培育符號意識需重視數學化中的意識進程

四川成都市龍泉驛區教育科學研究院（610000）鄭大明

一、符號意識在數學化中的心理和行為進程

從數學教育的角度來看，數學學習的過程就是人腦對客觀現實進行數學化的過程。荷蘭數學家弗賴登塔爾指出，數學化是一個過程，只要現實世界在一系列因素的影響下進行著變化、延拓和深化，這個過程就在持續，這也包括數學。特萊弗斯在教育脈絡內明確了兩個形態的數學化觀點——水平和垂直的數學化。因此，可以說“水平數學化涉及從真實世界走入符號世界，而垂直數學化則是在符號世界內前進”。

感知是人的感覺器官接受信息的過程，而意識是人腦對感官獲得的信息進行處理的結果。因此，意識既是大腦處理信息的行為，也是大腦處理信息所獲得的結果?？梢哉J為，符號意識是伴隨著人的心理發展和信息處理行為而生長變化的（如表1）。

表1 符號意識與心理、行為進程的關系

科學家認為，意識有先天進化的基因意識和后天習得的素養意識之分。有些意識是顯露出來的可以傳播和交流的意識流，有些意識是隱藏在靈魂深處的無法傳播和交流的，即潛意識。于是有人把這些意識分為本我意識——進化而來的本能性意識，自我意識——摻入主觀認知的素養性意識，超我意識——融入群體交流和大眾傳播以后的社會性意識。

鑒于意識本身的綜合性與復雜性，可以把數學素養中的符號意識看作是基于自我意識和超我意識的特殊形態。因為數學符號是記錄、交流、傳播數學知識的工具，是數學認知、表達和應用的語言系統（如表2）。

表2 數學符號的基本類型和主要功能

續表

二、在水平數學化中完成符號的感覺與知覺過程

水平數學化，是通過信息互動實現數學現實和數學符號相互連接的關鍵環節。

1.感覺情境中的符號，是意識符號現象與存在的前哨

感覺，是人體的感覺器官接受外界刺激的心理行為。這種心理行為使得我們認識現實世界和接受外界信息成為可能。因此，行為心理學家的“刺激—反應”學習論，就在符號學習中發揮著前哨性作用。

（1）交流中感覺符號。在交流中，讓學生講述生活的經歷或者有趣的故事，就會涉及元素、單位等符號。比如家里有“5個人”，吃了“3頓飯”，吃了“8顆糖”，見到“2只小貓”等，這些都有數學符號的影子。因此，數和量的講述很容易讓學生意識到數學符號的存在。

（2）觀察中感覺符號。在生活中，無論是無意識還是有意識的觀察，都能看到許多圖形、文字、標識等與數學相關的符號。比如碗筷、桌凳、毛巾、廣告牌等?！皥A形的碗”“方形的桌子”“1雙筷子”等符號信息，都能刺激學生的視覺、聽覺和觸覺。因此，在教學一些基本的數學符號之初，教師就要有目的地組織學生進行觀察。

（3）交易中感覺符號。購物就是貨幣與實物之間的符號聯系的過程。比如一個物品的單價、幾個物品的總價、付錢與找錢等，即使是數字化支付，也是學生感覺符號的數學功能的重要情境。又如買2塊橡皮、3張卡紙、4盒牛奶、2米長的皮筋等，學生從中還能感覺到整數、小數等不同的數學符號，感覺到大小、多少、同樣多等抽象的詞語符號。

（4）閱讀中感覺符號。要認識標準的、規范的數學符號，數學閱讀是最佳途徑。盡管數學符號簡約抽象且難認難讀，但在閱讀中查閱資料和請教老師、同學，就能豐富自己的數學符號信息庫。特別是中高年級的學生，要認識代數式、運算公式、關系式、統計表圖等數學符號，系統的閱讀是必不可少的。因此，教師從低年級起就要培養學生的閱讀習慣，讓他們在自覺和不自覺中感受數學符號。

（5）綜合實踐中感覺符號。在家庭、社會以及學校組織的相關活動中，要讓學生意識到數學符號的作用和價值，并能體會和理解數學符號的重要性。比如節日購物活動、春游活動、校園模型制作、太空旅行暢想、垃圾處理調查等，學生都能接觸到大量的數、量、形的符號，以及表示運算、關系的符號。教師要認真研究這些活動于如何讓學生意識到數學符號的作用和價值，給出合適的學習任務和評價方式。

2.知覺情境中的符號，是意識符號特征與類型的中樞

知覺，是大腦指揮感覺器官主動感知外界刺激的心理行為。當感覺器官接受了外界刺激后，大腦就會對外界事物進行反向知覺。因此，認知心理學家的信息“識別—加工—控制”學習論，就在符號學習中發揮著中樞性作用。

（1）知覺交流中的符號。在交流活動中，先安排學生聆聽他人言語中有關數學符號的內容；接著讓學生進行信息的識別、加工和記憶；最后要求學生復述，其他學生可以補充和解釋。比如講“給家人擺碗筷”時，可以讓學生“從1到幾”一個一個地復述怎么擺；講“來了幾位客人”時，可要求學生說出“幾位男客人、幾位女客人”“是男客人多，還是女客人多”等，促使學生體會這些符號的特征。

（2）知覺參觀中的符號。在參觀活動中，要求學生畫一畫、寫一寫、說一說，不但在看到的符號上留下印跡，匯報時還要采用多種形式展示。比如方形的廣告牌、圓形的摩天輪、球形的氣球等，要求學生把“分別有多少”“誰多誰少”等講清楚，這樣有利于他們在了解符號特征的基礎上能夠區別類型。

（3）知覺交易中的符號。要求學生在交易活動中記住交易中的錢幣、貨物的數量等，主動觀察或索取小票、賬單、菜單、收據、貨單等；匯報時分別說明錢幣符號、數量符號、日期符號等。學生對不同類型的事物和現象需要不同的符號表達，從而對符號有一個初步的認識。

（4）知覺閱讀中的符號。數學閱讀是識別、加工、掌握數學符號的關鍵途徑。因此，應讓學生閱讀后，通過填表、填圖等方式主動分類記錄和抄寫看到的數據、圖形、單位等符號，并能區分運算、結合、關系等不同類型的符號。特別是像“∠”“⊥”“○”等簡約符號以及括號、小數點、循環點、進退位點、分數線、比號、正負號等應用廣泛而又容易混淆的符號，更要加以重視。

（5）知覺綜合實踐中的符號。在綜合實踐活動中，學生只有沉浸于現實情境，才能真正理解數學符號與數學現實的真正聯系。教師必須仔細研究每一次活動所涉及的符號的特征、類型、作用等，提供給學生最佳的探究的內容、時機、方式等。比如“校園模型”制作項目活動，涉及數、量、形符號的特征、類型、用途、價值等，教師要重視活動方案的細節設計，這樣才能促使學生完成識別、加工、掌握數學符號的知覺任務，獲得好的學習效果。

三、在垂直數學化中完成符號的體驗與應用過程

在意識進程中，水平數學化只讓學生認識了現實世界與符號世界的關聯事實。而數學的語言體系是一個不斷向縱深發展的符號系統，教師只有清楚整個數學化過程才能完成教學（如圖1）。

圖1 數學現實與數學符號的數學化過程

數學的語言體系與數學的思維方法、應用功能有著同等的地位。新修訂的《義務教育數學課程標準（2022年版）》一再強調教材的“整體性、層次性、結構性、一致性”，就是要求教師關注數學語言系統的垂直數學化問題，即在水平數學化溝通了數學與生活的聯系以后，學生必須利用已有的數學知識基礎進行深度學習，形成系統化、結構化的認知。

1.在抽象與推理中獲得體驗，是意識符號系統與功能的關鍵

（1）在現實情境中獲得符號體驗。數學的現實情境包括生活與學習現實。如“數人數”時，很多學生會把自己漏掉，原因是他們看到什么數什么，沒有“從自己起”和“從零起”的“位置數”概念。因此，他們容易理解“1，2，3，4……”，而對“0，1，2，3……”的數法較難理解。因此，很多教材讓學生認識“0”的時候，不是用“數數法”而是用“減數法”，例如“3條魚，小貓吃完了就是0”。這樣一來，遇到“余數為0”和“-1，0，+1”的“0”時，學生就搞不清楚了。對此，教師要讓學生先記住自己的位置是“0”，再數“1，2，3，4……”。對于“小明左邊有3名同學，右邊有4名同學”這一情境，學生在計算時就會加上“小明的位置”而得到“3+1+4”的結果了。

（2）在模擬情境中獲得符號體驗。許多抽象的關系符號，比如“大于、小于、等于”“倍、分、比、等式、比例”等，需要學生在模擬情境中獲得認知體驗。通過“真人表演”“學具拼擺”“圖畫記錄”“舉例子類比”等方式，學生對數據及其相互關系等進行對比、歸納，得出“a＞b，a=b，a＜b，an=b，b÷n=a，a∶b=n”等符號系列和“當c不為0時，有‘a+c＞b+c，ac=bc，a-c＜b-c，（a÷c）n=b÷c，（bc）÷（nc）=a，（ac）∶（bc）=n’”等情況。

（3）在虛擬情境中獲得符號體驗。在中高年級的數學中，大數、小數和分數以及相應的長度、面積、體積等都會進入“再認識”階段，“千以內的數”“厘米、毫米、分米”“小數和分數的初步認識”等，都無法直觀地靠數、量、畫的辦法體會，很難靠思維、想象與推理得出其數學意義。但是，計算機模擬系統就可以輕而易舉地通過數字編程實現“疊加”和“細分”，直觀地展示虛擬情境。

2.在遷移與應用中進行實踐，是意識符號規范與創新的高地

（1）在后續學習中使用符號。很多數學符號的功能，都是學生在后續學習中慢慢體會出來的。比如“0占位”和“小數點位移”，都是在計算“2×3，20×3，20×30……”“0.2×3，0.2×0.3，0.02×0.3……”等的過程中，學生才真正體會到“0”和“.”的作用。學生在低年級認識m、dm、cm、mm時全靠記憶，在中年級使用km、hm以后，才慢慢地發現“m”前面的“d”表示“1個單位的十分之一”，“k”表示“1個單位的1000倍”等。于是，學生就在課外閱讀中明白了“30 mg”“5 kg”“100 MB”“256 GB”的真實意義，從而意識到每一個數學符號的規范性和嚴謹性。

（2）在問題解決中使用符號。數學符號是根據人們的需要不斷升級、不斷系列化的。在解決問題的過程中，比如遇到“數大數和分小數”“量大物和量小物”等問題時，學生會發現之前學習的計數和計量單位不夠用，必須要啟用或者創造新的數學符號。比如，教了1平方厘米和1平方分米以后，要求學生測量操場的面積，學生就覺得無奈：這么大的操場，怎么測量呀？他們就會想到要用上更大的測量單位，也就會根據已掌握的1厘米、1分米、1米，得出1平方米、1平方十米、1平方百米、1平方千米的想法。

（3）在實踐創作中使用符號。當前非常提倡以“項目式學習”為代表的跨學科綜合實踐活動。因此，教師可以設計一些簡單的創作項目，以幫助學生使用和創造數學符號。比如，前面提到的“校園模型”制作活動就可以打造為項目式學習活動。學生可以先拍照、畫畫、測量、估測等，也許還要計算和設計圖紙，或是購買紙板、膠泥等材料。他們除了用到已有的知識，還會創造出一些自己不曾學過的東西。不管是設計測量、計算，還是購物中的哪個方案，都會涉及數學符號的功能、作用、價值等，也許還有我們意想不到的“可遇而不可求”的新東西出現！