以“前數學理解”聯結數學實驗中的核心問題

江蘇南京市櫻花小學（210042）林 超

問題是數學的心臟，而數學實驗是解決問題的重要手段。因為方法缺失等原因，數學實驗中各要素之間的聯結常被割裂，充分挖掘學生的“前數學理解”，使之與推動實驗開展的核心問題聯結，可以更好地引導學生進行思考與探究。

“前數學理解”融合了學生的原有經驗、已有認知等各種生長資源，是一個由已知到未知的聯結點；“前數學理解”融合了學生的原生思考、數學直覺等各種資源，是一條從片面、感性走向豐盈、深刻，促進思維自然生長的路徑。在數學實驗中，知識的呈現常需借助問題的導引，學生的操作也常伴有問題的介入與解決，因此可以“前數學理解”聯結核心問題設計結構鏈（如圖1），借此突出學生在數學實驗中思維的生長力量，實現真正意義上的思維活動與探究活動的深度融合。

圖1

一、對接“自然概念”與“數學直觀”，使核心問題由獨立變為遞進

數學實驗的操作對象多以半抽象的實物和抽象的模型為主，若加上學生已在日常生活中形成的“自然概念”，可幫助學生清除數學化理解的障礙，使其在“動手做”中揭開被掩蓋的思維軌跡。學生的“自然概念”形成于生活并整合了諸多“前數學理解”的資源，它們是思維系統中的獨立表征，需要教師設計邏輯遞進的核心問題，形成內在的前沿后續的邏輯線索，從而引導學生高效完成實驗。

以蘇教版教材六年級下冊“動手做——簡易杠桿”為例，教材雖然只出示了百字的題干和兩個問題（如圖2），但其呈現的知識點前后依存的關系非常明顯，可細分為介紹簡易杠桿的制作方法，探究在特定條件下杠桿保持平衡的規律，探究在珠數不等、距離數不等的條件下保持杠杠平衡的規律，探究“當左邊的距離數和珠數保持不變時，右邊的距離數和珠數成反比例關系”的規律四個方面。因此，原來的兩個問題只能視作兩個特例來研究，須在題干的基礎上擴大問題的研究范圍。

圖2

因為學生已具備與“杠桿”和“反比例”相關的知識，但為了細化操作步驟并降低操作難度，教師課前已將制作杠桿的相關知識做了介紹，所以剛一出示杠桿的現實原型，學生便很快明白了本課的核心為理解杠桿的平衡及發現其中的“反比例”特征。這個環節體現了學生基于“自然概念”自覺調用頭腦中潛在的“前數學理解”，產出對已知的個性化理解。

數學實驗須具有邏輯性的結構鏈，教師可圍繞核心問題設計支架問題，以層層遞進引導學生對核心問題進行思考。基于此，筆者設計了三個富有邏輯性的問題，以引導學生開展杠桿平衡實驗。問題1：杠桿左右兩邊質量相等，一定會平衡嗎？問題2：當在杠桿左側距離為4處掛3個鉤碼時，右側是不是一定要在同樣的距離處掛同樣質量的鉤碼？在表中記錄數據（如表1）。問題3：“左邊質量×距離=右邊質量×距離，杠桿就能平衡”這個猜想正確嗎？先在表中記錄數據（如表2），再進行判斷。

表1 杠桿平衡實驗數據表

表2 杠桿平衡實驗數據表

本次實驗以探尋杠桿的平衡與哪些因素有關作為核心問題，實驗前學生依據“前數學理解”已經初步了解所要研究的內容，但他們的認知只停留在“平衡”的表象，而沒有對實驗數據細加琢磨。對此，筆者以組織學生對核心問題進行交流為契機，設計有效的支架問題促使學生自主運用數學知識多元表征自己的研究結果。

二、溝通“圖感表達”與“數學思辨”，使核心問題由發散變為收斂

徐利治先生指出，數學思維分為收斂思維和發散思維。收斂思維注重一絲不茍的邏輯分析的驗證與論證。發散思維強調海闊天空、自由創造，由此及彼、浮想聯翩。數學創造開始于不嚴格的發散思維，繼之以嚴格的收斂思維，兩者相輔相成。為此，教師需保持一定的敏感度，在呈現出個性化生長態勢的課堂中發現學生的“前數學理解”，并引導學生體會其中隱含的數學思想。

例如蘇教版教材六年級下冊“圓柱的側面積和表面積”的例題以求“商標紙的面積大約是多少平方厘米？”為問題導向，在例題圖的暗示下，學生能認識到：若按圖示的做法沿著商標紙的接縫剪開，那么得到一個長方形，其中長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，再根據長方形的面積公式就可順利推導出圓柱的側面積公式。而這一操作過程體現的就是本課的核心問題：圓柱側面積計算方法的推導。循著這個思路操作的實驗會很順暢，但這樣一個過于順應原生思維的實驗，并沒有捕捉到學生的原生頓悟，也沒有暴露知識的實際來源，應用價值并不大。

鑒于此，筆者設計了支架問題：（1）對于圓柱側面積公式的推導，還有沒有其他的方法？（2）對于你思考出的方法，試著畫一畫、剪一剪。圓柱側面積公式能不能推導出來？不出所料，問題一提出，立刻得到了學生肯定的答復（如圖3、圖4）。

圖3

圖4

以上問題的設計，根植于學生的“前數學理解”。學生依據實際經驗迅速對問題（1）做出了合理猜測，并在核心問題的引領下，對問題（2）進行相應的驗證和評價。驗證時，學生分析了圖形的本質特征，深刻把握了圖形的基本屬性，頭腦中形成了動靜結合的圖感。

在學生對圓柱的側面積公式有了思辨之后，在圓柱的底面積的教學中，筆者并不拘泥于教材中的原題，而是出示了一道常見題（如圖5）。

圖5

乍一看，這道題數據單一，但學生對本課的核心問題已有體悟，對底面周長和高也有了充分的認識，于是筆者引導他們將圖形轉變為文字，再轉化為符號，在學生認知的可持續生長中融合思辨與圖感，促進學生將“前數學理解”提升為數學思想。

圖感可以理解為對圖形的直觀感覺和敏銳程度。而思辨本質上是學生運用數學思想方法，從數學角度觀察、辨析和解決各種問題的思維能力。在數學實驗中借助圖感和思辨，且以“前數學理解”為指引，不僅能探索和發現核心問題的外在形式，更能洞察核心問題的內在本質，從而獲得對其一般的、普遍的理解。

三、體驗“問題序列”與“數學操作”，使核心問題由抽象變為“可感”

鄭毓信教授指出：我們應當努力做到“淺入深出”，特別是，應通過適當的“問題鏈”將學生的思維逐步引向深入，包括由知識的層面逐步深入思維的層面。對此，在聯結“前數學理解”與核心問題時，應當明確學習序列，使知識形成的邏輯序與學生的認知序相吻合，這個過程若以數學實驗為載體，則能引導學生在實驗中拉長思維的時間，使抽象的知識變得“可感”，進而發展學生的思維能力。

以蘇教版教材五年級上冊“動手做——圖形的分割”為例，其核心問題是探索“通過某些圖形中心任意畫一條直線一定能把圖形分成完全一樣的兩部分”的規律。出示題干（如圖6）后，需引領學生觀察圖形并分析數據，形成有根據的猜想。此時通過觀察所獲得的第一手材料是理性分析賴以進行的基礎與依據，隨之便自然形成了“觀察→猜想→思辨→驗證”的實驗流程。

圖6

筆者將教學分為6個環節：

1.呈現教材中的兩個平行四邊形，提出問題：過它們的中心畫一條直線，這條直線會將它們分成兩個什么圖形？這兩個圖形會有怎樣的關系？

2.學生猜想，接著找平行四邊形的中心，并過中心任意畫一條直線，沿著這條直線將平行四邊形剪成兩個圖形，比較這兩個圖形是否完全相同，驗證猜想。

3.提出問題：過長方形或正方形的中心任意畫一條直線，是不是也能將長方形或正方形分成兩個完全相同的圖形？如果可以的話，正六邊形是否也存在這樣的規律？

4.學生猜想，并嘗試驗證。

5.提出問題：過正三邊形、正五邊形、正七邊形等的中心任意畫一條直線，是否也存在這樣的規律？

6.學生猜想，實驗驗證并拓展。

課后反思時，筆者發現學生在“前數學理解”的基礎上，根據平行四邊形的畫法提示，已經不需要實驗就能驗證猜想并補充想法，這會削弱學生的操作能力，阻礙學生創造能力的發展。因此，筆者根據學生的學習心理和認知規律，將外在的動手操作和內在的數學思考做了調整，設計了新的數學實驗單（如圖7）。

圖7

對于題1，學生發現能把正方形分成面積相等的兩部分的直線都經過正方形的中心點，而且這樣的直線有無數條。對于題2，學生發現經過長方形、平行四邊形、正六邊形中心點的直線，也能將它們分成面積相等的兩部分，而且這樣的直線也有無數條。題3則與前兩題不同，學生發現經過正三角形的中心點，只有3條直線能把正三角形分成面積相等的兩部分，而經過正五邊形的中心點，只有5條直線能把正五邊形分成面積相等的兩部分。題4的設計更加開放，已不是簡單地畫直線分割圖形，而是出現了層次性的序列問題，學生必須將“前數學理解”上升到理性思考的高度，從而激活新知的生長，促進自身數學學習的自然生長。

綜上所述，以“前數學理解”聯結數學實驗中的核心問題，使得數學實驗更加有彈性，為學生的學和教師的教留出了空間。教師應善于挖掘學生的“前數學理解”，圍繞核心問題設計支架問題鏈。運用這樣的教學方式，課堂中會不斷生成新的問題，這也意味著研究之路會一直延伸下去。