跳擴散模型下乖離率的平穩性及其在高頻交易中的應用

方曉彤， 胡良劍

(東華大學 理學院， 上海 201620)

“高頻交易”是通過計算機系統的代碼運行在極短時間內自動完成資產交易，并利用快速買入賣出獲取差價收入的一種交易方式[1]。盡管這種方式的每次交易差價很小，但短時間內多次交易累積后能夠獲得可觀的收益，這在基本金融工具市場以及衍生產品市場上均得到了體現。高頻交易的前提是必須有金融理論分析和交易策略作為支撐。技術指標分析與基本面分析是金融市場中兩大重要的投資分析流派。在高頻交易中，買入賣出的交易時間很短，因此基本面幾乎沒有發生變化，而主要的變化是技術指標。技術指標分析則是通過考慮市場行為的各個方面，根據歷史數據建立的數學模型計算技術指標，并利用該技術指標值給出無法直接通過行情序列獲取的市場信息，為投資者交易行為提供指導[2-3]。在實際交易市場上，資產價格過程只有一條樣本軌道，如果投資策略收益滿足平穩性和遍歷性，且期望收益為正，則策略具有長期穩定的盈利能力。因此，構建一個平穩的技術指標是高頻交易策略的核心[4-6]。

價格跳躍是價格在外部信息沖擊下發生的瞬間性大幅度變動，體現了資本市場的極端風險狀況。目前，對資產價格跳躍的研究主要集中在改進檢驗方法以提高檢驗結果的準確性，而很少在交易策略中考慮跳躍。由于高頻交易單筆收益低的特點，交易策略在單次跳躍發生時失效，可能會使之前的收益全部歸零甚至虧損，因此準確地識別出跳躍發生的具體時間和跳躍幅度具有十分重要的意義[7-8]。同時，高頻交易隔夜不持倉的特點在降低交易風險的同時也降低了投資收益，故在高頻交易策略中如何處理隔夜跳躍值得研究。

采用Lee等[9]研究的非參數檢驗方法進行跳躍檢驗，該方法以波動率為基礎設定閾值并逐點檢驗序列是否發生跳躍，避免選取不同模型進行參數估計所帶來的影響。介紹乖離率(bias)的應用原理，并且在資產價格服從默頓跳擴散模型的假設下證明乖離率指標的一階平穩性。將加入跳躍檢驗結果而改進的交易策略記為bias-J策略，采用實證分析驗證bias-J策略可以進一步提高收益。根據研究發現，價格發生跳躍時，其大幅變化會帶來高風險，即隱含著高損失與高收益，因此，在高頻交易策略中應合理考慮跳躍。

1 定 義

移動平均線可視為某一時期內買賣雙方都能接受的均衡價格。bias也叫偏離率，是市場指數或收盤價與價格的某條移動平均線之間的差距百分比，是一種判斷資產趨勢和交易時機的常用技術分析工具，其反映一定時期內價格與其平均價格的偏離程度，并可以得出價格因偏離移動平均趨勢而造成回檔或反彈的可能性[10-11]。無論在上漲行情中，還是在下跌行情中，只要趨勢穩定，bias都將在一個常態范圍內波動，若超出常態范圍，則可視為bias過大，資產價格就會向移動平均線靠攏。

和傳統的Black-Scholes(B-S)模型相比，默頓跳躍擴散模型[12]中加入了泊松跳躍過程，可以更好地刻畫資產收益率尖峰厚尾的特性。根據文獻[12]，在默頓跳躍擴散模型中資產價格的隨機過程St表示為

dSt=μSt-dt+σSt-dWt+(J-1)St-dNt

(1)

式中：漂移系數μ及擴散系數σ為常數；Wt是標準布朗運動；J服從對數正態隨機分布，即lnJ服從正態隨機分布，每次跳躍發生時J的取值不同；Nt是強度為λ的泊松過程，t時刻如果價格發生跳躍，有dNt=1，否則dNt=0。跳躍在價格過程中不斷累積，根據文獻[13]，式(1)等價于式(2)。

(2)

式中：設初始時刻為0，S0表示0時刻的資產價格，{Yj,j=1,2…,Nt}是與lnJ同分布的獨立正態隨機變量。

2 乖離率指標的性質

(3)

考慮乖離率過程，定義Btn表示資產價格在t時刻的n期乖離率，記

(4)

在實際運用中，要根據資產價格的波動幅度和特性來決定周期。一般而言，如果價格變動較大且漲跌變動比較頻繁，則n的取值相對小一些，反之則大一些。

假設1假設St服從默頓跳躍擴散模型，即滿足式(1)，且泊松過程Nt與布朗運動Wt之間相互獨立，S0=x，x>0。

根據式(2)容易得到下列引理。

引理若假設1成立，設0

(5)

(6)

以下定理證明對每個固定的n，過程{Btn}的概率分布具有平穩性，其均值及方差均與時間無關，樣本函數總是在水平直線上下波動。

定理若假設1成立，則{Btn}t≥n是一階嚴平穩過程。

St0-nSt-t0+n(=)St

(7)

(8)

根據文獻[14]，對任意給定的u≥0，存在隨機變量θu(=)Su，且θu獨立于{St}t≥0，令

(9)

有

(10)

可得

(11)

以及

(12)

根據式(7)、(8)及Slutsky定理[15]得

(13)

令t2=t，t1=t-t0+n，則對?t2>t1≥n，有

(14)

結論成立。

3 實證分析

3.1 數據選取

選取2020年1月2日至2020年12月31日滬深300指數(CSI 300)和中國平安(股票代碼601318)1 min高頻交易數據，在交易過程中使用每分鐘收盤價作為最終的成交價。

3.2 交易方式及交易策略

交易方式：

(1)逐單交易，每次交易一手標的資產，不考慮加倉，只有平倉后才建立新倉，不賣空；

(2)日內交易，不允許隔夜持倉，如果沒有平倉信號，則在收盤時強制平倉；

(3)交易手續費率為c。

對預先給定的期數n，bias交易策略：

(1)當Bt-1,n<0且Btn>0時，出現價格上漲信號，在t時刻買入；

(2)當Bt-1,n>0且Btn<0時，出現價格下跌信號，在t時刻賣出。

利用文獻[9]的方法對t時刻的價格進行跳躍檢驗，將bias交易策略改進為bias-J交易策略：

(1)若t時刻價格發生下跳，在t時刻買入；

(2)若t時刻價格發生上跳，在t時刻賣出。

不考慮其他因素，判斷給定的任意t時刻交易信號詳細過程如圖1所示，其中，實線表示bias策略，局部用虛線替代并行的實線，表示biass策略基礎上增加跳的bias-J策略。

圖1 bias策略和bias-J策略信號判斷流程圖

3.3 跳躍及平穩性檢驗

圖2 文獻[9]方法計算的 CSI 300跳躍檢驗結果

圖3 CSI 300的價格走勢及跳躍時點

圖4為CSI 300的6 min(n=6)乖離率指標序列圖，對頻率為6、12及24 min的乖離率序列進行ADF檢驗，結果表明各序列檢驗統計量對應的概率值p均小于0.01，說明乖離率具有弱平穩性，這與第2節中定理表述一致?；谄椒€性指標構建高頻交易策略，圖5為CSI 300在2020年7月1日基于bias-J策略的交易信號圖，由于11：30—13：00暫停交易，這兩個時間點之間的價格變動呈直線。由圖5可以看出，交易賣出點基本都位于買入點上方，交易信號準確性高，盡管一天內價格變動多次且方向不固定，該策略在價格上漲和下跌時仍然表現保持穩定。

圖4 CSI 300的乖離率(bias)序列

圖5 CSI 300 bias-J策略交易信號圖

3.4 CSI 300與中國平安交易的策略結果

圖6給出了交易的累計收益曲線(c=0.000 05)。從圖6(a)中可以看出，bias策略能夠獲得穩定的收益，bias-J策略能夠有效管理跳躍帶來的風險，獲得更高的收益，但這種情形是否穩定還需要驗證盈利過程的平穩性。平穩性是隨機過程的重要特征，基于平穩性才能根據隨機過程現在和過去的信息推斷隨機過程的未來，因此，只有過程具有平穩性質，才能確定以上盈利的發生并非偶然。

圖6 bias及bias-J策略累積收益曲線

通過檢驗單筆交易收益為平穩序列的方法來說明策略收益的穩定性，圖7為bias-J策略分筆盈利圖。由圖7可以看到股票的收益率波動大于指數的收益率波動，股票交易風險更高。對收益率序列進行ADF檢驗，結果表明收益序列平穩。雖然高頻交易的單筆收益率低，只有萬分之幾，但借助于多次交易，通過不斷累積的方式可以得到很高的收益，該特性也使得手續費對交易收益率產生極大影響。

圖7 bias-J策略分筆盈利圖

中國平安在2020年1月至7月期間，利用bias-J策略能獲得穩定的盈利，而在7月至12月期間則虧損，該表現與市場實際情況一致。由于交易對手策略及市場環境的不斷變化，常規策略在一組參數下是有一定時效的，因此高頻交易策略并非始終有效，交易者需要定期檢驗策略的有效性。

持倉時間的長短很大程度上決定了交易風險的大小，研究持倉時間也是高頻交易中的一項重要工作。圖8為bias-J策略持倉時間的直方圖。由圖8可以看出，單筆交易的持倉時間主要集中在5～10個時間單位，持倉時間均較短，有助于降低因持倉時間太長而帶來的風險。

圖8 bias-J策略持倉時間

綜上，bias-J策略在指數和股票下的收益率均高于bias策略，說明在高頻交易策略中考慮價格跳躍是有意義的。同時，無論在bias還是bias-J策略下，對比指數和股票的交易結果發現，指數的收益率及勝率都比股票高，策略盈利的持續時間也更長。這是因為指數類似于多個股票的加權平均，當少數單個股票發生大波動時，對指數的影響被分散化，因此，指數更能夠分散風險，價格更趨向于移動平均值，這與策略的核心原理一致。股票受影響因素多，單個事件發生對股票影響大，波動更大，導致股票價格可能長期偏離其均衡價格，因此策略在股票市場上的盈利效果更弱甚至失效。

4 結 語

金融數學領域的研究大多數建立在各種資產定價模型基礎上，若模型的合理性能夠得到認定，則基于模型的技術指標就具有現實意義。本文在默頓跳躍擴散模型下證明乖離率的平穩性，根據平穩指標結合跳躍建立一個新的bias-J交易策略。進一步，對CSI 300和中國平安使用bias及bias-J兩種策略進行實證分析。兩種策略收益結果對比表明：在高頻交易策略中應用跳躍可以實現更好的收益；同時，無論在bias還是bias-J策略下，指數的表現要明顯優于股票的表現，說明該策略適用于價格趨勢相對穩定的資產。需要指出的是，雖然本文僅對分鐘頻率作了實證分析，其結果對更高頻的交易也是有指導意義的。另外，在交易過程中，盡管單筆收益為正，但手續費的提高可能會抵消單筆交易的收益甚至產生負的最終收益，因此在分析高頻交易策略的有效性和收益性時，不能忽略手續費的影響。