改進實驗素材，促進起點整合
——由線上、線下“圓錐體積公式推導(dǎo)”教學(xué)引發(fā)的思考

江蘇南京市櫻花小學(xué)（210042） 林 超

在“停課不停學(xué)”期間，教學(xué)“圓錐體積公式推導(dǎo)”之前，筆者通過平臺對學(xué)生提交的研學(xué)單進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)的問題與往屆高度一致：第一，具有一定實驗精神的學(xué)生對于教材中為什么選擇等底等高的圓柱和圓錐進行實驗是存疑的，他們用文字將此疑惑清楚地表述了出來；第二，在具體的應(yīng)用中，出現(xiàn)了15 例漏乘的錯誤，這實質(zhì)上也是對“為什么從等底等高的圓柱和圓錐開始研究”理解上的缺失。由于學(xué)生居家學(xué)習(xí)，對于這兩個生成性的問題，筆者無法做到及時溝通，但在較充分了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上，筆者對“圓錐體積公式推導(dǎo)”的教學(xué)有了新的靈感。

【教學(xué)片段1】（線上）來自于學(xué)生的質(zhì)疑：“圓柱、圓錐等底等高？這么巧啊！”

關(guān)于圓錐體積的證明方法，不同版本的教材都較一致地給出了相同的實驗材料“一組等底等高的圓柱和圓錐”，以及相同的實驗方法“在圓錐形容器里裝滿水或沙子，再倒入與它等底等高的圓柱形容器中，從而發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的”。

在做接受誤差”的心理鋪墊下，學(xué)生在家里操作這樣的實驗，確實簡單易行。因此，筆者通過平臺推送了研學(xué)單：

仔細(xì)研究學(xué)生的研學(xué)單后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的實驗發(fā)現(xiàn)集中在以下兩方面：

第一，按照實驗要求，在圓錐形容器里裝滿水，然后往圓柱形容器里倒3 次，差不多能倒?jié)M，說明圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的。因此，圓錐的體積=底面積×高×。第二，在圓柱形容器里盛滿水，然后倒入與它等底等高的圓錐形容器，倒了3 次后，圓柱形杯子里還剩一點，這點水可忽略不計，說明圓柱的體積是和它等底等高的圓錐體積的3 倍。因此，圓錐的體積=底面積×高×。

雖然學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和教材中的知識一模一樣，但并沒有讓筆者感受到他們發(fā)現(xiàn)規(guī)律時的驚喜和實驗探索時的熱情，筆者甚至能想象到，屏幕后的他們在實驗時漠然的表情。

在當(dāng)晚的輔導(dǎo)課上，大部分學(xué)生表示，他們通過預(yù)習(xí)早已知道了圓錐體積的計算公式，對實驗過程也很清楚，并能體會到誤差對實驗結(jié)果造成的影響。原來學(xué)生已經(jīng)有了這樣的見識，那這樣的實驗還有必要操作嗎？

這時，一個聲音在班級群中響起：“老師，為什么課本上提供的材料是等底等高的圓柱、圓錐各一個？怎么這么巧？”“我覺得這樣安排是為了容易實驗、好作比較。”“不用做都知道圓錐體積是圓柱體積的時，它們一定等底等高。”“還有，只有等底等高的圓錐體積是圓柱體積的。”“這好像不對吧？”……不一會兒，學(xué)生就在群里議論開了。

【教學(xué)片段2】（線下）來自學(xué)生的問題：“這是學(xué)過的？感覺有點熟悉又有點陌生！”

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，是以“連點成線”的方式在序列中逐步建構(gòu)的，需要學(xué)生將零散的知識點按邏輯聯(lián)結(jié)成線，新知自會從具有關(guān)聯(lián)的知識上“生長”出來，教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生將其納入已有的知識體系之中。而新知生成的起點，也就是學(xué)生的現(xiàn)實起點。如奧蘇泊爾所說：“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的原有知識進行教學(xué)。”顯然，這需要教師了解學(xué)生的現(xiàn)實起點，在邏輯起點與現(xiàn)實起點的勾連中尋求突破，在整合中重構(gòu)。

基于以上的思考，筆者改進了線上的教學(xué)設(shè)計，在復(fù)學(xué)后的第二天進行了教學(xué)嘗試。

首先，筆者在課堂上出示了如圖2 所示的研學(xué)單，學(xué)生經(jīng)過思考、討論、展示、補充后，得到了如圖3所示的四種情況。

接著，筆者提問：“結(jié)合這四組圖形，你認(rèn)為哪組圓錐和圓柱之間的體積關(guān)系是不變的？”

學(xué)生1 答：“等底等高的那組不變。因為圓錐的底和高就是原來圓柱的底和高，無論怎樣削，底和高已經(jīng)確定了，形狀不會發(fā)生改變，那么圓錐的體積也就不會改變，因此它們之間的體積關(guān)系不會變。”

學(xué)生2 答：“第四組的底和高同時發(fā)生變化，形狀變了，體積也變了。它是四組中最難確定的。”

學(xué)生3 答：“中間兩組有共同點，都是一個量不變，另一個量發(fā)生變化，體積也隨之發(fā)生變化，因此它們體積之間的關(guān)系無法確定。”

筆者追問道：“那我們在研究圓錐體積時，應(yīng)選擇什么樣的圓柱和圓錐？”此時，學(xué)生的選擇都聚焦于“等底等高”。有學(xué)生提出：“這個問題和課本上的實驗好像，感覺既熟悉又陌生。課本上是要我們估計圓錐的體積是圓柱的幾分之幾，是從圓錐到圓柱，而老師的問題是從圓柱到圓錐。”

【教學(xué)片段3】（線下）來自于學(xué)生的問題：“這和課本上不一樣？水居然不夠用！”

數(shù)學(xué)實驗是一種基于問題解決的物化材料操作，而筆者設(shè)計的第一個研學(xué)單（如圖1）的目的是希望學(xué)生通過實驗驗證“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的”，因此實驗本身具有較強的探究性。在線上教學(xué)時，學(xué)生在慣性思維下“波瀾不驚”地學(xué)習(xí)著，更有甚者完全沒有實驗，全程脫離現(xiàn)實進行了“數(shù)學(xué)思考”。對此，筆者在線下的實驗環(huán)節(jié)中，提供給每個小組的材料除了都有一組等底等高的圓柱、圓錐形容器，只給了少許水。學(xué)生在倒水實驗時，很快就發(fā)現(xiàn)了問題：

組1：“老師，水不夠用！我們組的水只夠裝滿圓錐形容器，課本上可是能倒?jié)M圓柱形容器的！”

組2：“我們組的水只夠倒?jié)M2次圓錐形容器。”

筆者：“看來水不太夠，那該怎么辦？”

幾分鐘后，就有學(xué)生興奮地喊道：“這點水也夠做實驗！”

組3：“我們組只有能倒?jié)M一個圓錐形容器的水。我們就把圓錐形容器里的水倒進圓柱形容器，然后用尺子量圓柱形容器中水的高度，忽略誤差，發(fā)現(xiàn)此時水的高度正好是圓柱高度的。這說明圓錐體積是圓柱體積的。”組4：“我們組向其他組借了一個圓錐形容器。我們組的水能倒?jié)M兩個圓錐形容器，于是我們把兩個圓錐形容器里的水都倒入了圓柱形容器，此時圓柱形容器并沒有滿。我們把圓錐形容器頂點向下，小心地把它壓進了圓柱形容器里，發(fā)現(xiàn)圓柱形容器里的水在慢慢地升高，當(dāng)圓錐形容器的頂點觸碰到圓柱形容器的底面時，水面正好與圓錐形容器底面相平。這也可以證明圓錐體積是圓柱體積的。”

筆者：“你們的想法都非常有創(chuàng)意，現(xiàn)在你們有什么想說的？”

……

【教學(xué)反思】

在這次實踐中，基于邏輯起點的線上課和基于現(xiàn)實起點的線下課，對于筆者而言無異于“同課異構(gòu)”。要從已成習(xí)慣的邏輯起點調(diào)整到選擇現(xiàn)實起點，不僅對學(xué)生來說困難重重，對教師整合學(xué)習(xí)資源的能力更是巨大挑戰(zhàn)。這是對促進學(xué)習(xí)起點融合的有益嘗試。

1.來自于教學(xué)片段1 的思考：整體把握邏輯起點和現(xiàn)實起點，使實驗更具有思維含量

“等底等高的圓柱、圓錐各一個？怎么這么巧？”原來學(xué)生并不是沒有思考，就這一句簡簡單單的提問，便指出了教材中實驗素材的特征，而這一提問源自學(xué)生的邏輯起點。

俞正強老師指出：“學(xué)習(xí)起點可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容所必須借助的知識準(zhǔn)備，為了便于表述，可分為學(xué)習(xí)的邏輯起點和學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點。”這里提及的邏輯起點是指學(xué)生按照教材學(xué)習(xí)的進度應(yīng)該具有的知識準(zhǔn)備。現(xiàn)實起點是指學(xué)生已具有的多于教材所提供的知識準(zhǔn)備，即學(xué)生實際的學(xué)習(xí)水平和潛在經(jīng)驗。

邏輯起點是基礎(chǔ)的、顯性的、靜態(tài)的。學(xué)生需要在指導(dǎo)下對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行具體的梳理、串聯(lián)、整合，若是缺乏與教師的有效交流，學(xué)生就無法將松散的知識點聯(lián)結(jié)成有序的知識塊，故而會對單一的實驗操作心存輕視。在對研學(xué)單的分析中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念和對知識結(jié)構(gòu)的理解存在偏差，這是因為學(xué)生在運用教材直接呈現(xiàn)的等底等高的圓柱、圓錐進行實驗后直接得出“圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積的”，未曾經(jīng)歷知識建構(gòu)的過程，從而生成“假命題”。

因此，教師在教學(xué)中需要充分考慮到圓錐、圓柱的底和高的幾種特殊關(guān)系，從素材的選擇上便開始重視學(xué)生探究過程的完整性，在尊重學(xué)生邏輯起點的同時，也要考慮現(xiàn)實起點，從而求同求通，突出本質(zhì)，使實驗具有更高的思維含量。

2.來自于教學(xué)片段2 的思考：依托教材尋找學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點，讓學(xué)生體會實驗素材選擇的重要性

圓柱、圓錐的等底等高本是一種特殊現(xiàn)象，正因為底和高這兩個量分別相等，所以圓柱和圓錐的體積才存在不變的倍比關(guān)系。學(xué)生從圓柱中發(fā)現(xiàn)了與圓柱等底等高的圓錐的存在，而不是通過直接呈現(xiàn)的方式，將等底等高的圓柱、圓錐盡收眼底。這個細(xì)節(jié)的調(diào)整，促使學(xué)生能在眾多的素材中通過分析，合理選出有利于探究的實驗素材。

因為學(xué)生在居家學(xué)習(xí)期間已經(jīng)學(xué)過這節(jié)課的內(nèi)容，也就是他們對教材的設(shè)計非常清楚，線下教學(xué)時如果再次重復(fù)，“曾經(jīng)的熟悉”難免會成為“今天的無奈”，而隨著教學(xué)的再次進行，也很難會形成基于不同學(xué)生認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的新起點。更為重要的是，數(shù)學(xué)實驗的目的是讓學(xué)生進入知識的生成情境，經(jīng)歷知識由不確定到確定的漸進過程，如果教學(xué)思路不調(diào)整，實施的實驗必然是無效的。那么，對于熟悉的、具體的實驗內(nèi)容，如何增添“陌生感”？合理選擇或是“再創(chuàng)造”實驗素材，就可形成一個高于邏輯起點的學(xué)習(xí)平臺，即現(xiàn)實起點。

當(dāng)學(xué)生能體會從圓錐到圓柱和從圓柱到圓錐的不同后，也就能整體把握一個知識塊的“前世”與“今生”了。雖是實驗素材的小小調(diào)整，但也體現(xiàn)了知識與知識的相連、知識與實驗活動的相連，更為后續(xù)的實驗探究做好了鋪墊。

3.來自于教學(xué)片段3 的思考：預(yù)設(shè)問題，驅(qū)動學(xué)生選擇現(xiàn)實起點，從而主動實驗

教材中提供的實驗素材都是從學(xué)生的邏輯起點出發(fā)的，設(shè)計的實驗步驟具有條理性、科學(xué)性和可操作性，因此，學(xué)生的操作可以在教師的提問引領(lǐng)下，或是在自發(fā)生成的問題驅(qū)動下按預(yù)設(shè)展開。但在筆者將實驗素材稍作調(diào)整后，學(xué)生能很快地轉(zhuǎn)換視角思考問題，可見他們的實驗活動并不完全指向研究問題的結(jié)果，當(dāng)現(xiàn)有素材在目標(biāo)與問題之間建立起對應(yīng)關(guān)系后，他們就能創(chuàng)造出不同的實驗方法。學(xué)生最終選擇了基于自身認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的現(xiàn)實起點，而這正蘊含了創(chuàng)造性的發(fā)散思維。

綜上，學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點是動態(tài)的、開放的、本真的，所以當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)水不夠用時才會產(chǎn)生疑問。因此，選擇從學(xué)生的現(xiàn)實起點出發(fā)，則必須在學(xué)生已具備的邏輯起點上改造教材提供的實驗素材，這樣的實驗過程更具生成性。此時，學(xué)生原有的經(jīng)驗可能會讓他們產(chǎn)生不確定感，但卻能真正將學(xué)生推到前端，因為提供給他們的實驗素材具有挑戰(zhàn)性（能帶來認(rèn)知沖突）、探究問題的實驗操作具有啟發(fā)性（能引發(fā)數(shù)學(xué)思考）和由此得出的實驗結(jié)論具有可接受性（處于“最近發(fā)展區(qū)”），這三者合力作用，就能使學(xué)生在問題的驅(qū)動下自覺從現(xiàn)實起點出發(fā)實施操作。

每一個生成的新起點不僅是前一個起點的“果”，還是下一個起點的“苗”。教師在整合學(xué)生的“邏輯”與“現(xiàn)實”的同時，也需要調(diào)整自己的教學(xué)觀，努力將課堂打造成為促進學(xué)生學(xué)習(xí)力形成的平臺。