蒙特卡洛法合成的風扇能效測試不確定度評定

趙一帆，程銀寶，吳 軍，羅 哉，王學影

(1.中國計量大學 計量測試工程學院，浙江 杭州 310018；2.安徽省計量科學研究院，安徽 合肥 230051)

0 引言

家用電器數量的迅速增長，不僅帶來巨大的能源消耗，也加重對環境的污染，中國在提高家用電器的能源效率、落實能效標識管理方面尤為重視[1]。研究對象風扇為典型的能效標識管理產品，單個產品雖小，但銷量高，耗能量加起來不可忽略，對于其能源效率的測量與評定可以檢驗其是否符合標準[2]。

目前，文獻[3]依據國家標準[4]假設各測量點輸出風量為強相關，對風扇能效測試進行評定，但是測量不確定度表示指南(guide to the expression of uncertainty in measurement, GUM)方法在處理測量模型非線性、輸入量具有相關性等測量系統的不確定度評定時存在一定的不足[5-6]，評定結果可信度不高。文獻[7]通過分析影響電風扇風量測試結果的因素，認為各點測量風速值相互獨立，只對風量測試系統進行評定，沒有對其能源效率進行分析。基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo method, MCM)[8]進行復雜系統的不確定度評定能有效解決上述難題。MCM法是通過概率分布影響不確定性輸入的先驗信息來進行評定，可有效彌補GUM方法的局限性[9-10]，同時對GUM方法的適用性進行驗證。文獻[11]基于計算機模擬的優勢，利用MCM對A類評定方法進行驗證，分析A類評定中3種方法的可靠性程度。文獻[12]利用MCM對動態測量進行評定，其測量模型的輸入量是非線性的，利用MCM評定可避免非線性模型的干擾。本文在交流電風扇的風量測量和能源效率測試的基本原理上，采用兩種方法分別對風扇能效測試系統的風量值和能效值的試驗結果進行測量不確定度評定，以驗證風量測量不確定度評定時是否考慮各測量點風速的相關性。

1 測量方法

在試驗過程中，選用精確度等級為0.3級的功率計獲取風扇的功率值，將兩臺風速儀放置在扇葉軸線兩側，并與扇葉軸線上的的水平導軌垂直，測量前，設置風扇起始位置位于風速儀的0.02 m處，通過伺服電機帶動風速儀向后移動，為了精準評定，測量間距設定為0.04 m。

以直徑為300 mm的落地扇進行測試，實驗室的環境溫度應為(20±3)℃，為了使試驗效果顯著，選擇最高轉速檔位的風速值作為能效值測量的輸入風量，保持風速方向不變。試驗開始前，進行預熱運轉，試驗過程中，風速儀的葉片與被測試電風扇的扇葉應相互平行，保持風扇軸心線與風速測量儀正中心在同一水平線上，直線導軌控制風速儀向后移動，直到所測得的平均風速低于 0.4 m/s時為止。

2 測量模型

各點在n秒測量期間，采集到的風速值用Vi來表示，則風速的計算公式為[13]：

(1)

其中：VL為左邊風速儀測量的風速值，m·min-1；VR為右邊風速儀測量的風速值m·min-1；vi為每秒采集的風速值m·min-1。

定義測量點i處的平均風速Vi，用測得的左、右風速的均值來表示，

(2)

總輸出風量是風速值不低于限度的所有圓環面積的總風量和，測量總風量F的數學模型為[13]：

(3)

其中：Vi為測量點i處的平均風速，m/min；Si為測量點i處的圓環的面積，m2，Si=2πrid；ri為測量點i處圓環的半徑，m；d為各測量點的圓環寬度，由試驗時風扇扇葉的長度決定，試驗取0.04 m。

能源效率的數學模型為：

(4)

其中：η為試驗所得能效值，m3/(W·min)；F為試驗測得的總風量，m3/min；P為電動機的輸入功率，W。

3 風量測量的不確定度評定

依據上述數學模型，試驗得到的部分測量數據以及偏導數列見表1。

表1 試驗測量得到的數據

3.1 GUM方法評定

3.1.1 風量測量重復性引入的不確定度分量

對輸出風量進行10次獨立重復測量，測量結果分別是：34.715 6 m3/min，34.805 7 m3/min，35.018 8 m3/min，34.805 4 m3/min，35.024 8 m3/min，34.704 7 m3/min，34.841 5 m3/min，34.822 8 m3/min，依據貝塞爾(Bessel)公式計算風量重復性引入的不確定度分量為：

(5)

3.1.2 風速儀引入的不確定度分量

風速儀的相關資料中給出Urel=2.5%(k=2)，由兩臺風速儀組成的風速測量系統的相對不確定度為：

(6)

① 假設左右風速儀測得的平均風速為強相關。

強相關時，相關系數rij=1，則風速測量相關時引入的標準不確定度分量公式為：

(7)

式(7)經過化簡后，將表1中的數據代入式(8)，風速儀測量強相關時引入的不確定度分量為：

(8)

② 假設左右風速儀測得的平均風速為獨立不相關。

不相關時，相關系數rij=0，將表1中的數據代入式(9)，風速儀測量不相關時引入的不確定度分量為：

(9)

3.1.3 圓環面積引入的不確定度分量

風速儀探頭導軌的校準證書中給出Urel(L)=2×10-5m (k=2)，測量點i處圓環平均半徑ri的標準不確定度為：

(10)

已知Si=2πrid，單位m2。在測量點i處圓環面積Si引入的標準不確定度uB(Si)為：

(11)

則圓環面積測量引入的不確定度分量為：

(12)

3.1.4 風量測量的合成標準不確定度

將上述不確定度分量進行合成，當左、右風速強相關時，u1(F)=0.32 m3/min；當左、右風速無關時，u2(F)=0.13 m3/min。

3.2 MCM評定

蒙特卡洛方法[14]是通過計算機模擬對輸入量進行離散隨機抽樣，利用測量模型傳遞輸入量的概率分布，獲得輸出量的特征信息，適合多個輸入量、單一輸出量的模型[15]。在已知輸入量的概率密度函數(probability density function, PDF)分布下，可預測到輸出量的實際分布[16]。利用蒙特卡洛方法模擬服從期望為各輸入量的測量值，方差為各輸入量服從概率分布的隨機數，從而進行不確定度評定[17]。 操作步驟如下所示：

(Ⅰ)構造測量模型。分析所求問題的原理，考慮測量過程中的主要誤差來源，建立恰當合理的不確定度評定模型Y=f(Xi)[18]。

(Ⅱ)輸入量的抽樣。測量模型確定后，利用已有信息、試驗數據、相關的計量學知識，基于貝葉斯(Bayes)原理或最大熵原理，設定輸入量Xi的概率密度函數。選擇試驗樣本量的仿真次數M，對輸入量Xi抽樣M次，擴大樣本量，常見的概率分布有矩形分布、正態分布、三角分布、t分布和反正弦分布[19-20]。依據實際情況，判斷輸入量服從的分布類型，多數情況下默認服從正態分布。

(Ⅲ)輸出量的模擬。輸出量Y分布函數的確定，主要是將抽樣后的輸入量Xi代入測量模型，得到M個輸出值及其分布函數信息，對得到的M個輸出值嚴格按照遞增順序排序，繪制出頻率分布直方圖[21]。結合包含概率給定包含區間，判斷其分布類型，得到其相關特性，比如估計值和標準不確定度。

測量結果的估計值按式(13)計算:

(13)

標準不確定度按式(14)計算[22]：

(14)

由式(3)分析可知，總風量F與Vi、Si有關，而Si與ri有確定的關系，故對Vi，ri的PDF進行設定。

3.2.1 測量點i處平均風速Vi

根據最大熵原理，Vi設為正態分布，輸入量風速測量得到10組數據，測量點是彼此獨立的，針對每點逐一進行PDF設定，求出各測量點平均風速的期望值和標準差，即V1～N(98.983 6，0.872)，V2～N(113.543 8，1.002)，…，V10～N(34.087 5，0.302)，分別對各個組測得的Vi在設定的樣本量下進行大樣本抽樣，得到Vi的M個隨機數值，V1，V2，…，VM。

3.2.2 測量點i處平均半徑ri

由式(10)可知，ri的標準不確定度已計算出，為0.000 01 m。根據最大熵原理，確定概率密度函數，ri設為正態分布，則r1～N(0.02，0.000 012)，r2～N(0.06，0.000 012)，…，r10～N(0.38，0.000 012)。得到ri的M個隨機數值，r1，r2，…，rM。

對輸入量取樣設定，依據MCM評定步驟，利用MATLAB軟件[23]對數學模型中的輸入量ri、Vi進行M=1×106次隨機模擬抽樣，并根據總風量F測量模型，將各點總風量抽樣后累加計算得到M=1×106個輸出量，將測量結果從小到大遞增排列，繪制出總風量的頻率分布直方圖，如圖1所示。

圖1 總風量概率分布直方圖

4 能源效率測量的不確定度評定

4.1 GUM方法評定

4.1.1 電能量測量引入的不確定度分量

對輸入功率進行10次獨立重復測量，測量結果分別為：32.7 W、32.5 W、32.7 W、32.9 W、32.7 W、32.7 W、32.6 W、32.7 W、32.8 W、32.7 W。風扇能效值A類標準不確定度引入的不確定度分量為：

(15)

功率計的校準證書給出U=0.08%(k=2)，且試驗的電能量測量示值P=32.7 W，則由電能量測量引入的B類標準不確定度分量為：

(16)

則合成的標準不確定度為：

(17)

4.1.2 總風量測量引入的不確定度分量

4.1.3 能效測量的合成標準不確定度

根據方差合成定理將總風量和功率的不確定度分量合成，能源效率的標準不確定度為：風量不相關時u1(η)=0.009 8 m3/(W·min)；風量相關時u2(η)=0.004 3 m3/(W·min)。

4.2 MCM評定

能源效率依賴兩個互相獨立的輸入量：P、F。由式(17)可知，P的標準不確定度為0.06 W。根據最大熵原理，為P設定正態分布P～N(32.7，0.062)，風量測量的概率分布以及不確定度在3.2節中已求出，將其代入到能源效率測試模型中，利用數據模擬軟件對數學模型中的輸入量進行M=1×106次隨機模擬抽樣，根據公式計算得到M=1×106個輸出量，能效值按遞增順序排列繪制出頻率分布直方圖，如圖2所示。

圖2 能效值概率分布直方圖

4.3 試驗數據分析

由以上數據分析可知，圓環面積引入的不確定度分量與重復性及風速測量引入的不確定度相比影響較小，可以忽略。經典GUM方法中輸入量相關性的兩種假設的評定結果，與MCM的評定結果進行比較，結果如表2所示。由表2可知：MCM得到的風量的不確定度和能效測試的不確定度，與GUM方法評定時假定左、右風速儀測得的各點平均風速不相關的評定結果接近。

表2 GUM與MCM評定方法得到的結果比較 m3/(W·min)

5 結論

(1)MCM得到的能效不確定度0.003 7 m3/W·min，更靠近各測量點平均風速不相關時的能效不確定度0.004 3 m3/W·min，表明各測量點平均風速不相關。

(2)運用GUM方法對測量模型進行評定時，無法判定左、右風速是否相關，如若假設為強相關時，會使得能效的不確定度偏大，可靠性不高。

(3)通過MCM和GUM方法進行分析，可以看出MCM計算簡便，通過編程易于實現，無需考慮輸入量相關性、模型非線性的影響，運算過程簡便，評定復雜模型時更快速、可靠。