永磁同步電機矢量控制系統頻域模型及其應用

羅學鴻， 金佳躍， 孔建會， 楊向萍， 陳家新

(東華大學 機械工程學院， 上海 201620)

隨著永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor, PMSM)實際應用要求的不斷提高，對其控制系統的性能提出了更高的要求,相關的分析方法也被不斷完善，涌現出大量的PMSM控制系統建模與參數整定方法。文獻[1-4]將逆變器等效為一個慣性環節進行電流環分析，通過參數配置降低了速度環的階次。王莉娜等[5]基于PMSM調速系統的頻域模型推導出系統等效傳遞函數，并結合工程應用給出了開環截止頻率與相位裕度的取值范圍。楊淑英等[6]提出以磁鏈為狀態量的對稱化建模思路,采用復矢量技術以簡化模型描述。文獻[7-9]基于系統傳遞函數增益尺度和頻域尺度因子設計了一種帶寬參數化PD反饋控制器。文獻[10-11]基于二自由度控制方式的研究表明，二自由度控制器使得系統抗擾性與快速性實現獨立調節。文獻[12-14]通過研究逆變器與四象限變流器拓撲結構的一致性，進而提出逆變器直流側的等效數學模型，揭示了直流側等效數學模型與逆變器及交流側電路參數之間的定量關系。

上述研究采用時域狀態方程模型，而在頻域下伺服系統的特性明顯、參數聯系明確，因此有研究者通過頻域模型研究伺服系統參數與性能的關系。目前對伺服系統的頻域分析與建模以文獻 [15-17]中的模型辨識法為主，該方法建立在試驗的基礎上，即根據試驗測試結果利用模型辨識得到系統相關參數，進而獲得伺服系統頻域模型。該建模方法較為復雜繁瑣，所得的模型物理意義模糊，為此本文提出一種伺服矢量系統頻域模型的理論建模方法。

本文提出的雙閉環矢量控制系統的頻域模型理論建模方法將逆變器延遲與采樣延遲直接體現在系統模型中。通過逆變器的輸出特性以及組成逆變橋的場效應管的物理特性給出了逆變器的等效模型，使用傅里葉級數展開的方式研究延遲環節的替代模型，并通過與模型辨識法所建立的模型對比，檢驗理論模型的正確性，同時在所得等效模型的基礎上利用線性優化手段對系統進行改進。

1 頻域模型關鍵環節建模

雙閉環矢量控制系統框圖如圖1所示。由圖1可知，要得到系統的頻域模型必須解決以下問題：電機的數學模型在經過坐標變換后d、q軸電流雖解耦合，但轉矩電流方程中反電動勢的存在導致電流依舊存在耦合關系，在建模時應如何處理反電動勢對電流環模型的影響；三相逆變器拓撲結構的精確數學模型無法獲得，如何建立逆變器的等效數學模型使其與實際效果吻合；矢量控制系統多為數字化控制系統，數字系統信號處理過程會帶來延遲作用，而延遲時間的確定將影響系統模型的準確度，應如何確定延遲時間。針對上述問題對頻域模型的關鍵環節進行分析，并給出解決方案以期為頻域模型構建提供依據。

圖1 雙閉環系統控制框圖

1.1 轉矩電流解耦分析

永磁同步電機在旋轉坐標下的電壓方程為

(1)

式中：ud為d軸電壓；uq為q軸電壓；R為定子繞組電阻；Ld為d軸電感；Lq為q軸電感；ωe為電機的電角度；id、iq分別為d、q軸電流；φf為電機永磁體磁鏈。

當采用id=0的控制策略時，上述電壓方程簡化為式(2)的形式。

(2)

式中：ωeφf為反電動勢。

將式(2)中的q軸電壓方程中的反電動勢項右移得到式(3)。

(3)

采用矢量控制策略將交流電機模擬成直流電機，根據直流電機的電樞電壓方程，可得q軸電流與反電動勢的關系如下：

(4)

式中：iqL為對應的負載電流；Tm為伺服系統的機電時間常數；E為電機旋轉坐標下等效反電動勢。

對式(4)進行拉普拉斯變換得到反電動勢的傳遞函數如下：

(5)

根據式(5)得到永磁同步電機電樞反應過程如圖2所示。

圖2 q軸電樞反應流程

為便于分析永磁同步電機雙閉環矢量控制系統的等效模型，假設負載為零。通過移動框圖節點得到圖2的等效控制框圖，如圖3所示。

圖3 空載下電流等效控制框圖

根據圖3得到電流的開環傳遞函數：

(6)

由式(6)可知電流環是一個二階系統，進一步對電流環進行簡化使系統降階，得到圖3所示系統的開環傳遞函數的頻率特性，如式(7)所示。

(7)

由于系統的電流環響應角頻率一般都很高，當TmTlω2>>1時，進一步簡化式(7)得到式(8)所示結果。

(8)

由式(8)可知，坐標變換后結合id=0的控制策略，轉矩電流可以獨立控制，在該情況下可忽略耦合的影響，電流環相當于一階慣性環節，因此解耦后轉矩電流與電壓關系為

(9)

1.2 逆變器等效模型

由矢量控制的實現過程可知，矢量算法的最終執行是通過三相逆變器的開關組合順序給定電機運行所需的繞組電壓。因此，在系統的建模中逆變器模型的構建對系統是至關重要的。為了提高傳遞函數模型的準確性，需考慮逆變器的物理過程對系統帶來的影響，綜合考慮可得電流環的控制框圖如圖4所示。

圖4 實際電流內環結構

圖4中iqref為輸入的q軸參考電流，G(s)為逆變器的等效傳遞函數。為得到圖4的電流環傳遞函數，必須先得到逆變器的等效傳遞函數模型。逆變器的物理過程是通過開關管的不同狀態輸出不同的電壓組合，根據這一物理過程可將逆變器等效為特定的環節。三相電機控制中典型的三相逆變器拓撲結構的等效電路圖如圖5所示。

圖5 三相逆變器等效電路模型

圖5中L為電機的相電感，a、b、c分別對應三相電機的各個相線，N表示星型連接電機的中性點。根據圖5可知相電壓是開關狀態的函數，則電機相電壓的關系式為

(10)

式中：ek為三相等效反電勢；ukN為相電壓；ik為三相電流；在分析每一相線時k分別對應a、b、c。

式(10)表明電壓與開關的狀態有關，根據開關平均函數可知，開關的導通時間由占空比控制，在一個周期內假設橋臂上管占空比為dk，此時逆變器輸出的相電壓和母線電壓的關系如式(11)所示。

(11)

根據式(11)可得逆變器的輸入電壓到輸出電壓的等效線性關系為

(12)

在脈寬調制中由于載波頻率(開關頻率)遠高于輸出電壓基波頻率，根據式(12)在逆變器的輸出電壓幅值上可將逆變器等效為一個比例環節，比例系數為Kpwm，根據調制原理并在矢量控制中采用電壓前饋解耦控制，可將Kpwm近似處理為1。

上述分析表明逆變器相當于一個比例環節，但在實際的PWM(pulse width modulation)調制過程中由于開關器件的特性以及死區時間的影響，逆變器的輸出會存在延遲。在矢量控制系統硬件執行過程中上述延遲主要的來源是電流的采樣更新過程，而電流采樣到PWM更新過程的延遲時間與電流采樣更新算法有關。本文采用單周期雙次采樣電流算法分析電流采樣到更新延遲的產生過程，如圖6所示。

圖6 電流采樣時序

由圖6可知，在第n個采樣時間點完成采樣后，要在下一個采樣命令即第n+0.5時刻更新PWM波，這是由硬件的特性所決定的，因此逆變器輸出PWM波的延遲時間為半個載波周期，記為Tcar。

1.3 數字控制系統信號恢復

矢量控制系統多為數字化系統，在數字控制系統中經過采樣的離散信號需要恢復成連續的信號，實際工程中一般用零階保持器來恢復信號。在MATLAB的矢量控制仿真系統中于離散控制器的積分輸出后面設置零階保持器，在系統建模時需要考慮零階保持器信號恢復過程的影響，由自動控制理論的知識可得零階保持器的頻率特性,如式(13)所示。

(13)

式中：Ts為采樣周期；ω為系統響應頻率。

根據采樣定律將式(13)中的采樣時間轉換成與頻率相關的函數，可得到式(13)的另一種表達方式如式(14)所示。

(14)

式中：ωs為采樣頻率。

(15)

由式(14)與(15)可知，采樣頻率足夠高時，零階保持器恢復的信號與被采樣的信號較為接近，此時零階保持器可等效為一個延遲時間為半個采樣周期的延遲環節。

則電流環帶來的總延遲時間為

Tdelay=Tcar+TOH

(16)

上述分析根據逆變器的輸出幅值特性將逆變器等效為一個比例環節，又從開關器件的硬件特性和數字采樣系統的實現方式的角度分析了逆變器具有的延遲效應，綜合可得逆變器的等效數學模型如式(17)所示。

G(s)=Kpwme-τs

(17)

式中：τ為電流采樣到逆變器輸出時總的延遲時間，并且τ=Tdelay。

2 雙閉環系統頻率特性模型

2.1 按典型I型系統設計電流環的等效傳遞函數

傳統的雙閉環矢量控制系統等效處理方式是將電流環中逆變器看成具有一定時間常數的一階慣性環節和在幅值效果上看成是放大倍數為1的放大環節。據傳統的分析方法得到q軸電流環的結構框圖，如圖7所示。

圖7 逆變器等效為慣性環節電流環框圖

圖7中第一個慣性環節是濾波帶來的影響，第二個慣性環節是逆變器的延遲效果。為分析方便，忽略反電動勢帶來的擾動影響，將PI控制器寫成零極點的形式，可得圖7的閉環傳遞函數為

(18)

式中：kCP為電流環比例增益；kCI為電流環積分增益。

按照典型I型系統的設計方法對系統模型進行簡化，對電流環的閉環系統進行降階處理，通過設置PI參數使式(18)降階。PI參數設計如式(19)所示。

(19)

(20)

在分析速度環傳遞函數時，用式(20)所示的電流環函數代替電流內環，可得傳統分析法的雙閉環矢量控制系統結構框圖，如圖8所示。

圖8 傳統分析法的雙閉環系統結構框圖

圖8中:TL表示外部負載；K為電機角速度與轉速的換算系數，K=30/π。根據圖8可得按典型I型系統處理電流環后的雙閉環矢量控制系統的閉環傳遞函數，如式(21)所示。

(21)

式中：J為電機轉動慣量；B為阻尼系數；KSP為按典型Ⅱ型系統參數設計的速度環比例增益，KSP=0.125；KSI為按典型Ⅱ型系統參數設計的速度環積分增益，KSI=25；pn為電機的極對數。

對式(21)所示雙閉環矢量控制系統的等效模型頻率特性與原矢量控制系統頻率特性進行對比，結果如圖9所示。圖9中離散點是矢量控制系統的頻率特性，實線是按典型I型系統設計方法處理電流環后矢量系統的傳遞函數模型的頻率特性。

圖9 按照典型I型系統參數整定下的頻率特性

圖9表明，由傳統的按I型系統設計電流環的方法得到的傳遞函數與實際系統相差較大，對系統的分析與優化起到的作用較小，難以發揮頻域分析的指導作用。

2.2 改進后的等效傳遞函數

由于傳統模型與實際的頻率特性吻合精度的不足，提出一種改進的頻域模型理論建模方法，該方法在基于內模原理的參數整定方式下對電流環進行等效。根據第1節的分析以及內模參數的設計可得不含延遲環節的電流內環的閉環傳遞函數，如式(22)所示。

(22)

式中：α為電流環的期望帶寬。

將逆變器以及采樣保持的延遲環節考慮到系統模型中，再將延遲環節進行泰勒級數展開，得到式(23)所示的等效表達式。

(23)

式(23)的階次根據系統的階次以及實際情況選定，當延遲時間較大時，為提高近似精度，延遲環節近似模型的階次應該選得高些，本文電流環等效傳遞函數的分母只有一階，這是因為若分子近似階次高于分母，在工程中不易實現，所以選取一階近似模型。

此時電流環的傳遞函數變為

(24)

根據對電流環的解耦分析以及數字控制系統中的延遲分析，可得旋轉坐標系下雙閉環控制系統的等效控制模型，如圖10所示。

圖10 改進的矢量控制系統傳遞函數模型

根據圖10的控制結構示意圖，推導出矢量控制系統在旋轉坐標下的閉環傳遞函數如式(25)所示。

Go(s)=[-cKPτs2+c(KP-KIτ)s+cKI]/

[Jπbs3+(Bbπ+JπαKv-cKPτ)s2+

(BπαKv+cKP-cKIτ)s+cKI]

(25)

式中：KP為速度環比例增益；KI為速度環積分增益；Kv為逆變器等效比例放大系數；Ke為轉矩系數，Ke=1.5pnφf。滿足：

(26)

3 理論模型頻率特性驗證

為驗證本文構建的傳遞函數與實際系統的吻合度，從頻率響應特性與階躍響應兩方面進行驗證試驗。參數設計依據內模控制原理進行整定，最終選取的參數如表1所示。

表1 電機與控制器的主要參數

電流環總延遲時間為零階保持器所帶來的延遲與電流采樣更新延遲時間之和，PWM的開關頻率為20 kHz，據此得到仿真系統的延遲時間常數τ=1.25×10-5。

依據表1所示參數以及式(25)得到選定參數下的等效傳遞函數模型如式(27)所示。

Go(s)=(-157.84s2+12 548 292.73s+6 313 606 405)/(s3+2 486.39s2+12 550 055.10s+6 313 606 405)

(27)

對矢量控制系統與基于圖10構建的傳遞函數系統進行階躍仿真對比，結果如圖11所示。圖11中傳遞函數系統所示的曲線是通過本文理論建模方法即圖10得到的頻域模型的階躍響應結果，矢量控制系統所示的曲線是MATLAB中搭建的矢量控制仿真系統階躍響應結果。

圖11 理論模型與矢量控制系統的階躍仿真對比

圖11表明，改進電流環處理方式下的等效傳遞函數控制模型與矢量控制系統仿真模型兩者的階躍響應性能幾乎一致。為進一步驗證等效模型的正確性，對比模型辨識建模方式所得模型、理論建模方法所得模型及原矢量控制系統的頻率特性的吻合情況，結果如圖12所示。圖12中離散點是內模參數下矢量控制系統的頻率特性，虛線是基于模型辨識所得系統的頻率特性，實線是本文所提理論建模法所得的系統頻率特性。

圖12 頻率特性對比圖

從圖12可以看出，矢量控制系統、模型辨識所得的頻域模型以及理論建模所得的頻域模型的頻率特性基本吻合。圖11與圖12的結果表明，本文構建的模型與實際系統在階躍性能與頻率特性上都相吻合，因此可采用構建的頻域模型對矢量控制系統進行分析與優化。

4 系統優化

根據三階系統的階躍響應理論可知，系統的快速性與超調量很難同時滿足最優，即系統響應較快時超調量隨之增加，要求系統無超調時系統的過渡時間又會增加。當然目前有很多抑制超調的策略，比如采用積分分離式PI控制器、跟蹤微分器等減小超調量。但這些方法設計復雜，本文根據第3節構建的傳遞函數模型，利用線性分析方法對系統進行改進。由自動控制理論中典型校正方式的特點可知,超前校正可提高系統的帶寬。超前校正環節及其參數設計如下：

(28)

10×lga=g

(29)

(30)

式中：a為校正分子系數；g為根據頻率特性曲線配置截止頻率時校正環節所需提供的增益；ωc為設定的開環截止頻率。

由圖12的頻率特性曲線可知，系統幅值衰減到-3 dB時的頻率為808.92 Hz，為驗證傳遞函數描述下的系統正確性，選擇校正環節所提供的23.7 dB增益，此時截止頻率為2 117.83 Hz，計算得到α=234.42,T=4.911×10-6。將式(28)的校正環節加至矢量控制系統的速度環調節器前對系統性能進行驗證。根據行業標準，輸入信號的幅值為額定轉速的0.01倍即30，輸入頻率為2 117.83 Hz。系統的帶寬測試結果如圖13所示。圖13中原矢量系統是在MATLAB軟件中搭建的圖1所示系統，根據頻域模型優化系統是指在矢量系統中根據構建的頻域模型計算加入校正環節后的系統。

圖13 基于頻域模型的帶寬擴展試驗結果

由圖13表明，在2 117.83 Hz正弦測試信號下，加入校正環節的矢量控制系統帶寬得到了有效擴展，與理論分析一致，而未加入校正環節的矢量控制系統在該帶寬下幅值明顯衰減。

根據構建的頻域模型對已有的矢量控制系統進行優化，為驗證系統的階躍響應性能是否得到改善，對比校正前后系統的階躍響應，結果如圖14所示。

圖14 校正前后階躍仿真對比

圖14表明，矢量控制系統經過校正后階躍響應性能得到大幅改善，在過渡階段幾乎無超調，且調整時間變短了。圖13與圖14的結果進一步說明，本文的頻域模型在頻率響應與階躍響應上都與原系統吻合，并且基于頻率特性分析的校正方式在原系統中得到有效應用，使系統的校正變得簡單。

5 結 語

針對現有雙閉環矢量控制系統的頻域分析模型存在過程繁瑣以及典型數學模型頻率特性與實際系統誤差較大的缺點，提出了PMSM矢量控制系統頻域模型的理論建模方法，并驗證了該方法在帶寬擴展和抑制超調兩個環節的作用效果。結果表明，系統帶寬從原來的808.92 Hz提高至2 117.83 Hz。該模型可彌補現有分析方法中頻域模型準確性差的不足，為高性能伺服系統的開發奠定基礎，同時為系統性能優化提供可靠依據。