反思：小學數學課堂探究的深化策略

浙江玉環市環山小學狀元橋校區（317600） 陳金女

進入課程改革新時代，各學科都在實施探究性學習。探究性學習是一個不斷發現問題、提出問題、解決問題的過程。這個過程并不總是朝著正確的結論推進的，因此，需要學生經常質疑、反思學習過程中的材料、方法、思路等是否有利于問題解決，是否科學合理，從而不斷調整學習方法、策略，逐漸明確方向，探究出科學的結論。

質疑是反思的基礎，反思是質疑的深化，反思引發深層探究，探究帶來無限驚喜。自主探究策略多種多樣，下面筆者就淺談基于學生反思促進小學數學課堂深入探究的有效策略。

一、順利時反思是否完善

課堂上，在學生自主探究之前，教師通常會先布置探究任務，尤其是面對小學生時，教師常常會在探究材料、步驟等方面進行提示與提供幫助。大部分學生順著猜想或問題自由探究，都能順利得出初步結論。這些初步結論一般都是成立的，但也會出現不成立或不夠嚴密的情況。而學生常常會滿足于當前的探究結果，沉浸在喜悅中不再深入思考。教師要堅持引導學生從多角度聯想，反思結論的成立是否有特殊要求、有關數據是否有取值范圍等。

小學數學教材中，對于“積的變化規律”“商的變化規律”“分數的基本性質”“比例的基本性質”等規律性知識，通常是讓學生通過觀察自己舉出的眾多例子去發現、探究規律，這并不難，但是學生概括規律得出結論時，通常會考慮不周全，關注不到結論中數據的取值范圍。比如，總結用字母表示數、數量關系等的規律時，難以顧及未知數的取值范圍。引導學生在得出結論后繼續深入思考結論是否完善，可以培養學生思維的嚴密性、批判性，提高其數學素養。另外，在解決問題的探究中，也常常需要學生從不同角度去探究，并關注探究結論是否完善。

比如探究鋪地磚問題，見人教版三年級下冊教材第72 頁例8（如圖1）。學生主動探究，發現可以先求客廳面積，再求1 塊地磚面積，最后用大面積除以小面積得到地磚塊數。接著，在教師的引導下，他們得出第二種思路：“先用客廳的長和寬分別除以地磚邊長，算出每排每列各需要幾塊地磚，然后按每排有幾塊、一共有幾排算出總塊數。”由于學生比較喜歡第一種思路，教材又沒有突出第二種思路的特殊性與必要性，在后續的解決問題中，學生通常首選第一種思路，導致有些問題解答錯誤。如：“張叔叔家客廳長7.2 米、寬4 米，他準備用邊長為60 厘米的正方形方磚鋪地。需要準備多少塊這樣的方磚？”“用一張長30 厘米、寬8 厘米的長方形卡紙剪直角三角形，每個直角三角形的兩條直角邊長分別為10厘米和3厘米，最多能剪出多少個這樣的三角形？”要解決這兩個問題，第一種思路就不可取。因此，教師有必要在學生第一次學習時就幫助學生完善結論，理解第二種思路的特別之處。雖然兩種思路都能解決教材的例8，但是第二種思路對解這類問題具有普適性，第一種思路只有在數據合適，即大圖形的長、寬與小圖形的邊長正好存在倍數關系的時候才適用。教學時，教師可通過改編“做一做”，讓學生嘗試解決，從而發現用第一種思路有時難以解決實際問題，用第二種思路依然能解決問題，從而討論完善之前得出的結論，減少或避免今后解決此類問題時出錯。

圖1

經常在得出結論后進行質疑、反思結論是否完善，能讓學生逐漸養成習慣，不再滿足于順理成章的淺層探究，而是繼續開展深層次探究，得出更為科學完善的結論。

二、逆境時反思偏離原因

在自主探究的過程中，因為諸多原因，會出現探究不順利的情況。這時，教師是結束探究，采用直接講授的形式繼續教學，還是引導學生反思并繼續探究？這也是很有講究的事。如果遇到困難就結束探究，直接告知結論，無形中就會給學生傳遞一種當探究遇到困難時，最好的辦法就是等待告知的觀念。如果不給予指導，多數學生就會在迷茫中任時間流逝，這會大大降低課堂效率。因此，教師首先要引導學生反思，然后在弄清楚原因的基礎上有針對性地思考對策，繼續探究，直至成功。這樣既可以將探究推向深入探究，又可以培養學生迎難而上、多思勤思、想辦法克服困難的好習慣。

1.反思猜想，明確探究方向

當探究不順利，發現無法繼續證明猜想，或者找不到方法繼續探究的時候，要反思自己原先的想法是否有誤，方向錯了會南轅北轍，無法得出正確結論。

比如根據乘法分配律，探究形如“a÷b+a÷c”“a÷b+c÷b”這兩種除法算式有沒有規律的時候，學生很容易形成“a÷b+a÷c=a÷（b+c）”“a÷b+c÷b=（a+c）÷b”這樣的猜想，于是筆者讓學生驗證。學生舉例后發現猜想一無法證明，猜想二可以舉出很多例子證明是對的。這時，引導學生首先看看例子有沒有錯，沒有的話就得再想想這個猜想是不是錯了。學生要探究為什么猜想一錯誤、猜想二正確還是比較困難的。對此，筆者通過兩個問題幫助學生去理解感悟。“王老師和李老師各花了60 元錢買筆記本，王老師買了5元一本的筆記本，李老師買了6元一本的筆記本。兩位老師一共買了幾本筆記本？”“王老師帶了50 元錢，李老師帶了60 元錢，都買了5 元一本的筆記本，錢都正好花完。兩位老師一共買了幾本筆記本？”學生嘗試用不同方法解決這兩個問題時，直觀地發現第一個問題只有一種解法，第二個問題有兩種解法。人教版四年級下冊學習乘法分配律時，拓展到這種程度就行，以后學習分數乘除法時教師只需再稍微帶一帶，學生就能深刻地理解了。

2.反思證據，判斷材料正誤

探究時通常會有預先的想法或者猜想的結論，然后朝著自己認為的方向收集證據，有時候學生會在收集證據時因為粗心、考慮不周、舉例不足等原因，導致無法順利得出結論。反思探究為何出現偏差時，預想的結論還是跟原先的猜想一致，那么接下來就應該反思收集證據的過程及結果，反思材料來源是否合理、收集到的材料是否正確、材料與主題是否相關，以保證沒有人為錯誤。

比如學習循環小數時，探究一個數除以3的商的規律時，學生沒有困難，如1÷3=0.333…，2÷3=0.666…，4÷3=1.333…。但探究一個數除以7 的商有什么規律時，就有很多學生出現困難。問題就在于很多學生在計算一個數除以7 的算式的結果時，缺少耐心，計算不正確。根據這些不完全正確的結果，會以為一個數除以7 的商是沒有規律的，探究失敗。可見，關注收集到的數據的正確性，及時發現并更正錯誤材料極其重要，這樣才能順利推進探究。

3.反思方法，優化探究方案

有時候還會因為探究方法使用不當，導致難以得出正確結論。當探究不能順利推進的時候，除了反思猜想、反思證據，還要反思探究方案是否合理。

比如學習平行四邊形的面積時，學生自主探究，各自在方格圖（每格邊長為1 厘米）上畫一個平行四邊形，把轉化過程和面積大小通過畫圖、語言描述和算式表示出來。大部分學生畫的平行四邊形都能通過切割拼補，轉化為長方形，并順利推導出面積公式。但有少數學生，聽到教師說畫一個自己喜歡的特別的平行四邊形來研究，就故意畫得很特別（如圖2），結果怎么都轉化不成學過的圖形，影響了自己的推導。教師引導這些學生另畫一個平行四邊形進行探究，然后把他們原來畫的平行四邊形收集過來。在各小組學生得出平行四邊形的面積公式，匯報探究結果后，展示給全班同學，并提問引發學生深入探究：“是不是所有的平行四邊形都可以轉化成長方形來計算面積呢？看，有的小組就發現了這樣的平行四邊形無法轉化。”學生最后發現，按一般的轉化方法，沿方格線上的高剪開無法轉化，換個方向剪開，轉化成的長方形又無法根據每格邊長1 厘米知道長方形的長和寬的長度。如果把這個特別的平行四邊形分割成5 個小的平行四邊形（如圖3），然后把每個小平行四邊形轉化成長方形，再把這5 個長方形拼成大的長方形，就能證明平行四邊形的面積等于底乘高，可以通過格子邊長來計算面積。

圖2

圖3

這樣稍作優化，重新規劃探究方案后，不僅讓無法順利探究的小組實現了真正的探究，也帶領全班學生進行了深入探究，通過對特殊情況的共同研討，讓平行四邊形面積公式的推導過程更有說服力，更深入學生心中。

三、定論時反思可否拓展

很多時候，小學課堂的探究活動采用的是不完全歸納法。通常是觀察一些例子，發現規律，然后概括出結論。有時，這些結論只代表已經舉出例子的一部分，范圍上或者層次上其實可以拓展。因此，學生主動探究并得出結論后，仍需要教師及時引領，反思結論是否可以拓展，思考所得的結論除了適用于提到的方面，還可能在哪些方面適用，等等。這種意識對學生今后初中、高中的數學學習也是非常有幫助的，能培養學生思維的深刻性。

比如五年級下冊“因數和倍數”練習二的思考題：“14、21 都是7 的倍數，14 與21 的和是7 的倍數嗎？18、27 都是9 的倍數，18 與27 的和是9 的倍數嗎？你有什么發現？”如果僅僅是找答案，這道思考題一點也不難，把它設計成探究題，會更有意義：“如果a是c的倍數，b是c的倍數，你有什么猜想？”學生的想象力十分豐富，很快就有人回答：“a和b的和是c的倍數，a和b的差也是c的倍數。”教師問：“為什么？你能證明嗎？”全班學生就舉出很多例子來證明這個猜想是對的。用語言概括結論為：“兩個數都是同一個數的倍數時，這兩個數的和或差也是這個數的倍數。”接著，教師設計了兩道練習題，讓學生運用這個結論解決。至此，練習二的思考題解決了，學生也很滿足。教師再次引導：“對這個結論，你們還有什么思考嗎？兩個數是這樣，三個數、四個數呢？和、差是這樣，積和商又會怎樣呢？”學生想不到的，教師就引導學生想。學生發現，無論有幾個數，只要這幾個數都是同一個數的倍數，它們的和或差都是這個數的倍數，積也是這個數的倍數，商卻不一定。教師又問：“‘如果幾個數的和、差是一個數的倍數，那么這幾個數也一定是這個數的倍數’，這句話對嗎？”另外，除了舉例驗證，教師還引導學生從乘法分配律的角度進行邏輯推理來驗證這個結論。

這樣設計，這道思考題的思維分量便明顯增加。學生經歷“猜想—驗證—定論—應用—拓展”的過程，在小結時又回顧反思，長此以往，就會給學生加深“思考無極限”的印象，既能訓練批判性思維，又能提高思維層次。

反思無時不在，無處不在，大到人生經歷，小到一題一字。反思可以讓數學課堂探究更加深入，提高學習效率，發展學生核心素養。