應用“微元累積法”解決物理問題,培養科學思維素養

張云瑩 姜 葛

(北京市昌平區教師進修學校)

微元累積法是物理學中一種重要的思想方法,是微積分思想在解決物理問題時的應用和體現.微元累積法包含微元和累積兩個過程,微元過程的思想是:對于較復雜的物理變化或過程,通常先把整個過程分割成若干個小區間,認為每一小區間內研究的量不變,這樣就可以把變化的、物理規律不適用的過程轉化為不變的、物理規律適用的微元過程.將所有的小區間內的問題都解決后,再把全部結果累積疊加,這個過程就是累積過程.

由于累積過程會用到積分知識,所以中學階段往往把它轉化為求相應圖像所圍圖形的“面積”,此時“面積”起到了數學和物理間的橋梁作用.

1 物理量對時間的累積

1.1 速度對時間的累積

我們知道,做勻速直線運動的物體的v-t圖像是平行于t軸的一條直線,在Δt時間內物體的位移為Δx＝vΔt,在量值上等于陰影標記矩形的面積,如圖1所示.

圖1

當物體做勻變速直線運動時,其v-t圖像為一條傾斜的直線,如圖2-甲所示.這時物體在Δt時間內的位移還能否用“面積”表示呢?

如果我們像圖2-乙那樣,把物體的運動分成6小段,每小段起始時刻物體的瞬時速度由相應的縱坐標表示,在每一小段內,可粗略認為物體以這個速度做勻速直線運動.因此,我們以每小段起始時刻的速度乘以時間,近似地當作各小段內物體的位移.在v-t圖像中,各段位移可以用一個又窄又高的小矩形的面積表示.6個小矩形的面積之和近似地代表物體在整個運動過程中的位移.

當然,如果以這6個小矩形的面積之和代表物體在整個過程中的位移,顯然比真實值要少.為了精確一些,可以把運動過程劃分為更多的小段,如圖2-丙所示.用所有這些小段的位移之和代表物體在整個過程中的位移就精確得多.小矩形越窄,所有小矩形的面積之和就越接近物體的位移.

可以想象,如果把整個運動過程分割得非常非常細,很多很多小矩形的面積之和就能非常精確地代表物體的位移了.這時,很多很多小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了,這些小矩形合在一起成了一個梯形,如圖2-丁所示.這個梯形的面積就代表做勻變速直線運動的物體在Δt時間內的位移大小.

圖2

上面這種分析問題的方法具有一般意義,原則上對于任意形狀的v-t圖像都適用.如圖3所示的運動物體的位移大小,仍然可用處理勻變速直線運動的方法——“先微元再累積”,位移的大小仍可用v-t圖像與橫軸所圍圖形的面積來表示.

圖3

1.2 加速度對時間的累積

物體的加速度也可以隨時間連續變化,那么加速度對時間的累積又代表哪個物理量呢?

我們知道,物體做勻變速直線運動時,加速度不變,a-t圖像是一條平行于t軸的直線.由勻變速直線運動的速度公式可知Δv＝aΔt,即加速度對時間的累積為速度的變化量,累積結果可用a-t圖像的面積表示,如圖4所示.

圖4

對于做變加速直線運動的物體,其a-t圖像的面積是否還表示速度的變化量呢?類比v-t圖像求位移的方法可知,做變加速直線運動的物體,其a-t圖像的面積仍然表示物體速度的變化量.

例1(2012年北京卷,有改編)某摩天大樓中有一部直通高層的客運電梯,已知電梯在t＝0 時由靜止開始上升,電梯運行時的加速度a隨時間t變化的a-t圖像如圖5所示.求:

(1)0～2s內電梯的速度的變化量;

(2)該電梯上升過程中的最大速度.

解析(1)電梯在0～2s內做變加速直線運動,由前面的學習我們知道,做變加速直線運動的物體,其a-t圖像的面積表示速度的變化量.由此得,電梯在0～2s內速度的變化量為a-t圖像第1個三角形的面積,即有

(2)t＝0時,電梯的速度為0;在0～12s內,電梯的加速度均為正值,即電梯的速度在增加,所以t＝12s時,電梯的速度最大.電梯的最大速度即為第1個梯形的面積,有

1.3 力對時間的累積

沖量是描述力對時間累積效應的物理量,其定義式I＝Ft適用于求恒力的沖量.如果在時間t內,作用在物體上的力是變化的,就要把整個運動過程分成很多很短的時間間隔Δt,以至在Δt時間內,可以認為力是不變的,用這段時間內的作用力乘以這段時間,則力的沖量為FiΔt,t時間內的沖量等于所有小段力的沖量的矢量和,即I＝∑FiΔt.如果物體做直線運動,求和的結果可用F-t圖像與橫軸所圍圖形的面積表示.

例2質量為2kg的物體,受到如圖6所示的變力F的作用,從靜止開始沿光滑水平面做直線運動.求5s末物體的速度大小.

圖6

解析物體在變力F的作用下將做變加速直線運動,在5s內力F的沖量在量值上等于三角形的面積,即.對物體應用動量定理有I＝mv－0,故

1.4 電流對時間的累積

我們知道,電流定義為單位時間內通過導體橫截面的電荷量,即.當Δt→0時,q-t圖像上某一點的斜率即為電流i.如果知道電流隨時間的變化規律,能否反過來求得通過導體橫截面的電荷量呢?

根據Δq＝iΔt可知,電流對時間的累積表示通過導體橫截面的電荷量.如果電流是變化的,根據微元累積思想可知,任意i-t圖像與橫軸所圍圖形的面積都表示通過導體橫截面的電荷量.

例3在觀察電容器的充、放電實驗中,電路如圖7-甲所示.先使開關S與1端相連,電源向電容器充電;充電完成后把開關S擲向2端,電容器通過電阻R放電,電流傳感器將電流信息傳入計算機,屏幕上顯示出電流隨時間變化的I-t圖像如圖7-乙所示.

圖7

(1)圖7-乙中豎立的狹長矩形(在圖的最左邊),它的面積的物理意義是什么?

(2)怎樣根據I-t圖像估算電容器在整個放電過程中釋放的電荷量?

解析(1)根據前面的分析我們知道,電流對時間的累積表示通過導體橫截面的電荷量,量值上等于I-t圖像與t軸所圍圖形的面積.最左邊的狹長矩形的面積可近似表示在0～0.1s時間內通過電阻R的電荷量,實際通過電阻R的電荷量要比這個狹長矩形面積略大.

(2)整個過程中面積的計算可借鑒測定分子直徑實驗的經驗,已知每一小方格代表的電荷量為

然后再數一數圖線與橫軸所圍成的圖形中有多少個這樣的小方格,大于半個的算一個,小于半個的不算,假設數后的結果為N,那么電容器在整個放電過程中釋放的電荷量為Q＝Nq1.

2 物理量對空間的累積

2.1 力對空間的累積

功是描述力對空間累積效應的物理量,其定義式W＝Fx,適用于求恒力的功.如果在位移x內,作用在物體上的力是變化的,就要把整個運動過程分成很多很短的位移Δx,以至在Δx內,可以認為力是不變的,用這段時間內的作用力Fi乘以這段位移Δx,則力的功為Wi＝FiΔx,x位移內的功就等于這些小段力的功的標量和,即W ＝∑FiΔx.

如果知道了物體所受外力F隨位移x的變化關系,則以位移為橫軸,力為縱軸,作出F-x圖像,這樣F-x圖像與橫軸所包圍圖形的面積在量值上代表了力的功.因此,求功就變成了求F-x圖像的面積.

例4如圖8所示,某同學用一外力作用于勁度系數為k的輕彈簧上,使彈簧緩慢發生形變,形變量為Δx,彈簧始終在彈性限度內.求在這一過程中,該同學克服彈簧彈力所做的功W.

圖8

解析該過程中,彈簧的彈力為變力,如何將變力做功轉化為恒力做功,以便用功的定義式求解呢? 前面我們講到,將該過程分割成若干個小區間,每個小區間內彈力可近似看作恒力,在每個小區間內應用功的定義求解,然后再把所有小區間累積起來,得到整個過程彈力所做的總功.同樣,我們可以用“面積”表示累積的效果.

由胡克定律可知,彈簧彈力的大小與彈簧的形變量成正比,所以彈簧彈力F與形變量Δx的圖像如圖9所示.克服彈力做功W在數值上等于圖像中陰影部分圖形的面積,即

圖9

當然,對于任意變力,F-x圖像所圍圖形的面積在數值上均等于力F所做的功.

2.2 電場強度對距離的累積

在勻強電場中,電勢差U與電場強度E之間滿足U＝Ed的關系,即勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向距離的乘積.在勻強電場中,電場強度E隨沿電場方向的位置x變化的圖像為平行于x軸的直線,則其兩點間的電勢差即圖像與x軸所包圍圖形的面積,如圖10-甲所示.

對于非勻強電場,我們可以將整段距離d分成無數個很短的距離Δd,在每一段Δd中,電場強度Ei可以認為是恒定的,因此該段兩點間電勢差可以表示為ΔU＝EiΔd,即圖像中小矩形的面積.因此,整段距離d兩點間電勢差U為每一段電勢差ΔU的累積求和,即圖線與x軸所包圍圖形的面積,如圖10-乙所示.

圖10

例5(2013年上海卷)半徑為R、均勻帶正電荷的球體在空間產生球對稱電場,場強大小沿半徑分布如圖11所示,圖中E0已知,Er曲線下O～R部分的面積等于R～2R部分的面積.

圖11

(1)寫出E-r曲線下面積的單位;

(2)已知帶電球在r≥R處的場強式中k為靜電力常量,該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大?

(3)求球心與球表面間的電勢差ΔU.

(4)質量為m、電荷量為q的負電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運動到2R處?

解析兩點間電勢差等于電場強度對空間距離的累積,因此E-r曲線下的面積即電勢差.

(1)根據分析可知電勢差單位為伏特(V).

(2)根據圖像可知,r＝R處場強因此

(3)E-r曲線下O～R部分的面積等于球心與球表面間的電勢差ΔU,因此

(4)E-r曲線下O～R部分的面積等于R～2R部分的面積,因此球面處與2R處之間的電勢差

負電荷剛好運動到2R處的過程中,根據動能定理有

2.3 磁感應強度對面積的累積

為了形象地描述磁場的大小和方向,人們引入了磁感線.當考查磁場中磁感線條數在某一曲面上的積累效果時,引入磁通量的概念,定義通過某一曲面磁感線的條數為這一曲面的磁通量,簡稱磁通,用字母Φ表示.

如圖12-甲所示,磁感應強度為B的勻強磁場中,有一面積為S的平面,其在垂直磁場方向的投影面積為S⊥.可以看出,通過平面S的磁感線條數與通過平面S⊥的磁感線條數相同,則磁通量

其中θ為平面法線與磁場方向的夾角.

如圖12-乙所示,磁場為非勻強磁場,曲面也不是平面,而是一個任意大小的有限曲面,在計算通過整個曲面的磁通量時,我們可以利用微元累積法,把整個曲面分成無限多個微小面元ΔS,每個ΔS可近似看成平面,且通過此面元的磁場可近似看成勻強磁場,則磁通量表示為

圖12

由于曲面上每一個面元的法向事先規定,因此,磁通量可正可負,它表示磁感線穿過曲面的方向.磁通量這一概念的提出,不僅為我們提供了從空間區域積累的角度認識磁場的新視角,還為電磁感應現象的研究與應用打下了堅實的基礎.

請讀者思考:在電場中可否引入類似于磁通量的“電通量”呢?

例6(2018 年北京卷)靜電場可以用電場線和等勢面形象描述.

(1)請根據電場強度的定義和庫侖定律推導出點電荷Q的場強表達式;

(2)點電荷的電場線和等勢面分布如圖13所示,等勢面S1、S2到點電荷的距離分別為r1、r2.我們知道,電場線的疏密反映了空間區域電場強度的大小.請計算S1、S2上單位面積通過的電場線條數之

圖13

解析(1)在距Q為r的位置放一電荷量為q的檢驗電荷.由庫侖定律知檢驗電荷受到的電場力.根據電場強度定義

2.4 氣體的壓強對體積的累積

壓縮一定質量的氣體,外界要克服氣體的壓強對氣體做功,根據功的定義W＝Fl知,W＝Fl＝pSl＝pV.由此可知,壓強p對體積V的累積效果表現為功.當氣體體積減小時,外界對氣體做功;當氣體體積增大時,氣體對外界做功.

例7一定量的理想氣體的p-V圖像如圖14所示,氣體狀態經歷了A→B→C變化過程.則氣體在狀態C的內能________氣體在狀態A的內能(填“＞”“＜”或“＝”).在上述過程中,氣體需_________(填“吸熱”或“放熱”),它與外界交換的熱量的絕對值為________J.

圖14

解析由p-V圖像可知,在A、C兩狀態,氣體的pV值相等,由理想氣體狀態方程可知,A、C兩狀態的溫度相等,則氣體在兩狀態的內能相等.A→B過程為等壓過程,氣體體積減小,外界對氣體做功W＝Fl＝pSl＝pV＝300J;B→C過程是等容變化,氣體不做功.在整個過程中,由熱力學第一定律U＝W＋Q,可知Q＝U－W＝0－300J＝－300J.由此可知,在整個過程中氣體對外放熱,放出的熱量為300J.

3 并非所有的累積都有意義

當一個物理量對另一個物理量累積時,其累積結果不一定都有物理意義.

在如圖15-甲所示的電路中,調節滑動變阻器的滑片P,通過定值電阻R上的電流I和其兩端的電壓U均在變化.由歐姆定律可知,U與I成正比,U-I圖像如圖15-乙所示.

圖15

由于P＝UI,由上面的“經驗”容易聯想到,在UI圖像中,圖線與I軸所圍成的圖形的面積為功率P.事實上并非如此.我們找到圖線中的一點,該點對應的橫、縱坐標分別為I1、U1,此時R消耗的電功率為P1＝U1I1,對應圖15-丙所示的矩形面積.究其原因是功率P不是電壓U對電流I累積的結果,它等于電流和電壓瞬時值的乘積.

(完)