中立型隨機比例微分方程部分截斷Euler-Maruyama數值解的收斂性分析

肖淵琰， 尤蘇蓉

(東華大學 理學院， 上海 201620)

隨機時滯微分方程(stochastic delay differential equations，SDDEs)被廣泛應用于隨機系統模型中，SDDEs的演化取決于歷史狀態。但在實際應用中，很多隨機系統不僅依賴于現在和過去的狀態，還與時滯項的導數有關，這就催生了中立型隨機時滯微分方程(neutral stochastic delay differential equations，NSDDEs)數值解和解析解的研究[1-5]。作為NSDDEs中的一種特殊模型，中立型隨機比例微分方程(neutral stochastic pantograph differential equations，NPSDEs)應用于很多實際的領域，如經濟、金融、物理、生物、藥學等。近年來，NSDDEs和NPSDEs解析解的性質如收斂性、穩定性得到了較為廣泛的研究，例如：Liu等[6]研究了高非線性下帶Lévy噪聲的NPSDEs解的P階矩指數穩定性；Mao等[7]研究了混雜型NPSDEs的幾乎必然穩定；Shen等[8]利用李雅普諾夫函數和M矩陣研究了高非線性條件下NPSDEs的指數穩定性。

在高度非線性條件下很難得到NPSDEs的解析解，這時數值方法的重要性顯而易見。經典的Euler-Maruyama法被用于構造滿足線性增長條件的隨機微分方程數值解，在此基礎上，如：Mao[9]提出基于Khasminskii型條件和局部Lipschitz條件的隨機微分方程(stochastic differential equations，SDEs)數值解截斷EM(euler-maruyama)算法；Guo等[10]提出部分截斷EM算法，并證明了方程數值解可在高非線性條件下保證均方指數穩定性和多項式收斂性。隨后，部分截斷EM算法開始應用于隨機微分方程的數值解研究，如：Zhang等[11]利用部分截斷EM算法研究一類SDDEs的數值解問題；Zhan等[12]將其應用于隨機比例微分方程(stochastic pantograph differential equations，PSDEs)的數值解研究。部分文獻對NPSDEs的數值估計進行了研究，如：Zhan等[13]利用向后型Euler方法給出NPSDEs的數值解的幾乎必然漸進穩定；程生敏等[14]用相同方法得到了NPSDEs的數值解的指數穩定性。

但是目前鮮有關于高度非線性情況下NPSDEs的顯示數值研究，對此，在Khasminskii型條件和壓縮映射條件下，利用部分截斷EM算法構建高度非線性NPSDEs的數值解，并研究數值解的有界性和收斂性。

1 預備工作

考慮以下中立型隨機比例微分方程：

d[x(t)-D(x(qt))]=f(x(t),x(qt))dt+g(x(t),x(qt))dB(t)
x(0)=x0;t>0

(1)

式中：x∈n；f:n×n→n；g:n×n→n×m；D:n→n表示中立項；q∈(0,1)。

假設系數f和g可以被分解為以下形式：

f(x,y)=F1(x,y)+F(x,y)

g(x,y)=G1(x,y)+G(x,y)

式中:F,F1:n×n→n,G,G1:n×n→n×m，分別滿足以下假設。

(2)

(3)

(4)

當a=1時，以上假設即為Khasminskii條件。

假設1.4(壓縮映射條件)存在正常數u∈(0,1)，對所有x,y∈n使得

|D(x)-D(y)|≤u|x-y|且D(0)=0

(5)

由假設1.4推出|D(x)|≤u|x|。

(6)

證明：

引理1.6[14](存在唯一性)若假設1.1～1.4和引理1.5成立，方程(1)具有唯一解{x(t),t≥0}。

沿用文獻[10]提出的部分截斷數值解思想，選取一個嚴格遞增的連續函數μ:+→+,使得當r→+∞時有μ(r)→+∞，且

μ(r),?r≥1

(7)

記μ-1為μ的逆函數，可知μ-1也是嚴格遞增的連續函數，且μ-1:[μ(0)，∞)→+。再選取一個Δ*∈(0,1]，和嚴格遞減函數h:(0,Δ*]→(0,+∞)，使得

(8)

對于給定的步長Δ∈(0,1)，定義一個如式(9)所示的映射πΔ:n→{x∈n:|x|≤μ-1(h(Δ))}。

(9)

當x=0時定義πΔ(x)=0，則定義如下截斷函數

(10)

對任意x,y∈n,由式(7)可知

FΔ(x,y)∨GΔ(x,y)≤μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(11)

因此，雖然F,G不滿足有界條件，但是FΔ,GΔ一定有界。以下的引理將證明這些截斷函數保留了Khasminskii型條件。

(12)

證明：固定任意的Δ∈(0,Δ*]，由h(Δ*)≥μ(1)可知,μ-1(h(Δ*))≥1，但因為μ-1遞增而h遞減，所以μ-1(h(Δ))≥1，得到

以下分兩種情況證明：

(13)

(1)當x∈n且|x|∨|y|≤μ-1(h(Δ))時，根據假設1.3可知

(2)當x∈n且|x|∨|y|>μ-1(h(Δ))時，對根據假設1.3可知

因此

現定義方程(1)的部分截斷EM算法如下[10]：

(1)定義：

(14)

其中ΔBk=B((k+1)Δ)-B(kΔ)，而fΔ(Xk,X[qk])=F1(Xk,X[qk])+FΔ(Xk,X[qk])，gΔ(Xk,X[qk])=G1(Xk,X[qk])+GΔ(Xk,X[qk])。

(2)定義離散過程：

(15)

(3)定義連續時間的近似解：

(16)

因此可以看出xΔ(t)在區間[0,+∞)上滿足

2 收斂性結果

引理2.1令p>2,記z(t)=x(t)-D(x(qt))，在假設1.1～1.4和引理1.5成立的條件下，對任意T>0，存在C>0(依賴于p,T)，方程(1)的唯一全局解{x(t),t≥0}滿足

(17)

如果定義停時τR=inf{t≥0,|x(t)|∨|z(t)|≥R}，則有

(18)

(19)

而

(20)

因此有

(21)

再根據z(t)的定義和不等式(a+b)p≤(1+ξ)p-1(ap+ξ1-pbp),?a,b≥0,p>1,ξ>0，可得

(22)

代入式(21)得到

(23)

引理2.2若假設1.1～1.4和引理1.7成立，存在C>0(依賴于p,T，但獨立于Δ)使得

(24)

且對任意實數R>|x(0)|以及Δ∈(0,Δ*]，定義停時ρΔ,R=inf{t≥0,|xΔ(t)|∨|yΔ(t)|≥R}，成立

(25)

分別對上式右側3個積分進行分析可得

(26)

(27)

(28)

式(28)中，對任意t∈[0,T]，存在唯一的k使得kΔ≤t<(k+1)Δ，根據假設1.1，可得

(29)

代入式(28)可得

(30)

由式(26)、(27)和(30)可知，對任意t∈[0,T]，

對式(22)中的κ滿足κ1-pup<1，有

(31)

(32)

證明：令θΔ,R=τR∧ρΔ,R，eΔ(t)=x(t)-xΔ(t)，則有

(33)

令δ>0是任意的，利用Young不等式

得到

由引理2.1和2.2可知，

推導得出

為此，對x,y∈n，定義截斷函數

可以看出，當|x|∨|y|≤R時，有f(x,y)=FR(x,y),g(x,y)=GR(x,y),同時由|x|∨|y|≤μ-1(h(Δ))可知

fΔ(x,y)=F1(x,y)+FΔ(x,y)=

f(x,y)=FR(x,y)

gΔ(x,y)=G1(x,y)+GΔ(x,y)=

g(x,y)=GR(x,y)

定義以下中立型隨機比例微分方程

d[w(t)-D(w(qt))]=FR(w(t),w(qt))dt+

GR(w(t),w(qt))dB(t),t≥0

(34)

初值w(0)=x(0)，FR,GR滿足局部Lipschitz條件，因此方程(34)有局部唯一解w(t)，可知

P{x(t∧τR)=w(t∧τR),?t∈[0,T]}=1

(35)

另一方面，對每個步長Δ∈(0,Δ*]，利用經典的EM算法得到方程(34)連續時間的連續數值解記為wΔ(t)，且有

P{x(t∧ρΔ,R)=w(t∧ρΔ,R),?t∈[0,T]}=1

(36)

考慮式(35)和(36)，得到

則有

因此得到

定理證畢。

3 算例分析

考慮以下中立型隨機比例微分方程

(37)

對于假設1.1、1.2和1.4，方程顯然成立。下面證明方程滿足假設1.3。

接下來選取μ(·),h(·)，已知

圖1 數值解隨時間變化圖

4 結 語

研究了中立型隨機比例微分方程的數值解問題，利用部分截斷EM方法建立了連續時間的數值解，通過一系列不等式技巧對中立項和比例時滯項進行處理，得到數值解的Lp有界性，繼而證明方程的收斂性。但本研究的研究對象是滿足假設1.3的一類具有特殊特征的高度非線性中立型隨機比例微分方程，研究結論不能涵蓋條件更一般的高度非線性中立型隨機比例微分方程，這也將是以后的研究方向。