基于干擾觀測器的改進滑模控制算法*

周 振 王冬青

（1.青島大學自動化工程學院 青島 266071）（2.青島大學電氣工程學院 青島 266071）

1 引言

如今，機械臂越來越多地應用于工業領域，以完成復雜而艱巨的任務［1～3］。由于機械臂是強非線性、多變量系統，且存在負載變化、建模不確定性和外部干擾，使得機械臂軌跡跟蹤控制一直以來都是機器人領域的重點難點［4～6］。因此，應采用適當的控制方法，實現快速的、高精度的軌跡跟蹤控制。近年來，國內外學者對此做了大量研究。機械臂軌跡跟蹤控制常用的算法有自適應PID控制、計算力矩控制、模糊自適應控制以及滑模變結構控制［7～9］。自適應PID控制不需系統建模，只需根據期望軌跡與實際軌跡的偏差進行負反饋控制，但是在外界干擾和系統不確定性較大的情況下難以保證機械臂的動靜態品質［10］。計算力矩控制是在控制回路中引入一個非線性補償使機械臂系統線性化且解耦［11～12］，因此計算力矩控制法十分依賴精確的機械臂動力學模型，而這在實際應用中尤為困難。模糊自適應控制不需要機器臂精確的動力學模型，但是依賴于控制專家的經驗知識［13～14］。

相比之下，滑模控制對參數變化和外部干擾具有理論上的完全魯棒性［15］，在沒有精確模型的情況下易于設計，所以其成為處理具有非線性、不確定動力學和有界輸入干擾下的機械臂軌跡跟蹤控制問題的重要方法之一。但由于滑模控制具有非連續開關特性，會引起系統的高頻抖振，抖振會增加控制器負擔，甚至會損壞控制器的部件。而且滑模控制必須事先評估外部干擾和系統參數誤差的邊界，而這在驅動控制系統中通常很難實現。近年來，干擾觀測器與滑模控制相結合的控制策略成為了研究重點［16～18］。文獻［19］提出了一種干擾觀測器和非線性滑模控制器相結合的控制算法，在兩連桿機械臂上驗證了算法的有效性。文獻［20］將干擾觀測器與非奇異終端滑模控制器相結合，設計了一種有限時間穩定系統，在跟蹤速度和精度方面都有不錯的表現。文獻［21］利用模糊干擾觀測器處理系統的不確定項，同時使用非線性滑模控制器對擾動做進一步補償。

上述文獻所提方法能夠估計外界干擾并加以補償，不需要未知上界的先驗知識，但是在抑制抖振方面卻并不理想，本文將干擾觀測器與基于趨近律的滑模控制相結合，并且在指數趨近律的基礎上提出了一種新的趨近律，提升系統的動態性能。

2 兩連桿機械臂建模

兩連桿機械臂如下圖所示其中，l1和l2為后臂連桿和前臂連桿的長度。m1和m2分別是后臂連桿和前臂連桿的質量。q1和q2分別是兩關節的角度。

圖1 雙關節機械臂示意圖

根據拉格朗日建模方法，將兩連桿機械臂的動力學模型表示為

其中，M(q)∈R3×3為正定慣性矩陣，為離心力和哥氏力矩陣；G(q)∈R3為重力項矩陣。τ∈R3為控制力矩，D∈R3為外界干擾項，一般情況下，機械臂精確的動力學模型難以獲得，所以將模型分為已知部分和未知部分：M(q)=M0(q)+ΔG(q)。那么機械臂的動力學模型可以表示為

其中d=D+ΔM+ΔC+ΔG，包括模型不確定性和不確定干擾項，并假設其有界。

3 控制算法

3.1 改進趨近律設計

本文在指數趨近律的基礎上進行改進，指數趨近律表示如下：

可以看出指數趨近律的切換帶為帶狀，系統狀態在做滑模運動時，不能趨近于原點，而是在原點附近來回震動進而引起高頻抖振。本文對指數趨近律做出如下改進，利用非線性函數fal(s，a，δ)代替符號函數sgn(s)，并且引入自適應項||s2，表示如下：

非線性函數fal(s，a，δ)表示為

其中，常數a能夠決定fal(s，a，δ)的非線性程度，a的取值越大，函數的非線性程度越高。δ為非線性函數在原點附近線性區間段的長度。自適應項|s|2能根據s絕對值的大小自適應的調節趨近速度。取a=0.2，δ=0.1，非線性函數fal(s，a，δ)和符號函數sgn(s)的比較曲線如下圖所示。

由圖2可以看出當系統誤差比較大時，即|s|＞δ時，趨近律為s˙=-ε|s|asgn(s)-k|s|2s，相較于傳統指數趨近律有更大的絕對值，因此趨近律有更快的趨近速度。當系統狀態接近滑模面時，即|s|≤δ時，fal(s，a，δ)為光滑的正比例函數，而此時趨近律為s˙=-εδa-1s-k|s|2s，δa-1s為主導項，趨近律等同于光滑的線性函數，使得系統的切換過程平滑而連續。

由上述分析可知，改進趨近律既克服了指數趨近律中滑模切換到為帶狀的缺點又提高了系統狀態趨近于滑模面的速度。并且ss˙≤0，滿足滑模存在及可達性條件。

3.2 干擾觀測器設計

干擾觀測器可以根據實際被控對象和名義被控對象的差異得出等價干擾，并在控制中引入等效的補償，實現系統的精確控制。系統的控制流程圖如圖3所示。

圖3 基于DOB的機械臂滑模控制系統

將干擾觀測器設計為

式（7）中，表示觀測器干擾觀測值，L(q，˙)表示待設計增益矩陣，定義輔助參數向量：

其中，p(q，˙)為待設計的非線性函數且應滿足式（8）條件：

聯立式（6）、（7）、（8）得到：

綜上所述，DOB設計為

使用干擾觀測器后，控制端會得到一個等價干擾，將干擾觀測器的估計誤差定義為ed=d-，機械臂動力學模型可變為

假設干擾的變化相對觀測器的動態特性是緩慢的，即˙=0，由此可得：

3.3 滑模控制器設計

定義系統的跟蹤誤差為e=q-qd，并采用線性滑模面：

求導得到：

將式（11）帶入上式得：

聯立式（4）得到系統的總控制率：

4 仿真與分析

兩連桿機械臂的動力學模型為

其中：

機械臂的參數取m1=1kg，m2=2kg，l1=1m，l2=0.9m，g取9.8。設計干擾觀測器參數為滑 模 控 制 器 參 數 設 定 為a=0.2，δ=0.1，ε=0.2，k=0.2，Λ=diag(5，5)。

圖4 基于指數趨近律的軌跡跟蹤效果

結合圖4、圖5和圖6可以看出，在建模誤差和不確定干擾完全未知的情況下，本文改進算法的軌跡跟蹤效果不僅提升了跟蹤精度，而且由于趨近律中自適應項的引入，加快了誤差收斂速度。

圖5 本文改進方法的軌跡跟蹤效果

圖6 兩種方法軌跡跟蹤誤差對比

由圖7和圖8可以看出，基于指數趨近律的滑模控制的輸出力矩抖振較為嚴重，尤其是在1s～2s處，而本文改進算法輸出力矩基本平穩，僅有輕微抖振，這在實際應用中可以有效地避免機器人控制器件的消耗。

圖7 基于指數趨近律的關節力矩輸出

圖8 本文改進方法的關節力矩輸出

5 結語

本文提出的基于干擾觀測器的改進滑模控制算法，無需上界先驗知識，利用干擾觀測器觀測外部干擾和建模不確定性，并在控制輸入端補償。在指數趨近律中引入非線性fal函數有效地削弱了滑模控制中固有的抖振現象，引入自適應項目減小誤差的收斂時間。對兩連桿機械臂進行仿真實驗，對比傳統的基于指數趨近律的滑模控制，仿真結果表明本文所提算法在關節角度的跟蹤速度和精度上都優于傳統算法，并且極大地削弱輸出力矩的抖振。