基于窗函數(shù)與頻率采樣法的FIR濾波器仿真與實(shí)現(xiàn)

徐晗

（黑龍江科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱，150022）

0 引言

有限沖激響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器又稱為非遞歸型濾波器，在保證任意幅頻特性的同時(shí)具有嚴(yán)格的線性相頻特性，還有著有限長(zhǎng)的單位抽樣響應(yīng)，因此濾波器是個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。

1 窗函數(shù)法

窗函數(shù)法步驟簡(jiǎn)單、內(nèi)容直觀，是濾波器重要設(shè)計(jì)方法之一。由于FIR 濾波器的沖激響應(yīng)序列是有限長(zhǎng)的，需要用一個(gè)有限長(zhǎng)的窗口函數(shù)序列ω（n）對(duì)無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)hd(n)進(jìn)行截取，生成一個(gè)有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)h(n)=ω(n)*hd(n)。

窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器步驟如下：

（1）根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，對(duì)過(guò)濾單元的響應(yīng)hd(n)進(jìn)行采樣，

從頻率采樣定理來(lái)看，hm(n)和hd(n)需滿足如下關(guān)系：

如果已經(jīng)給出邊界頻率和阻帶通帶衰減要求，可以采用理想濾波器作為逼近函數(shù)，再作傅里葉逆變換求出hd(n)。如果未給定阻帶衰減，則要根據(jù)通帶紋波和阻帶紋波去求：

式中Rp為通帶波動(dòng)，As為阻帶最小衰減，δp為通帶紋波，δs為阻帶紋波。

（2）根據(jù)過(guò)渡頻帶和停止頻帶衰減的要求，選擇窗口的形式和窗口函數(shù)的長(zhǎng)度N。假設(shè)Δω為濾波器的長(zhǎng)度，由于過(guò)渡帶的濾波器長(zhǎng)度與窗口長(zhǎng)度近似成反比，窗函數(shù)主瓣寬度與窗口函數(shù)近似相等，所以N≈A /Δω，由窗口的形式所決定，用 A 表示。

(3)計(jì)算濾波器的單位沖擊響應(yīng)h(n)：

式中ω(n)是已選擇的窗函數(shù)。如果要求線性相位，則要求hd(n)和ω(n)均對(duì)（N-1)/2對(duì)稱，如要求h(n）對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，只要保證hd(n)對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱就可以了。

2 常用窗函數(shù)

各窗函數(shù)的性能如下表1所示。

表1 各窗函數(shù)性能

窗函數(shù)的主瓣寬度決定了Hd( jω )過(guò)渡帶的寬度，窗函數(shù)長(zhǎng)度N越大，過(guò)渡帶越小。

3 頻率采樣法

窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)，而頻率采樣法，是從頻率出發(fā)。根據(jù)頻域采樣定理，在得到FIR濾波器的N個(gè)頻域采樣值H(k)后，傳輸函數(shù)H（z）為

按頻率采樣定理由Hd(k)求H(z)或h(n)。

為使濾波器保持線性相位，H(ejω) 和 H（k）要滿足一定的條件。一般理想濾波器的幅度響應(yīng)只給出了（0～π）范圍頻率采樣的幅度值，所以上式中k只能取0～N/2的點(diǎn)，從N/2+1～N-1的點(diǎn)要根據(jù)線性相位的奇偶對(duì)稱條件求得，步驟如下：

4 FIR濾波器仿真實(shí)現(xiàn)

4.1 基于漢明窗的低通濾波器

設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，Wp=0.2π,Ws=0.4π,Ap=0.25dB,As=50dB，這里選用漢明窗。

漢明窗低通濾波器仿真運(yùn)行結(jié)果：

N=34

Ap=0.0477dB＜0.25dB

As=52dB＞50dB

經(jīng)驗(yàn)證完全符合設(shè)計(jì)要求。

圖1 漢明窗低通濾波器

圖2 漢寧窗帶阻濾波器

4.2 基于漢寧窗的帶阻濾波器

設(shè)計(jì)一個(gè)帶阻濾波器，Wp1=0.2π,Ws1=0.4π,Wph=0.6π,Wsh=0.8π,Ap1=0.5dB,Ap=0.5dB, As=40dB，As=40dB,這里選用漢寧窗。

圖3 雙帶通濾波器

漢寧窗帶阻濾波器仿真運(yùn)行結(jié)果：

N=31

Ap=0.1502dB＜0.5dB

As=40dB=40dB

經(jīng)驗(yàn)證完全符合設(shè)計(jì)要求。

4.3 基于頻率采樣法的多帶濾波器

設(shè)計(jì)多帶濾波器，理想幅頻響應(yīng)在歸一化頻率 0.2～0.3 之間為 0.5，在 0.6～0.7 之間為1，其余處為0。

分別取濾波器長(zhǎng)度N為20、50、100對(duì)比，可以看到N越大通帶增益越高，阻帶衰減越快，但也會(huì)相應(yīng)的增加濾波器的成本，故頻率采樣法一般用于窄帶FIR濾波器的設(shè)計(jì)工作。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)窗函數(shù)法和頻率采樣法的分析和介紹，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了FIR濾波器的仿真，仿真結(jié)果表明，F(xiàn)IR濾波器的各項(xiàng)性能指標(biāo)均滿足要求，為后者更好地設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器提供了參考。