積累活動經驗 感悟數學思想
——“找次品”教學案例與分析

安徽宿州市第十二小學（234000）張文莉

數學課程標準在“實施建議”中指出：數學教學應根據具體的教學內容，設計形式多樣的數學活動，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。在實際教學中，挖掘教材中蘊含的數學思想和方法并不是件容易的事，更別提在課堂教學中不著痕跡地滲透數學思想和方法了。那么，如何挖掘？如何運用？又如何滲透才能使學生體會到基本的數學思想和方法？筆者在觀摩了楊宏老師執教的“找次品”示范課后深受啟發，感悟頗深。

【案例賞析】

一、引出問題

師（出示圖1）：世界著名的微軟公司在招聘時曾出了這樣一道題。

圖1

師：最少稱幾次？你打算怎么稱？保證能找到嗎？

生1：10次。

生2：6次。

……

師：看來大家有不同的看法。如何才能做到“保證找到”，又能知道“最少稱幾次”？這就是今天我們要研究的問題。

【分析：教師在教學伊始沒有過多的論述，而是語言簡練，直奔主題。這樣既激起了學生探究新知的好奇心，又提高了課堂效率。】

二、探究解決問題的策略

活動1：從2個小球中找次品

師：這道題中有81個小球，數量太多了。遇到比較大的數，一時難以解決，我們可以怎樣入手？（簡單的數據）那從2個小球中找次品，最少要稱幾次呢？

生1：1次。

（教師用天平演示，板書：最少稱1次）

活動2：從3個小球中找次品

師：如果是3個小球呢？

生2：1次。

生3：2次。

（學生操作：先取2個小球放在天平的兩端。如果天平平衡，那么次品就是沒有放在天平上的小球；如果不平衡，那么次品就是向上傾斜的那一端的小球）

（板書：最少稱1次）

【分析：“天下難事始于易?！睂τ诒容^大的數“81”，學生感到茫然，教師引導學生從“小的數”開始研究，就是滲透了“化繁為簡”的數學思想。這是解決數學問題的一種重要策略。】

活動3：從4個小球中找次品

師：有4個小球，最少要稱幾次？（學生上臺演示，教師畫圖表示學生稱的過程）

稱法1：把4個小球平均分成2份，先是2個2個地稱1次，再將輕的這2個小球稱1次，總共稱了2次。

板書：

稱法2：隨意稱2個小球，如果平衡了，就稱剩下的2個小球。保證能找到需要稱2次。

板書：

圖3

師：要保證找到，就要從最不利的情況考慮。4個小球至少稱2次，才能保證找到次品。

活動4：從8個、9個小球中找次品

師：如果有8個、9個小球，最少稱幾次才能找到次品？用棋子代表小球在紙上擺一擺，擺好后將你們想到的稱法清楚、簡潔地記錄下來。

（學生合作探究，用統一的符號記錄）

（1）出示學生的記錄表：

表1

稱法1：把小球先分成2份，4個4個地稱，叫作二分法。

稱法2：把小球分成3份，先把3個與3個進行比較，叫作三分法。最不利的情況是次品在3個中，還要再稱1次，一共稱2次。

稱法3：把小球分成4份，2個2個地稱，叫作四分法。最不利的情況是第1次稱，天平是平衡的，那么次品在外面的4個小球中，還要稱2次，一共要稱3次。

（學生比較后發現：稱法2只需要稱2次就能找到次品）

師：如果第一次稱時天平不平衡，第二次就從較輕的3個里面找，稱的方法與前面稱3個的一樣，只要再稱1次，總共稱2次；如果天平平衡，第二次就從2個里面找，稱的方法與前面稱2個的方法一樣，也只要再稱1次，總共也是稱2次。

師：為什么三分法只需要稱2次，其他2種稱法都比三分法稱的次數多呢？

生4：采用三分法，稱1次后，次品只要從3個或者2個里面找；采用二分法，次品要從4個里面找……

師：采用二分法，稱1次之后，要從輕的4個里面找；采用三分法，稱1次后，從最不利的情況考慮，只需要從3個里面找……你發現了什么？

生5：剩下的球越少，稱的次數就越少。

生6：分成3份比較好。

師：我們接著看有9個小球的情況下如何找1個次品吧。

（2）出示學生的記錄表：

表2

師：研究9個很有意思。同樣分成3組，為什么第四種方法稱的次數最少呢？

生7：要從最不利的情況考慮，（4，4，1）就要從4個里面找，（1，1，7）要從7個里面找，（2，2，5）要從5個里面找。

師（用紅筆圈出4、7、5）：比較一下，你發現了什么？

生8：剩下的小球個數要盡可能少。

生9：采用第4種方法，稱1次之后只要從3個里面找，而其他方法稱1次之后剩下的都不止3個。

師：你有什么好的建議？

生9：3個數相差得越小，稱的次數就可能越少。

師：就是要盡可能平均分。（板書：平均分3份）

活動5：驗證最優策略

師：這樣的猜想是否正確呢？我們來驗證一下。有26個小球的情況下怎么稱才能找到1個次品？請在練習本上畫一畫。

師：26個小球不能平均分成3份，怎么辦呢？

生10：盡量平均分，分成（9，9，8）。

師：從最不利的情況考慮，稱1次后要從幾個里去找呀？

生11：9個和9個小球如果相等的話，那么只剩下8個小球，我們已經求出8個小球只要稱2次，那稱（1+2）次就可以了。9個和9個小球如果不相等，就從輕的9個小球里找，也只稱（1+2）次就夠了。

師：這位同學說得很好！我們用圖形來驗證。

（用多媒體演示“從1個1個地稱到9個9個地稱”，尋找最佳策略）

三、解決問題

師：回頭想想看，微軟公司出的題目你會做了嗎？有81個小球，需要稱幾次才能找到次品？

生：只要4次就夠了。

師：沒想到吧？剛才大家說最少需要10次、6次，實際上只需要4次就夠了。

四、發現規律

師：現在請同學們任意選自己喜歡的兩個數挑戰一下，想一想，算一算，看看各要稱幾次才能找出次品。

師（把在2～81個小球中找1個次品的表內數據依次補充完整，表略）：仔細觀察表格，你發現了什么？

生：有2個或3個小球的時候只需要稱1次，有4～9個小球的時候要稱2次，有10～81個小球的時候要稱3次。

師：2～3是1次，4～9是2次，10～81是3次，那么82到某個數是4次嗎？有興趣的同學下課后可以繼續研究。

五、小結（略）

【分析與感悟】

數學課程標準強調，在課堂教學中要落實“四基”，而“找次品”這類課型的教學重點就是讓學生在學習過程中領悟數學思想。楊老師在本課中十分重視數學思想的滲透與運用，注重讓學生在知識學習和活動操作中領悟相關的數學思想，并用學到的數學思想解決更多的數學問題。

一、化繁為簡思想

課始，楊老師設計了一個“找次品”的問題，讓學生猜想答案，然后適時介入，提醒學生要解決這個難題，可以先從較小的數開始研究；接著分別帶領學生研究2個、3個、4個小球的情況，逐步尋找“找次品”的規律和方法；在學生發現“平均分成3份來稱，所需的次數最少，而且保證能找到”后，要求學生用三分法來解決從26個、81個小球中找次品的問題。在探究過程中，學生感受到了化繁為簡思想的魅力。

二、化歸思想

在驗證平均分成3份是最優策略時，學生自主探索從26個小球中找次品，楊老師提示“并非都要稱，可以利用從8個、9個小球中找次品的結論。比如，先把27平均分成3份（9，9，9），接下去的9個球就不用再稱了，可以直接通過計算得到“（1+2）次”。把新問題轉化到已有的知識經驗中，學生從中就體會到了化歸思想。

三、猜想與驗證

弗賴登塔爾曾說：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實?！痹诒菊n教學活動中，楊老師讓學生經歷了“猜想→驗證→運用”的過程：首先對比從8個小球中找次品的幾種方法，從中發現三分法所需的次數最少，再通過從9個球中找次品，感悟到要“平均分”，由此引發學生猜想“無論在多少個物品中找1個次品，三分法所用的次數都是最少的”。為了驗證這一猜想，又讓學生自主選擇一個數去驗證，然后歸納得出結論。學生在“猜想→驗證”的數學活動過程中，不僅積累了活動經驗，獲得了數學結論，更重要的是逐步掌握了數學思想，提高了主動探索、獲取知識的能力，增強了學好數學的信心。

四、優化思想

楊老師首先給學生充分的自主探究空間，讓學生主動參與數學學習活動，獲得自己獨特的體驗和發現，掌握多種解決問題的方法和策略；接著，通過有效的交流，讓學生明確稱1次后“要從哪里找”是關鍵，要使稱的次數少，就要“剩下”的少，由此認識到“盡可能平均分”的優越性，從而感受到優化的數學思想。

綜上，教師只有挖掘出隱含在教材中的數學思想和方法，設計適時的數學活動，才能將數學思想有機地融合在數學知識中，使教材呈現的知識技能這條明線與教材隱含的思想方法這條暗線同時延展，進而幫助學生積累活動經驗，感悟思想方法。唯此，才能真正落實數學課程標準要求的“四基”。