聚焦數(shù)學(xué)元素 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以特級(jí)教師張齊華“負(fù)數(shù)”課堂為例

江蘇南通市西郊小學(xué)（226015） 王秋榮

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等數(shù)學(xué)元素。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。特級(jí)教師張齊華老師教學(xué)“負(fù)數(shù)”時(shí)，抓住了其中的數(shù)感、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)元素，打造了一堂精彩紛呈的數(shù)學(xué)課。

一、聚焦數(shù)感，關(guān)注學(xué)生感悟能力的培養(yǎng)

數(shù)感是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，數(shù)感強(qiáng)調(diào)的是感悟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感是教師教學(xué)的重要目標(biāo)。所謂數(shù)感就是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，就是一種主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)，是對(duì)數(shù)的敏銳的、精確的、豐富的感知和領(lǐng)悟。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)不僅要讓學(xué)生感悟“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”，還應(yīng)當(dāng)反過(guò)來(lái)，讓學(xué)生感悟“抽象出來(lái)的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的”。

抽象的核心是舍去現(xiàn)實(shí)背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實(shí)背景。比如，同樣是100 這個(gè)抽象的數(shù)，但100 粒黃豆與100 匹馬給人的現(xiàn)實(shí)感受是不一樣的；再比如，去菜市場(chǎng)買(mǎi)菜，帶100 元一般就足夠了，但要購(gòu)買(mǎi)房子，100 元是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的許多情況，人們需要了解數(shù)與現(xiàn)實(shí)背景之間的聯(lián)系，從而感悟并判斷在日常生活和科學(xué)研究中數(shù)所提供的信息。此外，學(xué)生對(duì)觀察或運(yùn)算的結(jié)果也應(yīng)當(dāng)有一定的感悟，或者說(shuō)直覺(jué)判斷。比如，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠憑直覺(jué)判斷18 加9 比30 大還是比30 小比1 大還是比1 小。有了上面所說(shuō)的感悟，學(xué)生就能在現(xiàn)實(shí)生活中比較合理地把握數(shù)以及數(shù)的運(yùn)算。

張老師在“負(fù)數(shù)”這節(jié)課中多次聯(lián)系生活實(shí)際培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“負(fù)數(shù)”的數(shù)感。例如，在學(xué)生理解了負(fù)數(shù)的本質(zhì)特征之后，張老師給學(xué)生帶來(lái)了5 個(gè)“-2”，這5個(gè)“-2”就是舍去現(xiàn)實(shí)背景之后的抽象的數(shù)，但是一旦聯(lián)系現(xiàn)實(shí)背景，這5 個(gè)“-2”給人的感受又是截然不同的。學(xué)生在黑板上分別寫(xiě)出“某盆地的海拔高度為-2 米”“某地最低氣溫為-2 攝氏度”“汽車(chē)停在-2樓”“銀行卡余額為-2元”“兒子的身高是-2 厘米”后，通過(guò)各種圖形，他們進(jìn)一步理解了生活中的負(fù)數(shù)，數(shù)感得到了增強(qiáng)。

在引導(dǎo)學(xué)生觀察負(fù)數(shù)的特點(diǎn)時(shí)，張老師就請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出自己觀察發(fā)現(xiàn)的負(fù)數(shù)的特點(diǎn)。一個(gè)學(xué)生說(shuō)“負(fù)數(shù)前面有一個(gè)減號(hào)”，形式上這是對(duì)的，本質(zhì)上這是錯(cuò)的。如何引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地區(qū)分負(fù)號(hào)和減號(hào)非常重要，這將成為培養(yǎng)數(shù)感的一個(gè)契機(jī)。張老師沒(méi)有直接指出這個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤，而是請(qǐng)他繼續(xù)發(fā)言。最后學(xué)生得出這樣一個(gè)結(jié)論：在運(yùn)算的時(shí)候是減號(hào)，在表示數(shù)的時(shí)候是負(fù)號(hào)。得出這個(gè)結(jié)論的過(guò)程看上去輕松，其實(shí)飽含了張老師尊重學(xué)生學(xué)習(xí)感受，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位的觀念和意識(shí)，體現(xiàn)了教師注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的理念。在課堂中，張老師還引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了正號(hào)，并且通過(guò)對(duì)數(shù)加不加正號(hào)的討論，讓學(xué)生明確整數(shù)和負(fù)數(shù)的本質(zhì)在于與0 的比較。這就是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)觀察或運(yùn)算結(jié)果的感悟，從而進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感。

通過(guò)上面的討論可以看到，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和解釋現(xiàn)實(shí)事物的能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在很多的時(shí)候都可以抓住抽象的數(shù)與現(xiàn)實(shí)事物之間的關(guān)系，讓學(xué)生在觀察、感受、討論中有所領(lǐng)悟，這是培養(yǎng)數(shù)感的有效途徑。

二、聚焦推理，培養(yǎng)學(xué)生判斷、推理的思維能力

推理是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過(guò)程，有直接推理、間接推理等。數(shù)學(xué)課堂上，教師要抓住機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理和演繹推理，幫助學(xué)生由已知發(fā)現(xiàn)未知，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

伽利略認(rèn)為，一切推理都必須從觀察與實(shí)驗(yàn)中得來(lái)。這句名言道出了合情推理的重要意義。所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的、似乎為真的推理，它是根據(jù)已有的數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)結(jié)論，或以個(gè)人數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`）和數(shù)學(xué)直觀進(jìn)行推測(cè)而得到某些結(jié)果的一種推理，常表現(xiàn)為憑直觀和聯(lián)想、直觀或直覺(jué)等非邏輯思維形式，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、由特殊到一般等方法直接獲得某種數(shù)學(xué)結(jié)論。

張老師的“負(fù)數(shù)”一課中，合情推理能力的培養(yǎng)貫穿了課堂的始終。他首先展示“-1 層”“-3 攝氏度”“-250 米”“-1025 元”等短語(yǔ)，讓學(xué)生具體說(shuō)說(shuō)其中負(fù)數(shù)表示的實(shí)際含義，調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。這一階段，既是對(duì)學(xué)生數(shù)感的進(jìn)一步培養(yǎng)，又為后續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行合情推理做了必要的鋪墊。然后王老師讓學(xué)生在黑板上寫(xiě)出5 個(gè)不同的負(fù)數(shù)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、推理，得出負(fù)數(shù)帶有負(fù)號(hào)的外在特點(diǎn)和負(fù)數(shù)都比0 小的本質(zhì)特征。張老師通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、引導(dǎo)觀察、對(duì)比分析、由個(gè)別到一般的推理過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生合情推理的能力。通過(guò)自己觀察，由個(gè)別到一般的合情推理，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法。學(xué)生掌握了這種推理方法之后，就容易透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)了。

演繹推理是由一般到特殊的推理方法，與合情推理相對(duì)。表面上看，張老師的這堂課都是合情推理，其實(shí)仔細(xì)品味，還是能夠發(fā)現(xiàn)課堂中有演繹推理的巧妙運(yùn)用。例如，正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線0 其實(shí)只是一個(gè)參照物。參照物就是演繹推理的大前提、一般的原理。一般來(lái)說(shuō)，參照物并不是固定不變的，不同的參照物，會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)不同的負(fù)數(shù)類(lèi)型。當(dāng)參照物是平均數(shù)的時(shí)候，那么大于這個(gè)平均數(shù)的就是正數(shù)，小于這個(gè)平均數(shù)的就是負(fù)數(shù)。理解了這一點(diǎn)，再聯(lián)系到本課的特殊事例——兒子的身高是-2厘米，就容易理解“-2”在此處的含義了。

總之，教學(xué)新知識(shí)的時(shí)候，教師不宜把已有的知識(shí)或者答案直接告訴學(xué)生，而應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行合情推理或演繹推理，幫助學(xué)生培養(yǎng)各種推理能力，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力。

三、聚焦應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)和生活相結(jié)合的重要意識(shí)

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)又要應(yīng)用于生活，讓數(shù)學(xué)為生活服務(wù)。這也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。陶行知認(rèn)為“行是知之始，知是行之成”，他還提出了“生活即教育”“社會(huì)即學(xué)校”“教學(xué)做合一”等口號(hào)。阿基米德把數(shù)學(xué)研究和力學(xué)、機(jī)械學(xué)緊緊地聯(lián)系在一起，用數(shù)學(xué)研究力學(xué)和其他實(shí)際問(wèn)題，保護(hù)敘拉古戰(zhàn)役中的機(jī)械巨手和投石機(jī)等就是最生動(dòng)的一個(gè)例子，有力地證明了“知識(shí)就是力量”的真理。古今中外的先賢們都明白數(shù)學(xué)知識(shí)要與生活結(jié)合起來(lái)的道理，只有在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)知識(shí)才能轉(zhuǎn)變成力量。

張老師在“負(fù)數(shù)”這節(jié)課中，始終把知識(shí)與生活結(jié)合起來(lái)，從生活中來(lái)又回到生活中去，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征和作用，有效培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。當(dāng)學(xué)生明確負(fù)數(shù)的兩大特點(diǎn)之后，他給學(xué)生展示了5 個(gè)“-2”的生活實(shí)例：-2 米、-2 攝氏度、-2 樓、-2 元、-2 厘米。這些例子有自然科學(xué)方面的，有人類(lèi)生活方面的，還有人體生理方面的，涉及的范圍廣、代表性強(qiáng)，能充分體現(xiàn)負(fù)數(shù)在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的同時(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

為了充分發(fā)揮學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性，張老師從多角度、多層次精心設(shè)計(jì)情境，廣泛拓展學(xué)生的知識(shí)面。如課堂上有關(guān)于海拔的拓展認(rèn)識(shí)，有對(duì)世界上最高海拔的拓展，有正確認(rèn)讀溫度計(jì)的指導(dǎo)，有對(duì)地面高度為0 的認(rèn)識(shí)，還有對(duì)銀行卡中的“-2 元”產(chǎn)生的疑問(wèn)，更有對(duì)“身高為-2 厘米”的研究和探索。通過(guò)這一系列內(nèi)容豐富多彩、方式多種多樣的拓展，學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。這樣不但自然而然地引出了課堂結(jié)論，而且讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，進(jìn)入了社會(huì)生活，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)課堂的魅力和樂(lè)趣。

張老師培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的例子給了筆者深刻啟發(fā)：教師教學(xué)時(shí)要運(yùn)用發(fā)散思維，聯(lián)系生活實(shí)際，把數(shù)學(xué)與豐富的社會(huì)生活結(jié)合起來(lái)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入到生活的廣闊天地中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象，解決生活問(wèn)題，這樣，何愁數(shù)學(xué)教不出樂(lè)趣，何愁學(xué)生學(xué)不會(huì)數(shù)學(xué)呢？

四、聚焦懷疑，大力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)。牛頓和齊白石是兩位著名人物。牛頓是偉大的科學(xué)家，他曾有許多偉大的發(fā)現(xiàn)，如力學(xué)三大定律、萬(wàn)有引力定律、牛頓環(huán)、光微粒說(shuō)、冷卻定律以及微積分等，然而到了晚年，他故步自封，因循守舊，不再創(chuàng)新。齊白石在成功后則馬不停蹄，不斷改變自己的畫(huà)風(fēng)，使得作品更加成熟，形成獨(dú)特的風(fēng)格和流派。由此看來(lái)，即使是偉大的學(xué)者，也不能故步自封，創(chuàng)新是他們保持進(jìn)步、強(qiáng)大的重要法寶。

正因?yàn)閯?chuàng)新如此重要，所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力非常迫切。教師要從創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ)、核心和方法三個(gè)維度來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ)，就是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中產(chǎn)生懷疑，通過(guò)懷疑自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，即學(xué)生要有問(wèn)題意識(shí)。北宋理學(xué)家程頤說(shuō)：“學(xué)者先要會(huì)疑。”同樣也是北宋理學(xué)家的張載說(shuō)：“在可疑而不疑者，不曾學(xué)，學(xué)則須疑。”兩人的話基本意思是相同的，就是懷疑是學(xué)習(xí)、治學(xué)的基本條件，不懷疑就不能夠有所創(chuàng)新，在治學(xué)上就不能夠取得成就。因此，教師要在課堂上創(chuàng)設(shè)機(jī)遇，激發(fā)學(xué)生的懷疑意識(shí)，讓學(xué)生在不斷的“懷疑—解決”過(guò)程中有所收獲。

張老師在這堂課中多次發(fā)出疑問(wèn)，如“今天我們學(xué)習(xí)一種新的數(shù)類(lèi)，叫作負(fù)數(shù)。有誰(shuí)見(jiàn)過(guò)負(fù)數(shù)？在哪里？”“誰(shuí)能來(lái)說(shuō)說(shuō)負(fù)數(shù)有什么特點(diǎn)？”“除了這個(gè)特點(diǎn)，還有嗎？”……這些問(wèn)題有的從現(xiàn)實(shí)生活中出發(fā)，有的從黑板上學(xué)生的板書(shū)出發(fā)，但都圍繞“負(fù)數(shù)”的基本特征提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主觀察、深入思考來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。一連串設(shè)計(jì)巧妙的問(wèn)題激起了學(xué)生頭腦中的疑問(wèn)，從而有效培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

創(chuàng)新意識(shí)的核心是獨(dú)立思考和學(xué)會(huì)思考。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題以后要善于進(jìn)行獨(dú)立思考和對(duì)他人話語(yǔ)的辨析思考。獨(dú)立思考是在前面懷疑的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的深化。有的人通過(guò)懷疑發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，但是他們不愿意通過(guò)自己的努力去解決疑問(wèn)，而是把對(duì)問(wèn)題的解決寄托在他人身上，這樣就喪失了自主解決問(wèn)題的契機(jī)，創(chuàng)新也就無(wú)從談起了。因此，當(dāng)發(fā)現(xiàn)疑問(wèn)之后，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究或者同伴之間合作探究去解決問(wèn)題。這個(gè)方面張老師做得非常好。例如，在某同學(xué)說(shuō)負(fù)數(shù)的特點(diǎn)是這個(gè)數(shù)的前面有一個(gè)減號(hào)時(shí)，張老師沒(méi)有急于否定，而是請(qǐng)這位同學(xué)繼續(xù)深入思考這一問(wèn)題。通過(guò)進(jìn)一步的觀察和思考，該同學(xué)消除了自己認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，獨(dú)立自主地給出了正確答案。一個(gè)小小設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了教師培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的意識(shí)，難能可貴！

要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，只是局限于紛繁復(fù)雜的表面現(xiàn)象是不行的，必須對(duì)各種現(xiàn)象進(jìn)行本質(zhì)屬性的提煉，再進(jìn)行綜合與歸納，才能透過(guò)現(xiàn)象，把握本質(zhì)上的一般規(guī)律，從而有所創(chuàng)新。例如，張老師善于引導(dǎo)學(xué)生從生活現(xiàn)象中歸納出負(fù)數(shù)的特點(diǎn)，歸納出參照物0 的兩種方法，這對(duì)學(xué)生的思維培養(yǎng)來(lái)說(shuō)，都體現(xiàn)了一定的創(chuàng)新性。當(dāng)然，在歸納和概括之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)歸納和概括的內(nèi)容加以必要的驗(yàn)證，證明它們的科學(xué)性，這樣的創(chuàng)新才是真正的創(chuàng)新。

總之，在數(shù)學(xué)課堂上，教師要始終聚焦數(shù)學(xué)元素，通過(guò)自己的精心設(shè)計(jì)和引導(dǎo)，充分尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，發(fā)揮他們學(xué)習(xí)的積極性和能動(dòng)性，大力開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)，帶領(lǐng)他們進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的王國(guó)，從而有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為他們數(shù)學(xué)的終身學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。