測器[15]。中國的嫦娥二號探測器，從月球出發利用三體軌道的低燃耗優勢，開展了日–地L2 點飛行及Toutatis 小行星飛越探測，極大拓展了任務目標[16]。環日全景任務的立體觀測網處于黃道面，在地球軌道附近，日–地三體系統的不變流形為低燃耗的任務設計提供了可能。

本文提出基于日–地三體系統不變流形軌道的低燃耗環日全景任務軌道設計方法。利用日–地共線平動點的動力學優勢，即L1 和L2 點附近Halo 軌道不穩定流形，來實現探測器從地球到太陽繞飛軌道的轉移。在航天器到達觀測位置時，即航天器–太陽矢量與地球–太陽矢量夾角105°/135°，施加軌道機動，通過航天器軌道周期與地球一致的措施來實現相位角保持。分析Halo 軌道幅值、Halo 軌道上的離軌點與轉移時間及相角保持機動之間的關系，給出了燃料約束條件下的最優飛行時間方案，并對航天器平臺和運載火箭規模給出了建議。

1 動力學建模

1.1 三體動力學模型

采用的動力學模型為圓形限制性三體問題（CRTBP）。航天器在兩大主天體的共同作用下運動，在質心旋轉坐標系中無量綱化的動力學方程為[17]

運動方程存在第一積分，稱為雅可比積分，C=2Ω-(˙x2+ ˙y2+ ˙z2)，C可表征軌道的能量大小，數值越大，能量越小。

1.2 Halo 軌道與不變流形

Halo 軌道及其不變流形是三體系統低能量軌道設計的基本要素。日–地三體系統共線平動點L1/L2 點附近存在周期的Halo 軌道，基于Lindstedt-Poincaré方法可得到halo 軌道的三階近似解析解，通過微分修正方法，可獲得高精度的數值解[18]。Halo 軌道存在穩定及不穩定流形與之相連。航天器沿著穩定流形飛行，則漸近進入halo 軌道，沿不穩定流形飛行則從halo 軌道逐漸遠離，進入深空或返回地球。因此，不穩定流形可以應用到本文的深空低能量軌道設計。Halo 軌道的不變流形計算為[10]

其中，Xqpo為Halo 軌道上的狀態矢量，Vu為該點對應的不變流形特征矢量；d為擾動量，這里d取值200 km。日–地L2 點105km 幅值Halo 軌道及其不穩定的不變流形如圖1 所示。

圖1 從L2 點出發的不穩定不變流形Fig. 1 Unstable invariant manifolds from L2

1.3 坐標轉換

研究航天器的運動，需要用到日心慣性坐標系與日–地質心旋轉坐標系之間的轉換。日心慣性坐標系原點位于太陽質心。在質心旋轉坐標系中，原點位于日–地系統質心上，兩個大天體始終位于x軸。坐標系的角速度即為兩大天體的相對角速度。日心慣性坐標系與日地旋轉坐標系的轉換關系可表示為

其中，RI和VI分別為日心慣性系下的位置和速度矢量，RR和VR分別為旋轉坐標系下的位置和速度矢量。旋轉矩陣Rz定 義為

2 基于不變流形的太陽全景部署軌道設計

根據設想，環日全景探測任務需要在黃道面組建均勻分布及繞太陽飛行的觀測網。觀測網點兩兩間的相位角為120°，實現對太陽全覆蓋；每個觀測網點由相距30°的兩顆航天器組成，用于觀測太陽矢量磁場。若地面望遠鏡或地球附近軌道的太陽望遠鏡作為一個觀測網點，則該任務還需要部署兩個觀測點及4 顆航天器， 環日全景四星觀測構型如圖2 所示。

圖2 環日全景四星觀測構型Fig. 2 Observation configuration of Solar Ring mission

提出基于日–地三體系統不變流形軌道的低燃耗環日全景任務軌道設計方法，該方法借助于日–地Halo 軌道不穩定流形漸近遠離的特性，通過低燃耗方式實現航天器與地球約120°相位角的分離，并實施軌道機動實現相位角的保持。由于不同的Halo 軌道幅值，Halo 軌道上的不同離軌點會帶來軌道飛行時間及相位保持機動等軌道代價的差異，因此該方法還需對軌道代價進行詳細分析，并基于等高線圖對軌道開展優化設計，技術流程如圖3 所示。鑒于Halo 軌道及不變流形的求解較為成熟，本節將主要對軌道飛行時間和相位保持機動求解過程進行介紹。

圖3 基于不變流形的環日全景部署軌道優化設計方法Fig. 3 Flowchart of the design method for Solar Ring mission trajectory based on invariant manifolds

2.1 基于不變流形的日心轉移軌道

為全面分析Halo 軌道上不同離軌點所對應的不穩定流形的軌道特征，將Halo 軌道按時間30 等分（見圖4），獲得30 個節點，作為不穩定流形軌道的離軌點。

圖4 Halo 軌道周期30 等分Fig. 4 30 equal division of the Halo orbit

以Halo 軌道上30 個節點為初始位置，對不變流形初始狀態表達式(3) 開展軌道遞推。這里采用Matlab 的ode45 積分器，并以太陽–地球–航天器矢量夾角等于105°/135°為積分終止條件，即

對所有30 個離軌點的不變流形軌道進行計算，獲取轉移所需的飛行時間。

2.2 相位保持機動

為實現航天器在環日全景觀測任務中與地球保持105°/135°穩定相位，需要施加軌道機動，使得航天器的軌道周期與地球軌道周期一致。根據Kepler 軌道運動方程，航天器的軌道周期僅與慣性系中的位置及飛行速度有關。航天器的能量公式為

其中，μ為太陽引力常數，rs和vs分別為航天器相對太陽的距離及速度。軌道周期與長半軸a的關系式如下：

式中，Ts和rs均為已知量，rs由不穩定流形軌道積分后，再從三體坐標系轉換到日心慣性系后得到。

由式（8）可知，為了使得航天器軌道周期與地球軌道周期一致，航天器的速度大小應該為vsr，速度可以為任意方向。為了達到速度機動最小，節省燃料消耗，這里約定vsr與vs速度方向一致，則航天器進入相位保持軌道所需的軌道機動大小為Δv=vsr-vs。

3 仿真計算與分析

3.1 日心軌道均勻部署的不變流形軌道及飛行時間

以日–地L1 和L2 點Halo 軌道為停泊軌道，以不穩定流形為深空轉移軌道，與地球形成105°/135°均勻分布。Halo 軌道的取值范圍為Az∈[100000,500000] km，步長為50000 km。從L1 點Halo 軌道出發，不穩定流形軌道分為左右兩個集合，這里采用左側不穩定流形軌道集合。以105°相位部署為例，所有不變流形軌道如圖5 所示。從L2 點Halo 軌道出發，且與地球相角呈105°的所有不穩定流形軌道如圖6 所示。

圖5 L1 不變流形105°相位Fig. 5 Invariant manifolds of L1 for 105° deployment

圖6 L2 不變流形105°相位Fig. 6 Invariant manifolds of L1 for 105° deployment

不同幅值的Halo 軌道，不同Halo 軌道上的離軌點，所對應的不變流形軌道及其飛行時間均不相同。以上述105°相位軌道數據為基礎，通過積分中止條件獲取飛行時間。L1 點和L2 點Halo 軌道不穩定流形的飛行時間等高線如圖7 和圖8 所示，x軸表示Halo 軌道上的離軌點編號，y軸表示Halo 軌道幅值Az。

從圖7 和圖8 可以看出，Az對飛行時間影響比較小，Halo 軌道離軌點編號對飛行時間影響比較大。整體上來看，幅值Az增大，飛行時間變長。飛行時間與離軌點編號的關系略為復雜，對于L1 點Halo 軌道，離軌點編號較小時，飛行時間較短，最小飛行時間約為1450 天，對應離軌點編號4～13；飛行時間最長約為2100 天，對應的離軌點編號為20～25。對于L2 點Halo 軌道而言，情況與L1 點相反，離軌點編號20～25 對應著最短飛行時間，約為1550 天；最大飛行時間約為2100 天，離軌點編號5～10。通過L1 點和L2 點Halo 軌道不穩定流形部署航天器所需要的飛行時間相當，這意味著兩個航天器可以幾乎同時到達目標位置，開展科學探測。

圖7 從L1 點出發的轉移時間等高線Fig. 7 Contour map of transfer time for L1 departure

圖8 從L2 點出發的轉移時間等高線Fig. 8 Contour map of transfer time for L2 departure

3.2 均勻分布星座的燃料代價

通過2.2 節的相位保持機動算法獲取軌道機動大小。從L1 點和L2 點Halo 軌道出發的不穩定流形軌道在105°相角時軌道機動大小的等高線如圖9 和圖10 所示。橫坐標表示Halo 軌道離軌點編號，縱坐標表示Halo 軌道幅值。

圖9 從L1 點出發的速度增量等高線Fig. 9 Contour map of phasing maneuver for L1 departure

圖10 從L2 點出發的速度增量等高線Fig. 10 Contour map of phasing maneuver for L2 departure

從圖9 和圖10 可以看出，Az方向的等高線梯度較小，無論從L1 點還是L2 點Halo 軌道出發，速度增量受幅值Az變化影響較小，受離軌點編號變化影響較大。幅值變大，相應速度增量變小，相位保持的燃料消耗降低。而機動大小與離軌點編號的關系，圖9 和圖10 則略有差異。對于L1 點而言，最小的軌道機動位于第20 ～25 離軌點，軌道機動大小0.57～0.6 km·s–1；最大的軌道機動位于第5～10 離軌點附近，軌道機動大小0.8 km·s–1。對于L2 點而言，最小的軌道機動約為0.61 km·s–1，離軌點編號為5～10；最大的軌道機動約為0.89 km·s–1，離軌點編號為20～25?？傮w而言，從L1 出發比從L2 出發所需要的速度增量小。

對比圖7～10 發現，軌道機動小的區域，對應飛行時間較長，而軌道機動大的區域對應飛行時間較短。如圖10 所示，L2 點Halo 軌道第5～10 離軌點所對應的軌道機動最小，約為0.61 km·s–1，但是相應的飛行時間卻最大（見圖8），約為2100 天。L1 點Halo 軌道所對應的圖7 和圖9 也有類似的結論。因此在軌道選擇時，無法通過單一的指標，例如軌道機動最小、飛行時間最短來進行優化設計，需要綜合考慮二者代價。

3.3 軌道機動約束條件下的最優飛行時間方案

鑒于航天器的軌道機動大小與燃料消耗及航天器質量密切相關，需要討論軌道機動約束條件下的最優飛行時間方案。航天器的干重為460 kg[9]，考慮長三甲運載能力與一箭雙星發射方式，航天器總質量約640 kg（余量50 kg），在雙組元推進系統假設下，130 kg 燃料可以提供0.75 km·s–1速度增量。因此，軌道機動的約束條件這里設定為0.75 km·s–1。

從圖7～10 的分析可見，相位保持機動大小Δv與飛行時間長短成反比。依然采用等高線圖方法，在Halo 軌道離軌點編號和Halo 軌道的幅值Az組成的xy平面上，對Δv≤0.75 km·s–1的區域繪制飛行時間等高線圖，以此判斷在滿足軌道機動約束條件下的最短飛行時間解。從L1 點Halo 軌道出發與地球相位角105°的A 星軌道解空間如圖11 所示。

從圖11 可見，在Δv≤0.75 km·s–1的區域，飛行時間最小值約為1700 天，緊挨0.75 km 等高線。通過數據搜索，最短飛行時間為1655 天，對應離軌點編號15，Az=25×104km，位于0.75 km·s–1等高線上。采用同樣的方法，對B, C, D 星的最優飛行時間方案進行搜索，三星的最優飛行時間方案對應的軌道機動均為0.75 km·s–1。B 星Az=10×104km，離軌點編號15，飛行時間為2010 天；C 星Az=45×104km，選擇第14 離軌點，飛行時間為1697 天；D 星Az=30×104km，飛行時間為2095 天，離軌點編號為15。D 星入軌所需時間最長，約5.74 年。考慮航天器從地球發射到Halo 軌道入軌需飛行約120 天，以及航天器從Halo 軌道入軌到離軌還需一段時間停泊，約 90 天（第15 離軌點），則環日全景任務部署完成需耗時約6.38 年。飛行軌跡如圖12 所示。

圖11 軌道機動≤0.75 km·s–1 區域的飛行時間等高線Fig. 11 Contour map of flight time corresponding to phasing maneuver less than 0.75 km·s–1

圖12 日地旋轉坐標系中的最優飛行軌道Fig. 12 Optimal transfer trajectories with constrained phasing maneuver in the Sun-Earth rotation system

Halo 軌道的發射能量C3≈ 0 km2·s?2，對應長三甲運載火箭的運載能力為1450 kg。A, B, C, D 四星的質量、余量和部署時間列于表1。

表1 本文方案與文獻[9]方案對比Table 1 Contrast between the scheme of this paper and the scheme of Ref. [9]

本文的軌道設計方法所獲得軌道在部署時間上與文獻[9]方案相當，在航天器規模上相比文獻[9]均具有一定的優勢，在航天器考慮50 kg 余量前提下，運載還有約170 kg 余量。

4 結論

以環日全景探測任務為背景，提出了基于日–地系統低能量軌道的低成本任務設計方案，通過三體系統不變流形軌道實現了航天器與地球穩定的相位角分布，借助等高線圖獲得了設計變量和設計約束的全局解空間，并設計了軌道機動約束條件下的最優飛行時間軌道，分析了航天器規模與發射方案，結論如下。

（1）所設計的軌道及運載發射方案相比文獻[9]，在部署時間上節省相當。由于采用低能量轉移，火箭的發射質量提高，體現在一箭雙星發射后，運載火箭還具有170 kg 余量。

（2）基于三體系統不變流形的軌道設計方法可以在0.75 km·s–1軌道機動約束條件下將航天器和地球的相位角維持在約120°，因此地球軌道上的ASO-S和SDO 等航天器可以作為第三組觀測網，節省一組航天器的研制與部署成本。