考慮夾持效應的滑移式危巖三維穩定性計算方法

鄒 鵬，王思奇，羅 剛，趙永杰，李榮發

（1.西南交通大學地球科學與環境工程學院，四川成都 614202；2.四川省國土空間生態修復與地質災害防治研究院，四川成都 610084）

引言

危巖體是受結構面圍限和空間力系作用的三維地質體［1-3］。當危巖體兩側存在夾持作用以及結構面存在鎖固段（巖橋）時，傳統二維穩定性方法的計算結果存在一定的誤差。因此，可采用三維穩定性計算方法以更真實地反應其穩定性狀態。

國內外學者就邊坡三維穩定性計算方法開展了大量研究。Hovland［4］最早提出運用三維條分法對邊坡進行三維穩定性分析。Duncan［5］總結了24篇文獻的邊坡三維穩定計算方法，并對其計算方法和基本假定進行了詳細描述。現有方法可以大概分為以下6種：（1）三維Bishop法［6-8］，滿足滑坡條柱Y方向靜力和轉動力矩平衡；（2）三維Spencer法［9-11］，滿足滑坡條柱3個方向靜力和轉動力矩平衡；（3）三維Janbu法［12-13］，滿足滑坡條柱3個方向靜力和轉動力矩平衡；（4）三維Sarmar法［14-15］，滿足所有條塊分界面和底滑面均達到剪切極限；（5）三維剩余推力法［16］，滿足滑坡條柱3個方向滿足靜力平衡；（6）嚴格三維極限平衡法［17-18］，滿足滑坡條柱3個方向滿足靜力平衡。這些計算方法大多是條分法的三維拓展，即條柱法。由于條柱間未知作用力數量較多，為了使問題靜定可解，條柱法引入不同的基本假定［9］，這些基本假定由于其不同的特性各有優、缺點［19］。此外，不是所有條柱法都滿足6個平衡方程，即便是滿足6個平衡方程的嚴格三維極限平衡法［17］，其穩定性系數的解也并不唯一。對于巖質邊坡被多組節理切割的情況，條柱法計算過程十分復雜。因此，條柱法的應用仍存在一定爭議。除條柱法外，還存在如概率分析法及數值模型分析等方法［20-22］，但這些方法均存在其不同的優缺點，且需進行復雜的計算。

文中基于空間解析幾何學和極限平衡法，同時可考慮各結構面上所有力對危巖體的影響，提出了一種可考慮周圍巖體夾持作用的滑移式危巖三維穩定性計算方法，為危巖體穩定性評價提供科學的計算方法。

1 計算模型及理論推導

1.1 規范方法

滑移式危巖體是一種常見的地質災害，我國規范中一般采用將三維問題簡化為二維問題的方式計算其穩定性。而對于楔形體滑塊《YS/T 5230-2019邊坡工程勘查規范》規定：對于巖質邊坡被多組節理切割的情況，塊體穩定性應根據破壞的邊界條件，按空間問題進行分析［23］。比如，由兩組結構面切割形成潛在滑移楔形體（圖1），其可能沿結構面交線下滑，邊坡穩定系數按下式計算：

式中：NA、NB為潛在滑移體所受重力作用于A、B結構面上的法向分力（kN）；TAB為潛在滑移體所受重力在組合交線上的切向分力（kN）；TA、TB為A、B結構面的面積（m2）；cA、cB為A、B構面的黏聚力（kPa）；φA、φB為A、B結構面上的內摩擦角（°）。

楔形體穩定性計算方法由于其計算過程簡單而得到了廣泛的應用。但由于其只能計算天然和地震工況，無法計算降雨工況下楔形體的穩定性系數，所以該方法具有一定局限性。

當巖質邊坡為斜向坡時（即底滑面傾向與坡面傾向斜交），危巖體存在視傾向滑動可能［22］，危巖體將受到兩側巖體夾持作用。此外，背斜核部和逆沖斷層帶處的危巖體也可能受到兩側巖體夾持作用。根據危巖體空間幾何形狀，危巖體可分為3種情況：上大下小模型（圖2（a））、上小下大模型（圖2（b））和上下等大模型（圖2（c））。文中主要介紹上大下小模型的具體計算過程，其余兩種類型可根據該過程依次類推。

圖1 由兩組結構面切割形成潛在滑移楔形體Fig.1 Potential sliding block controlled by two sets of structural planes

圖2 危巖體模型Fig.2 Models of unstable rock mass

1.2 危巖體幾何模型

如圖3所示上大下小模型危巖體，假定危巖體受3組結構面切割而成，危巖體底部緩傾結構面傾角為θ，兩側陡傾結構面傾角為β1和β2。鎖固段（巖橋）由面BCPGF構成，裂隙面由面ABFE、面ABCD和面EFGH構成。面ADHE平行于面BCPGF并與水平面成θ角；線段AE、CG、DH和BF均平行于水平面；過BF中點O作垂線交CG于P點。對各結構面建立局部坐標系（表1）。

圖3 滑移式危巖體三維幾何模型Fig.3 Three-dimensional geometric model of unstable rock mass with a sliding plane

表1 結構面空間幾何形態參數Table 1 Spatial geometry parameters of structural planes

1.3 基本假定

考慮危巖體最不利條件，該模型的基本假設有：

（1）鎖固段巖石抗剪強度取巖石峰值粘聚力cf和峰值內摩擦角φf，裂隙面抗剪強度取巖石殘余內摩擦角φr；

（2）面BCPGF、面EFGH、面ABCD、面ABFE均達到極限平衡狀態，滿足Mohr-Coulomb準則；

（3）由于兩側夾持效應，忽略側面和底面的轉動作用，危巖體只沿底滑面的合力方向滑動；

（4）假定結構面ABCD所受力的作用點為AB邊和BC邊中垂線的交點，結構面EFGH所受力的作用點為FE邊和FG邊中垂線的交點。

1.4 空間向量的等效變換

空間向量的等效變換可以看作是坐標系之間的變換，即將坐標系Φ1、Φ2先進行轉軸變換再進行移軸變換。該過程中所求得公式即為空間向量的變換公式。

（1）空間坐標系的轉軸變換

為了將坐標系Φ1中的向量變換至坐標系Φ0，需要補充2個輔助坐標系Φ11和Φ12（圖4）。坐標系Φ11（O1-x11y11z11）為坐標系Φ1繞x1軸順時針旋轉β1-π/2角度得到的坐標系（圖4（a）），坐標系Φ12（O1-x12y12z12）為坐標系Φ11繞z11軸逆時針旋轉δ1角度得到的坐標系（圖4（b））。坐標系Φ1和坐標系Φ11各坐標軸夾角，如表2所示，坐標系Φ11和坐標系Φ12中各坐標軸夾角，如表3所示。

圖4 坐標系Φ1、Φ11和Φ12空間幾何關系Fig.4 Spatial geometric relationship among the coordinate systems Φ1，Φ11 and Φ12

表2 坐標系Φ1坐標軸與坐標系Φ11坐標軸夾角Table 2 Angles between coordinate systems Φ1 and Φ11

表3 坐標系Φ11坐標軸與坐標系Φ12坐標軸夾角Table 3 Angles between coordinate systems Φ11 and Φ12

由表2可得從坐標系Φ1旋轉至坐標系Φ11的旋轉矩陣為：

由表3可得從坐標系Φ11旋轉至坐標系Φ12的旋轉矩陣為：

所以將坐標系Φ1中向量旋轉至與坐標系Φ0的旋轉矩陣為：

同理可得，將坐標系Φ2中向量旋轉至與坐標系Φ0坐標軸的旋轉矩陣為：

（2）空間坐標系的移軸變換

根據空間解析幾何，空間坐標系的移軸變換公式為：

式中：x、y、z為舊坐標系中坐標值；x′、y′、z′為新坐標系中坐標值；x0、y0、z0為新坐標系坐標原點在舊坐標系中的坐標值。

根據移軸式（6）求得O0點在坐標系Φ12和坐標系Φ22中的坐標值以及平移向量（表4）。

（3）空間向量的變換公式

由式（5）和式（6）可推導出空間向量的變換公式為：

表4 O0在坐標系Φ12和Φ22中坐標及平移向量Table 4 Coordinates of point O0 in coordinate systems Φ12 and Φ22 and translation vectors

1.5 天然工況下危巖體穩定性計算

天然工況下，只考慮重力作用，對危巖體進行切割，將重力分配到各結構面對應的局部坐標系Φ1和Φ2，進行受力分析并用空間向量表示（圖3），再將所有空間向量變換至主滑面坐標系Φ0。基于Mohr-Coulomb準則，計算主滑面上的抗滑力和下滑力，求出穩定性系數Fs。具體計算過程如下：

（1）計算坐標系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的力

多面體ABCDEFGH的重力W0在坐標系Φ0中向量為W′0；

結構面ABFE的抗滑力F0，其大小為：

式中：NABFE為潛在滑動體重力在結構面ABFE法向的分量；φ0為結構面ABFE的內摩擦角；c0為結構面ABFE的內聚力；A0為結構面ABFE的面積。

其在坐標系Φ0中向量為F′0。

（2）計算坐標系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的力

結構面ABCD的抗滑力F1，其大小為：

式中：NABCD為潛在滑動體重力在結構面ABCD法向的分量；φ1為結構面ABCD的內摩擦角；c1為結構面ABCD的內聚力；A1為結構面ABCD的面積。

其在坐標系Φ1中向量為

式中：a、b為結構面ABCD的力作用點的坐標。

將空間向量F1變換至坐標系Φ0：

（3）計算坐標系Φ（2O2-x2y2z2）中所受的力

同上可得，將結構面EFHG的抗滑力F2變換至坐標系Φ0的變換公式為：

（4）空間滑移式危巖體穩定性計算

x0軸方向合力Fx0為：

y0軸方向合力Fy0為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩定性系數Fs為：

滑動方向與x0軸夾角δ為：

1.6 暴雨工況下危巖體的穩定性計算

暴雨工況下，考慮最危險情況（后側與兩側結構面全部被水充滿），結構面抗剪能力完全喪失，只剩下靜水壓力作用。巖體的重度取飽和重度，重力的計算過程與1.5節相同。靜水壓力具體計算過程如下：

（1）坐標系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的靜水壓力

結構面ABFE上靜水壓力Fw0在坐標系Φ0中的向量為F′w0。

（2）坐標系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的靜水壓力

結構面ABCD上的靜水壓力Fw1在坐標系Φ1中向量為Fw1。

將空間向量Fw1變換至坐標系Φ0：

（3）坐標系Φ2（O2-x2y2z2）中所受的靜水壓力

結構面EFGH上的水壓力Fw2在坐標系Φ2中向量為Fw2。

將空間向量Fw2變換至坐標系Φ0：

（4）空間滑移式危巖體穩定性計算

x0軸方向Fx0合力為：

y0軸方向Fy0合力為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩定性系數Fs與滑動偏轉角δ同1.5節。

1.7 地震工況下危巖體的穩定性計算

地震工況下，考慮豎向和水平向的地震慣性力。計算過程與1.5節相同。根據《建筑抗震設計規范（GB 50011-2010）》［24］，地震慣性力計算公式如下：

地震水平慣性力Fhi：

地震豎直慣性力Fvi：

式中：a1為水平地震影響系數值，按表5取值；avmax為豎向地震影響系數的最大值，取水平地震影響系數最大值的65%；Geq為總重力荷載。

表5 水平地震影響系數最大值Table 5 The maximum value of horizontal seismic influence coefficient

（1）坐標系Φ0（O0-x0y0z0）中所受的力

由于水平和豎向地震慣性力的作用，潛在滑動體的重力應減去豎向地震力部分，則：

水平慣性力Fh0=a1GABCDEFGH，在坐標系Φ0中向量為Fh0。

（2）坐標系Φ1（O1-x1y1z1）中所受的力

由于豎向地震慣性力的作用，該坐標系內的抗滑力F1=NABCDtanφ1+c1A1，其在坐標系Φ1中向量為F1。

將空間向量F1變換至坐標系Φ0：

（3）坐標系Φ2（O2-x2y2z2）中所受的力

該坐標系內計算方法同坐標系Φ1，可得到坐標系Φ0內空間向量F2′。

（4）空間滑移式危巖體穩定性計算

x0軸方向合力Fx0為：

y0軸方向合力Fy0為：

下滑力T為：

抗滑力R為：

穩定性系數Fs與滑動偏轉角δ同1.5節。

2 算例

陳祖煜等［9］曾在其發表文章中對楔形體問題進行計算，其算例考察一個如圖5所示的楔形體，其幾何形體和物理參數如表6所示，其中楔形體坡高64.89 m，巖石容重26 kN/m3。計算左、右結構面強度參數相同和不同2種工況。

圖5 楔形體穩定性分析算例Fig.5 A stability analysis example of wedge sliding body

表6 楔形體的幾何、物理參數Table 6 Parameters of geometry and geotechnical properties of wedge sliding body

當兩側結構面參數一致時，陳祖煜算法和規范算法算出的安全系數均為F=1.55，文中算法得出的安全系數為1.52。當兩側結構面參數不一致時，陳祖煜算法和規范算法算出的安全系數均為F=1.18，文中算法得出的安全系數為1.16。由此可見，對于給出的算例，文中計算方法的結果與規范算法和陳祖煜算法較為接近，證明文中算法的有效性和合理性。

3 結論

（1）針對滑移式危巖體，采用空間解析幾何和極限平衡法，提出了一種可考慮危巖體兩側夾持效應的危巖三維穩定性計算方法。首先對危巖體圍限的結構面建立各自的坐標系，計算各坐標系的空間力系，通過矢量變換，求得主滑面的抗滑力和下滑力，最終得到危巖體整體穩定性系數。相較于二維方法，更加符合危巖體實際受力條件。

（2）危巖體兩側夾持作用和巖橋（鎖固段）抗剪作用對危巖體穩定性有利。通常，當區域最大主應力與邊坡走向一致，且巖體結構面緊閉（張開度很小），可考慮側面的夾持效應。當結構面不連續，存在巖橋時，可對結構面進行強度參數分區設置。

（3）經典的楔形體（危巖）穩定計算方法，假設危巖體沿交線方向滑動。首先將重力分解為垂直交線和平行交線的分量，然后將垂直分量投影至兩個滑動面的法線方向。其實質即為：將滑動體自重分別分配到兩個滑動面。文中提出方法經退化后與該計算方法一致，可認為是本方法的一種特例。