“完整地學(xué)”：小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的有效路徑

江蘇南京市長江路小學(xué)（210018） 丁愛平

盡管數(shù)學(xué)課程改革不斷強(qiáng)調(diào)要發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，但是現(xiàn)實(shí)情況不容樂觀。一是學(xué)生缺少整體思維。教與學(xué)的割裂形成的碎片化教學(xué)，學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生發(fā)展脫節(jié)，均會使得學(xué)生沒能建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。二是學(xué)生缺失過程體驗(yàn)。過度重視結(jié)果性考量，會導(dǎo)致學(xué)生沒有經(jīng)歷自主探究和學(xué)習(xí)進(jìn)階的全過程，難以形成持久的學(xué)習(xí)力。三是學(xué)生缺乏價值體認(rèn)。部分教師過分去情境化和兒童化，很少關(guān)注學(xué)習(xí)情感、態(tài)度和價值觀的培育，使得學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和價值。這些問題在一定程度上阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個完整的過程，因?yàn)閷W(xué)生要成長為一個完整的人，就需要完整地學(xué)習(xí)。基于此，筆者提出“完整地學(xué)”的教學(xué)主張，為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人提供有效路徑。

一、“完整地學(xué)”的內(nèi)涵特征

“完整”是指具有或保持著應(yīng)有的部分，沒有損壞或殘缺，完好無缺。在本文中“完整”是指完全展開、過程充分、具有整體結(jié)構(gòu)、不斷走向自我完善。

“完整地學(xué)”是指在學(xué)科育人背景下，基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)體系和結(jié)構(gòu)課程論提出的一個小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主張。“完整地學(xué)”有三層含義：

其一，學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體關(guān)照。教師立足數(shù)學(xué)課程的整體框架，運(yùn)用高觀點(diǎn)對數(shù)學(xué)知識的本源、發(fā)展和聯(lián)系做整體分析。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主建構(gòu)意義，獲得對知識的深度理解與自主遷移，構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)儲備知識和數(shù)學(xué)思想方法。

其二，認(rèn)知過程的完整關(guān)注。學(xué)生在充分的獨(dú)立探究、交流合作和評價反思中積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)，獲得學(xué)習(xí)知識的過程性、生長性和完整性。

其三，生命成長的全面關(guān)懷。學(xué)生的學(xué)習(xí)不是追求快速獲取學(xué)科知識和技能，而是能夠在充滿智慧、自由、分享的學(xué)習(xí)環(huán)境中充分感受學(xué)科的精神價值，獲得智力的發(fā)展，以及形成高尚的品格和道德，實(shí)現(xiàn)完整愉悅的生命成長。

基于核心素養(yǎng)的教育背景，“完整地學(xué)”這一教學(xué)主張以培養(yǎng)人、塑造人為宗旨，由真實(shí)的學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生完整地成長，實(shí)現(xiàn)從“教為中心”向“學(xué)為中心”的教學(xué)轉(zhuǎn)型，讓學(xué)科育人真正落地生根。

二、“完整地學(xué)”的實(shí)踐策略

1.“U型”教學(xué)思考：學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性建構(gòu)

在傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師主要思考的是“教什么”和“考什么”，“教”和“考”點(diǎn)對點(diǎn)，連接成一條“線段”，而作為主體中心的“學(xué)”被擠掉了。“U 型”教學(xué)思考則能突出“學(xué)”和“教”的關(guān)鍵要素。它源自企業(yè)管理領(lǐng)域中的“U 型思考”，其核心理念是做任何一個重要決策之前，需要先通過下探核心問題發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，再解決問題。小學(xué)數(shù)學(xué)“U 型”教學(xué)思考是對教學(xué)內(nèi)容做統(tǒng)攬和貫通，做出深入淺出的“U 型”教學(xué)決策。教師要努力把目標(biāo)“化解”成任務(wù)，把知識“轉(zhuǎn)譯”成問題，把方法“沉淀”成活動，這是一個整體性的建構(gòu)過程。

首先，聚焦數(shù)學(xué)核心知識，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的融通。

教師先透過數(shù)學(xué)知識的外顯層確定核心問題；再到達(dá)中間的思維方式方法層，找到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；然后抵達(dá)數(shù)學(xué)知識最深處的隱性層，即在數(shù)學(xué)知識探索過程中所積淀的各種價值體驗(yàn)；最后再“上浮”，用符合兒童思維特點(diǎn)的教學(xué)方法，比如創(chuàng)設(shè)故事情境、多元表征、批判思考、滲透文化等，呈現(xiàn)解決問題的顯性層。

例如，圖1 為“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課的“U 型”教學(xué)思考。左側(cè)下沉的是層層深入的教學(xué)分析：教師先近觀學(xué)情，基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)（關(guān)于“大小相等”的直覺思維）確定一個核心問題（探究“大小相等”的數(shù)學(xué)道理）；再引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，思考知識的本質(zhì)，即計(jì)數(shù)單位和個數(shù)共同決定數(shù)的大小；最后，分析知識的工具價值，得出的分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)為后續(xù)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算提供支撐。往更深處看，這類關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容滲透的數(shù)學(xué)思想主要是推理和建模，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用推理和建模思想去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部或生活中的“變中有不變的規(guī)律”。右側(cè)是學(xué)程規(guī)劃，由學(xué)理深處向上浮現(xiàn)出具體的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)：關(guān)聯(lián)思考是大部分學(xué)生比較欠缺的，需要教師有意識地引導(dǎo)；感受文化和批判思考是引領(lǐng)理性思維抵達(dá)知識本質(zhì)的重要渠道；再往上，就是承載核心問題的情境，要最大限度地發(fā)揮學(xué)生的自主性，給予學(xué)生多元表征的機(jī)會。

圖1

其次，用好“世界”這本活教材，實(shí)現(xiàn)從知識技能到實(shí)踐智慧的聯(lián)通。

教育的目的是培養(yǎng)“完整的人”，這個“完整的人”聯(lián)結(jié)的是“真實(shí)世界”。如果將數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo)只鎖定在知識技能，而忽視關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、價值目標(biāo)等，那么學(xué)生的發(fā)展必然不充分和不完整。因?yàn)椋R會被慢慢遺忘，只有關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)等才會終身發(fā)揮作用。“完整地學(xué)”著重讓學(xué)生自己成為學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)連接者、內(nèi)容組織者、實(shí)際應(yīng)用者，從而用好“世界”這本活教材，樹立正確的學(xué)習(xí)觀和價值觀。該語境下的“U型”教學(xué)思考，“U型”的左側(cè)是學(xué)生習(xí)得的數(shù)學(xué)知識技能和數(shù)學(xué)思想方法，“U 型”的右側(cè)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)在學(xué)生學(xué)習(xí)和生活中的價值體現(xiàn)，是學(xué)生的實(shí)踐智慧。

例如，筆者所在學(xué)校的操場比較小，每次開運(yùn)動會都很擁擠，對此，數(shù)學(xué)組的教師在全校開展“我來籌劃運(yùn)動會”的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動。高年級學(xué)生繪制操場平面圖，計(jì)算人員密度，估算各項(xiàng)比賽的時長和所需場地的面積，撰寫秩序冊。在這個過程中，有的學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)反復(fù)驗(yàn)證后得出“跑道太短會影響長跑成績”的結(jié)論，建議學(xué)校擴(kuò)建操場；有的學(xué)生設(shè)計(jì)了操場空間結(jié)構(gòu)圖，提出“空中裁判員和觀眾席”的設(shè)想；有的學(xué)生創(chuàng)作圖文并茂的運(yùn)動會宣傳卡片；有的學(xué)生測算出攝像機(jī)的點(diǎn)位、角度和距離……如此，數(shù)學(xué)和兒童的生活世界完全聯(lián)通，數(shù)學(xué)以它的嚴(yán)謹(jǐn)求真、廣泛應(yīng)用、至善尚美為兒童創(chuàng)造了“完整的世界”。

2.“進(jìn)階式”課堂學(xué)習(xí)：認(rèn)知過程的全方位體驗(yàn)

數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)應(yīng)以“進(jìn)階式”行進(jìn)，以學(xué)生親歷探究過程為主要方式。學(xué)生只有完整地經(jīng)歷獨(dú)立嘗試、深層互動、評價與反思，經(jīng)歷拾級而上的思維爬坡，才能在真實(shí)、深刻、完整的認(rèn)知體驗(yàn)中有所收獲。

首先，精準(zhǔn)設(shè)“階”，讓認(rèn)知體驗(yàn)富有層次。

教學(xué)并不只是解決學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過程中的問題，還需要明確學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過程中用以“踏腳”的具體的點(diǎn)——這就是學(xué)習(xí)的“階”。學(xué)習(xí)的“階”是學(xué)生與知識之間主客體共同決定的結(jié)果，教師只有找到學(xué)生每一次進(jìn)步的“踏腳點(diǎn)”，設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的任務(wù)和評價——一個個“階”，才能幫助學(xué)生獲得更為深刻而完整的認(rèn)知。

例如，學(xué)習(xí)“認(rèn)識周長”時，學(xué)生在經(jīng)歷了四個“階”的思維推進(jìn)后，對“周長”這一概念的數(shù)學(xué)理解實(shí)現(xiàn)了“經(jīng)驗(yàn)性—原理性—文化性”的完整學(xué)習(xí)。筆者先在《課前小研究》中設(shè)計(jì)了兩個“階”。第一階“認(rèn)周長。觀察身邊的物體或圖形，說一說、畫一畫你眼中的‘周長’”。第二階“量周長。你能想辦法量出樹葉、長方形、凸字形圖形的周長嗎？”。每個學(xué)生都在自己的最近發(fā)展區(qū)踏“階”行歌。 然后，筆者在課堂上讓學(xué)生交流《課前小研究》，感悟化曲為直、化繁為簡，優(yōu)化學(xué)生思維后再進(jìn)入第三階“玩周長。一根絲帶怎樣‘玩出周長’？”學(xué)生在小組合作中深刻理解概念：所謂“周長”，“周”是特征，“長”是本質(zhì)。最后，筆者給出第四階“愛周長。請依次觀察和描摹所在省、市等版圖的周長。”

其次，重視親歷全過程，讓認(rèn)知體驗(yàn)更加深刻。

陶行知先生的“教學(xué)做合一”理論認(rèn)為，學(xué)生是創(chuàng)造的主體，必須使這個主體身體力行，躬行實(shí)踐。他說：“《墨辯》提出三種知識：一是親知，二是聞知，三是說知……我們拿‘行是知之始’來說明知識之來源，并不是否認(rèn)聞知和說知，乃是承認(rèn)親知為一切知識之本。聞知與說知必須安根于親知里面方能發(fā)生效力。”重視“親知”是實(shí)現(xiàn)“完整地學(xué)”的有效之策。數(shù)學(xué)作為一門以理性和邏輯為特質(zhì)的學(xué)科，具有高度的抽象性。小學(xué)生的學(xué)習(xí)以感性和直觀為主，教師要讓他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中多一些體驗(yàn)，給予他們自主探求“親知”的機(jī)會，只有這樣，他們才會通過獨(dú)立思考和合作探究發(fā)展高階思維。

例如，教學(xué)“認(rèn)識軸對稱圖形”時，學(xué)生在課始會提出很多問題：軸是什么？和車軸的意思一樣嗎？軸對稱圖形在生活中有什么用？……對此，筆者一共設(shè)計(jì)了三個數(shù)學(xué)活動。第一個數(shù)學(xué)活動是“怎樣用一張紙撕出一個愛心”。學(xué)生在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)折痕起到至關(guān)重要的作用，只要畫出一側(cè)圖案就能得出一個完美的愛心，于是對“軸”“對稱”有了豐富的感性認(rèn)識。第二個數(shù)學(xué)活動是“想一想，它們都是軸對稱圖形嗎？”，展示各種平面圖形，要求學(xué)生在觀察、猜想、操作、驗(yàn)證后獲得批判性的理解。第三個數(shù)學(xué)活動是“創(chuàng)造軸對稱”，先通過黑體字“平”和“朋”強(qiáng)化學(xué)生對軸對稱概念的理解；再要求學(xué)生設(shè)計(jì)各種與軸對稱有關(guān)的圖案、玩具、工具，學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力由此得到了自由生長；最后展示享譽(yù)世界的中國古典建筑、京劇臉譜、剪紙藝術(shù)等，涵養(yǎng)學(xué)生的文化自信。

值得注意的是，不是所有的數(shù)學(xué)知識都需要學(xué)生親自體驗(yàn)其發(fā)生和發(fā)展過程。讓學(xué)生探求“親知”，是針對當(dāng)下學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)不完整而言的。“完整地學(xué)”倡導(dǎo)不同學(xué)習(xí)方式的優(yōu)勢互補(bǔ)，用高質(zhì)量的“進(jìn)階式”課堂學(xué)習(xí)支撐學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的長程發(fā)展，為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)賦能。

3.“話題式”作業(yè)與測試：學(xué)業(yè)評價的創(chuàng)新式旨趣

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是為將來的學(xué)習(xí)和生活打基礎(chǔ)，它應(yīng)該帶給學(xué)生美好的童年記憶。“話題式”學(xué)業(yè)評價是“完整地學(xué)”教學(xué)主張的一個創(chuàng)新舉措，能讓學(xué)生在一個個洋溢著數(shù)學(xué)味和人文氣息的話題中正確認(rèn)識自我價值。

其一，設(shè)計(jì)“話題式”作業(yè)，賞析學(xué)生的思維藝術(shù)品。

如果有一份數(shù)學(xué)作業(yè)，答案封閉單一，作業(yè)評價只有冷冰冰的“√”“×”“訂正”，那么這份數(shù)學(xué)作業(yè)是不完善的。作業(yè)承載著育人功能，“話題式”作業(yè)就是一個“思維在場”的對話，它以一個開放性、挑戰(zhàn)性的話題作為題干，吸引學(xué)生主動探究并且用喜歡的方式（文字、算式、圖表、實(shí)驗(yàn)、表演等）將自我理解表達(dá)出來，凸顯個性與創(chuàng)造，既讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)有趣又有用，又滲透了德育。圖2 就呈現(xiàn)了“話題式”作業(yè)設(shè)計(jì)的整體布局，彰顯了數(shù)學(xué)作業(yè)的育人價值。

圖2

例如，（三年級下冊“認(rèn)識分?jǐn)?shù)（二）”單元的課后作業(yè)）尋找丟失的鉛筆：小馬虎不小心丟了一些鉛筆。如圖3所示，盒子里的鉛筆數(shù)是總數(shù)的，所有長鉛筆的支數(shù)是總數(shù)的。小馬虎說：“我記得丟的那3 支鉛筆都是短的。”他說的是真的嗎？資料顯示，一支木質(zhì)鉛筆大約需要消耗3 克的木材。你想對小馬虎說什么？

圖3

“話題式”作業(yè)的空間很大，而“尋找丟失的鉛筆”是學(xué)生所熟悉的情境，集數(shù)學(xué)的計(jì)算、語文的表達(dá)、品德的思考于一體。首先，推測小馬虎說的話是不是真的，就能引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察“丟失鉛筆”這個生活事件，用數(shù)學(xué)的思維思考丟失鉛筆的數(shù)量及其長度。其次，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，“你想對小馬虎說什么”這個話題滲透了節(jié)約資源的環(huán)保意識。數(shù)學(xué)使人聰明，更教人求真、至善，這樣的作業(yè)是有靈魂的，是有力量的。

其二，創(chuàng)新“話題式”測試，提升超越課堂的真學(xué)力。

傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)紙筆測驗(yàn)給學(xué)生的印象是填空、計(jì)算、選擇、操作、解決實(shí)際問題，冰冷而枯燥。這樣的測試很難測評學(xué)生“真正的學(xué)力”，因?yàn)榭坑洃浟χ蔚膽?yīng)試技巧再熟練，也是難以獲得持續(xù)的學(xué)習(xí)力的。要培育核心素養(yǎng)，重要的不是“記憶”與“再現(xiàn)”，而是對現(xiàn)實(shí)世界的“現(xiàn)實(shí)”課題的“探究”或是“問題解決”。紐曼（F.M.Newmann）曾指出，所謂真正的學(xué)力，不是既有知識的“再現(xiàn)”，而是新知識的“生產(chǎn)”；不是知識的“記憶”，而是基于先行知識的“學(xué)術(shù)探究”；不是學(xué)校中封閉的知性成果，而是伴有“超越學(xué)校價值”的知性成果。“話題式”測試嘗試改變考試內(nèi)容的編排和測查方式，構(gòu)筑一個充滿希望、溫情與智慧的學(xué)習(xí)世界。

例如，三年級下學(xué)期的期末考試不再是以一張?jiān)嚲矶ǔ煽儯欠殖蓭状涡⊙芯俊?/p>

第一次小研究：吃一塹，長一智。請?jiān)谀愕腻e題中選擇兩道最有價值的題，附上思路分析和經(jīng)驗(yàn)分享。

第二次小研究：看生活，會應(yīng)用。圖4 是一個長方形花圃的示意圖，每個小方格的邊長代表2.5米，白色部分種鮮花，灰色部分鋪草坪。草坪的面積一共有多大？每平方米鮮花生長一周大約需要25 千克水，1 噸水夠這些鮮花生長一周嗎？如果把這個花圃分割成大小、形狀完全相同的四個區(qū)域，有幾種不同的規(guī)劃？你還能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

圖4

第三次小研究：我調(diào)查，有感受。教育部要求小學(xué)生睡眠時間應(yīng)達(dá)到10小時。請調(diào)查本校三年級學(xué)生每天睡眠的時間，制作統(tǒng)計(jì)表并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

第一次小研究是開放式的，可采用班級內(nèi)學(xué)生互評的批閱方法，發(fā)揮易錯題的最大效益——“看他人走過的路，讓我們一起走得更好”。第二次小研究安排學(xué)生在課堂上獨(dú)立完成，它包含長方形和正方形的面積、小數(shù)和分?jǐn)?shù)以及噸的認(rèn)識、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算、解決問題的策略等多個單元的知識，解決問題的空間很廣闊，方法很多元，不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生都能有個性化的展示。第三次小研究給了學(xué)生一個星期的時間，通過設(shè)計(jì)與真實(shí)生活關(guān)聯(lián)、學(xué)習(xí)主體在場以及反思數(shù)學(xué)知識價值的綜合實(shí)踐活動，進(jìn)一步走出現(xiàn)有學(xué)業(yè)評價體系中“只見習(xí)題不見人”的困境，激勵學(xué)生活潑潑、暖融融地走向“完整地學(xué)”。

總之，“完整地學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，從學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性建構(gòu)、認(rèn)知過程的全方位體驗(yàn)、學(xué)業(yè)評價的創(chuàng)新式旨趣等維度全面關(guān)注小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性和發(fā)展性，為核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人提供了一條有效路徑。