一種新四維超混沌系統(tǒng)的分岔分析及應(yīng)用

王春娥，崔 巖，趙少卿，周六圓，王申鵬

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

1963年，洛倫茨(Lorenz)在研究氣象中存在的湍流現(xiàn)象時，根據(jù)當(dāng)時可依據(jù)的非線性理論構(gòu)建出了一個三維非線性微分方程組，即Lorenz系統(tǒng)[1]。此后，若干非線性系統(tǒng)及同步和控制方法的不斷涌現(xiàn)[2-7]，使混沌學(xué)迅速發(fā)展并逐步走向成熟[8]。分岔是非線性系統(tǒng)所具備的獨特現(xiàn)象[9]，混沌系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性發(fā)生改變將會引起系統(tǒng)的局部分岔，系統(tǒng)局部動力學(xué)行為也會隨之發(fā)生變化。Hopf分岔是系統(tǒng)局部分岔中非常基本而又至關(guān)重要的一種。文獻[9]研究了四維混沌的Hopf分岔行為，并進一步發(fā)現(xiàn)了一種通向混沌的路徑。文獻[10]在非線性動力系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，豐富了Hopf分岔理論。文獻[11]對一個四維超混沌系統(tǒng)進行了Hopf分岔反控制研究。文獻[12]研究了時滯Lü系統(tǒng)的Hopf分岔，得到Hopf分岔產(chǎn)生的條件。文獻[13]研究了時滯擾動類Chen系統(tǒng)Hopf分岔及控制，針對某一輸入量受擾動設(shè)計出一種控制其分岔臨界點的新方法。文獻[14]研究了時滯R?ssler系統(tǒng)的Hopf分岔，驗證了時滯參量在時滯分岔點附近的改變會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[15]對一個新超混沌系統(tǒng)的控制問題進行研究，設(shè)計了一種自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制，驗證了該控制對外界擾動具有魯棒性。文獻[16]研究了三八超混沌系統(tǒng)的時滯反饋控制，分析了時滯值對平衡點的影響，給出了在該點附近Hopf分岔的參數(shù)和時滯條件。文獻[17]研究了一類具時滯超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制的問題，將混沌系統(tǒng)控制成為穩(wěn)定狀態(tài)。超混沌系統(tǒng)因其復(fù)雜度更高，其狀態(tài)軌跡和系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號會更加復(fù)雜[18]，在圖像加密、金融系統(tǒng)等領(lǐng)域有很高的應(yīng)用價值。文獻[19]研究了一類分數(shù)階金融模型的混沌控制問題，運用時滯反饋控制法成功控制了金融模型的混沌行為。文獻[20]通過改進圖像變換形式與分塊方法，驗證了圖像加密算法具有更強的魯棒性和安全可靠性，可以充分抵御各種針對性攻擊。文獻[21]構(gòu)建了一個新型的四維混沌系統(tǒng)，利用混沌和密碼學(xué)的對應(yīng)關(guān)系將其應(yīng)用到圖像加密領(lǐng)域，驗證了新系統(tǒng)具有很好的混沌特性，但缺少對新系統(tǒng)的分岔分析及線性控制。

本文構(gòu)建了一個新四維超混沌系統(tǒng)，w為新引入的狀態(tài)變量。分析新系統(tǒng)的混沌特性及穩(wěn)定性，結(jié)合Hopf分岔理論判斷分岔類型及方向。在新系統(tǒng)中加入線性控制器，驗證時滯Hopf分岔點是否發(fā)生延遲，并將新系統(tǒng)應(yīng)用在圖像加密方面，分析其加密效果及安全性能。

1 系統(tǒng)分析

本文所研究的四維超混沌系統(tǒng)描述為：

(1)

其中：x,y,z,w為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量；a,b,c,d為系統(tǒng)(1)的參數(shù)，且該系統(tǒng)存在唯一一個平衡點E0=(0,0,0,0)。當(dāng)參數(shù)取a=35,b=3,c=33,d=8時，系統(tǒng)(1)存在一個典型的超混沌吸引子，混沌吸引子相圖如圖1所示。

(a) x-y-z三維投影相圖

1.1 混沌特性分析

利用LE工具箱計算新系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)，得到4個李雅普諾夫指數(shù)LE1=0.343,LE2=0.052 2,LE3=-0.305,LE4=-36.640，其中有兩個李雅普諾夫指數(shù)大于零，即系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng)。

1.2 穩(wěn)定性分析

在超混沌系統(tǒng)(1)的第2個非線性方程中添加時滯項τ，時滯系統(tǒng)方程描述為：

(2)

當(dāng)時滯項τ=0時，系統(tǒng)(1)在平衡點E0=(0，0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定的，雅可比(Jacobi)矩陣為：

特征方程如下：

(λ+b)(λ3+aλ2-acλe-λτ+ad)=0。

(3)

根據(jù)換元法令P1=a,P2=-ac,P3=ad，若僅考慮虛根，當(dāng)τ=0時，系統(tǒng)(2)的特征方程為：

λ3+P1λ2+P2λ+P3=0。

(4)

根據(jù)勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)可知，若滿足條件P1>0,P2>0,P3>0,P1P2-P3>0，則方程(3)的特征根實部均為負值。將對應(yīng)參數(shù)代入上述不等式可知，時滯系統(tǒng)(2)在平衡點E0=(0,0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的。

1.3 Hopf分岔分析

當(dāng)時滯參數(shù)τ>0時，λ=±iω是特征方程的一對純虛根，令λ=iω并代入方程(3)中有：

-iω3-P1ω2+P2iω(cosωτ-isinωτ)+P3=0。

令實數(shù)和虛數(shù)分別等于零得：

(5)

移項，平方相加得：

(6)

假設(shè)方程(6)至少有一實根，令ξ=ω2則有：

(7)

令：

(8)

則有：

假設(shè)ω=ω0為式(5)的一個實根，代入式(5)得：

(9)

再將ω=ω0代入式(9)可得時滯參數(shù)τ：

(10)

由式(10)可知：(ω0,τn)為式(3)的解，即λ=±iω0是式(3)的一對純虛根，時滯參數(shù)τ=τn為系統(tǒng)(2)的最小時滯參數(shù)。下面針對系統(tǒng)(2)在平衡點E0=(0,0,0,0)時，給出分岔條件。假設(shè)方程的特征根為λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，則λ=±iω0是特征方程(4)的一對共軛的純虛根，使得α(τn)=0,ω(τn)=0。

證明對于式(3)兩邊求導(dǎo)得：

(11)

由式(5)可得：

λ3+P1λ2+P3=P2λe-λτ。

(12)

(13)

則有：

(14)

當(dāng)時滯參數(shù)τ=τn時，方程(2)存在特征根iω0，代入式(4)得：

(15)

根據(jù)歐拉公式e-iω0τ=(cosω0τ-isinω0τ)，|e-iω0τ|=1，式(15)兩邊取絕對值得：

(16)

即：

(17)

根據(jù)式(14)和式(17)可得：

根據(jù)上述計算分析與Hopf分岔理論[9]可得下面結(jié)論：

(Ⅰ)當(dāng)τ∈[0,τ0)時，時滯系統(tǒng)(2)在平衡點E0處是趨向穩(wěn)定的。

(Ⅱ)當(dāng)τ=τn,(n=0,1,2,3,…)時，時滯系統(tǒng)(2)在平衡點E0處發(fā)生Hopf分岔并產(chǎn)生極限環(huán)。

(Ⅲ)當(dāng)τ>τ0時，時滯系統(tǒng)(2)在平衡點E0趨向不穩(wěn)定，但在一定范圍內(nèi)存在較為穩(wěn)定的極限環(huán)。

綜上，系統(tǒng)發(fā)生的為超臨界Hopf分岔。

在工程實際應(yīng)用中，可以通過添加控制器延遲Hopf分岔的發(fā)生。設(shè)計線性控制器為u=k(y-p)，其中，p為平衡點E0處y點的坐標，即p=0。將線性控制器添加到時滯系統(tǒng)(2)的第2項中，對時滯分岔點進行延遲控制，用MATLAB 軟件進行仿真驗證。計算出受控系統(tǒng)的時滯參數(shù)τ為：

2 數(shù)值仿真

2.1 數(shù)值分析

為了方便計算超混沌系統(tǒng)的時滯參數(shù)，取a=8,b=2,c=-1.17,d=1，系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為：

(18)

根據(jù)方程(5)可取ω0=0.601 5,將ω0代入到方程(10)中，得第一個大于零的時滯τ0=0.673 9。根據(jù)上述分析中的結(jié)論可得如下推論：

(Ⅰ)當(dāng)τ∈[0,0.673 9)時，系統(tǒng)(18)在平衡點E0=(0,0,0,0)處短時間內(nèi)趨近穩(wěn)定狀態(tài)。

(Ⅱ)當(dāng)τ≥0.673 9+2.967 8nπ時，系統(tǒng)(18)在平衡點E0=(0,0,0,0)發(fā)生超臨界Hopf分岔且產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)。

系統(tǒng)加入線性控制器后，經(jīng)Routh-Hurwitz判據(jù)得k<1.061 9，本文取k=0.7，得ω0=0.666 1，可計算得出時滯分岔臨界值為τ=0.722 9，繪出受控系統(tǒng)的時滯分岔圖。

2.2 仿真結(jié)果

運用MATLAB軟件仿真得出不同時滯參數(shù)下該系統(tǒng)的時滯相圖與時間序列圖。

(a)時滯參數(shù)τ∈[0,0.673 9)時，取τ=0.663 9。

當(dāng)τ=0.663 9時，系統(tǒng)(18)的相圖如圖2所示。由圖2可知：系統(tǒng)從初值迭代后逐漸趨向于平衡點E0，此時未形成極限環(huán)，如圖2a。圖2b中狀態(tài)變量x,y,z,ω在較短時間內(nèi)趨近平衡點。由此推論(1)得證。

(a) x-y平面投影相圖

(b)時滯參數(shù)τ≥0.673 9+2.967 8nπ,(n=0,1,2,3,…)時，取τ=0.673 9和τ=0.683 9。

當(dāng)τ=0.673 9時，系統(tǒng)(18)的相圖如圖3所示。觀察圖3a可知：系統(tǒng)的初值迭代后不趨向于平衡點E0，表明系統(tǒng)開始形成極限環(huán)。圖3b可以觀察到狀態(tài)變量x,y,z,ω在經(jīng)歷了30個時間積分后趨于穩(wěn)定振蕩，即開始形成極限環(huán)。

(a) x-y平面投影相圖

當(dāng)τ=0.683 9時，系統(tǒng)(18)的相圖如圖4所示。圖4a表明系統(tǒng)已經(jīng)形成清晰的極限環(huán)。圖4b中狀態(tài)變量x,y,z,ω在經(jīng)歷5個時間積分后，振蕩趨于穩(wěn)定即產(chǎn)生了極限環(huán)，此時發(fā)生Hopf分岔。由此推論(2)得證。

(a) x-y平面投影相圖

圖5為時滯超混沌系統(tǒng)的局部分岔圖，顯然τ=0.673 9是分岔臨界點，進一步驗證推論的正確性。當(dāng)τ<0.673 9時，系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定狀態(tài)，趨向于平衡點E0；當(dāng)τ>0.673 9時，發(fā)生超臨界Hopf分岔，產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)。由圖5可以看出：受控系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，時滯分岔點由0.673 9延遲到0.722 9，延遲了由時間擾動引起Hopf分岔的發(fā)生；振動幅值也稍有降低，說明加入控制器后迭代更加平滑。

(a) 原系統(tǒng)局部分岔圖

3 應(yīng)用

超混沌系統(tǒng)因復(fù)雜度高，狀態(tài)軌跡及系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號難以預(yù)測，被廣泛應(yīng)用到圖像加密、信息安全等領(lǐng)域。利用混沌映射自身的性質(zhì)生成密碼，從而完成對傳輸信息加密的目的[21]。 基于文獻[22]提出對圖像加密安全性的改進算法，將新超混沌系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密中，通過MATLAB軟件仿真，觀察圖像的加密效果。

3.1 加密效果分析

取新系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)a=35,b=3,c=33,d=8，初值x0=1,y0=1,z0=1,w0=1，步長h=0.01，圖像大小為256×256，用MATLAB軟件進行仿真實驗。與傳統(tǒng)行列加密算法對比，分析Lena圖像的加密效果。圖6為加密算法對比分析。由圖6a可以觀察到：該算法較傳統(tǒng)行列加密算法對Lena圖像加密效果明顯，密文圖像雜亂似雪花，行加密和列加密圖像似條狀。圖6b縱坐標表示像素點出現(xiàn)的次數(shù)，可以觀察到明文直方圖波動起伏較大，密文直方圖像素出現(xiàn)的次數(shù)大致分布在750左右，分布均勻無較大波動，表明該算法成功將像素點置亂，行加密和列加密直方圖與明文直方圖相似，加密效果差。說明該算法與新超混沌系統(tǒng)結(jié)合，對圖像的加密效果良好，擾亂性及安全性較高。

(a) Lena加密圖像對比

3.2 安全性分析

(Ⅰ)敏感性分析。超混沌系統(tǒng)對初值十分敏感，該算法的密鑰空間為1056，密鑰空間越大，抗攻擊能力越強。在解密過程中，若密鑰發(fā)生微小的變化，加密圖像將得不到正確解碼圖像。例如，將混沌初值x0進行10-14的微小變化，觀察密文的解密效果。圖7為密文圖像的正確解密與錯誤解密對比。由圖7可知：正確解密可以使原圖恢復(fù)，錯誤解密則不能恢復(fù)原圖，說明圖像加密算法的密鑰敏感性強，抗密鑰攻擊能力強。

(a) 正確解密

(Ⅱ)對圖像進行相關(guān)性分析。相關(guān)性系數(shù)越趨近于0，說明相鄰像素的相關(guān)性越差，表現(xiàn)在密文圖像上則說明該算法的安全性較高，抗攻擊能力強；相關(guān)系數(shù)接近于1，則反之。相關(guān)性系數(shù)計算公式為：

(19)

其中：x,y為像素點的灰度值。經(jīng)計算密文圖像在水平、豎直、對角方向的像素相關(guān)性都趨近于0，表明該算法的置亂性強，安全性高。圖8為相鄰像素的相關(guān)性相圖，圖8a中明文圖像在水平、豎直、對角3個方向像素點具有明顯的線性相關(guān)性；圖8b中密文圖像3個方向的像素點雜亂分布在矩形框中，像素點無相關(guān)性。說明該算法的安全性高，抗攻擊性能強。

(a) 明文相關(guān)性相圖

4 結(jié)論

(1)新系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔，在時滯分岔點τn附近系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性。

(2)添加線性控制器后，時滯分岔點由0.673 9延遲至0.722 9，使得時滯擾動引起的Hopf分岔得到了有效延遲控制。

(3)與傳統(tǒng)的行列置換加密方法相比較，該超混沌加密算法的加密性更好，有較好的安全性及抗攻擊能力。