轉動中的慣性

詹 凱 吳 濱

(1.首都師范大學附屬中學 2.北京市101中學)

普通高中物理學習的運動學叫作“質點運動學”,學習的動力學也集中研究“質點動力學”.而牛頓第二定律在物體所受的力與其運動狀態的變化之間建立了定量聯系:F＝ma,物體的受力F與加速度a之間的紐帶就是物體慣性大小的量度——質量.

生活中,我們不可避免地會研究不能簡化為質點的物體(將其模型簡化為“剛體”)的運動.定量研究用多大的力能使轉動的物體停下來? 轉動物體具有的“動能”有多大? 滑冰運動員抱緊雙臂為什么就可以轉得更快? 等等.

研究物體轉動的難點在于,物體上各個點轉動時的角速度雖然相同,但線速度是不一樣的.加速或減速轉動的物體離轉軸不同位置的質量微元,其加速度的大小并不相同,這就給我們的定量計算帶來了困難.另外,通過滑冰運動員張開雙臂和收緊雙臂來控制轉動角速度的實例也可以看出,物體轉動時的慣性似乎不僅跟物體的質量有關,還跟質量分布有關.可見,物體轉動時的慣性并不是一個恒定不變的量,這給研究物體的轉動蒙上了一層神秘的色彩.

雖然轉動慣量不是高中物理所要求的內容,但卻是強基考試、物理競賽中的基礎知識與核心內容之一.有意參加強基考試和物理競賽的同學,一定要將轉動問題當作重中之重進行研學.

1 如何類比質點動力學,得出“轉動慣量”?

剛體作為一個質點系,在定軸轉動時它的動量p等于質心動量pC.剛體每一無窮小區域都可處理成點部位,所含質量記為mi,定軸轉動時剛體的動能為

圖1

等號右端第一項的方向沿z軸,實為Lz,第二項的方向平行于xOy平面,實為Lxy,定軸轉動問題主要討論剛體繞z軸轉動情況的變化,即角動量的z軸分量.

Lz的標量式為

可表述成Lz＝Iω,與質點動量p＝mv的結構形式相似,其中I仍與m對應.剛體定軸轉動時的兩個動力學量Ek和Lz都與轉動慣量I有關,I由給出,對于物質連續分布的剛體,可通過積分來完成求和.

2 如何計算常見剛體的轉動慣量?

例1質量為m、長度為L的均質桿,繞著垂直于桿所在平面并通過質心的軸旋轉,求桿的轉動慣量.

解析如圖2 所示,根據轉動慣量的定義式進行積分.

圖2

一些常見的剛體的轉動慣量如表1所示.

表1

根據轉動慣量的定義式,在計算連續體的轉動慣量時,理論上應當應用積分.但是積分計算對于一般中學生來說是個難點.是否有別的辦法避免煩瑣的積分運算呢?

3 轉軸不在特殊位置時,有什么辦法計算剛體的轉動慣量?

若兩轉軸平行,距離為d,其中一軸過質心,質量為m的剛體對過質心的軸的轉動慣量為IC,則剛體對另一軸的轉動慣量為I＝IC＋md2,這叫作“平行軸定理”.顯然,剛體相對各平行軸的不同轉動慣量中,過質心軸的轉動慣量最小.

薄板(厚度無限小)相對與它垂直的坐標軸的轉動慣量,等于薄板對于板面內兩互相垂直軸的轉動慣量之和,即Iz＝Ix＋Iy.這叫作“垂直軸定理”,也叫作“正交軸定理”.其適用條件是x、y、z軸過同一點,且互相垂直,z軸垂直于板面,x、y軸在板面內,如圖3所示.

圖3

例2計算以下物體繞軸的轉動慣量.

(1)均質桿,質量為m,長度為L,繞著垂直于桿所在平面并通過質心的軸旋轉.

(2)均質正三角板,質量為m,邊長為b,繞著垂直于板平面并通過質心的軸旋轉.

解析(1)例1通過積分方式得到答案.此處利用量綱關系以及平行軸定理聯立求解.

圖4

(2)如圖5所示,將大正三角板分成4個相等的小正三角板,每個小正三角板的邊長為根據轉動慣量與質量、長度的量綱關系可知,小正三角板繞著垂直于板平面并通過質心的軸旋轉時的轉動慣量I′,與大正三角板繞著垂直于板平面并通過質心的軸旋轉時的轉動慣量I之間的關系為

圖5

若假設大正三角板的轉動慣量I＝λmb2,則小正三角板的轉動慣量.根據平行軸定理,3個角上的小正三角板繞著中間小三角板中心軸的轉動慣量I″為.4個小正三角板組合成大正三角板,則I＝I′＋3I″,

例3均質正方形薄板質量為m、各邊長為a.如圖6所示,在板平面上設置過中心O的轉軸MN,求板相對該軸的轉動慣量I.

圖6

解析板平面上薄板沿x、y軸轉動時的轉動慣量與例1中的均質桿繞垂直于桿所在平面并通過質心的軸的轉動慣量一樣.再結合垂直軸定理,可迎刃而解.在板平面上設置過O點且與MN垂直的M′N′軸,相應的轉動慣量記為I′.根據對稱有I＝I′.在板平面上建立xOy坐標系,相對于x、y軸轉動慣量相同,即.再根據垂直軸定理,得I＋I′＝Iz,Ix＋Iy＝Iz,其中,Iz是板繞著過O點且垂直于板平面的轉軸的轉動慣量.于是有I＋I′＝Ix＋Iy,得

點評由例2、例3兩道例題可以看出,如果能巧用平行軸定理和垂直軸定理,可以省掉大量的積分計算.這樣就大大降低了計算轉動慣量的難度.

4 如何打棒球,才能不手麻?

例4如圖7所示,質量為m的剛體,其質心C到懸掛點P的距離為rC.以水平力F打擊該剛體上的O點,若打擊點O選擇合適,則打擊過程中軸對鋼體的切向力Fτ為0,該點O稱為打擊中心,求打擊中心到軸的距離r0.(設剛體繞與P點轉軸平行且過質心的轉軸的轉動慣量為IC)

圖7

解析剛體的質心在水平方向有加速度,若轉動引起的質心的加速度恰由力F提供,則懸掛點P就不需要提供水平方向的切向力.剛體繞P點的轉動慣量I＝IC＋mr2C.剛體在水平力的力矩Fr0的作用下做定軸轉動.設棒的角加速度為β,則轉動動力學方程為Fr0＝Iβ,剛體質心的切向加速度為aC＝βrC,若P點對剛體無水平作用力,則質心運動方程為F＝maC＝mβrC.聯立消去β得

點評從上述解析過程可以看出,利用轉動慣量I解決剛體的動力學問題時,也有類似“剛體轉動的牛頓第二定律”形式,其中力被力矩替代,質量被轉動慣量替代,加速度被角加速度替代.另外,從例題結果可以看出,懸掛于端點的長為L的均質細桿,打擊處時,懸掛點P不受力.棒球運動員在擊打棒球時,如果擊球點在打擊中心附近,則手受到棒的作用力最小,這樣手就不會感覺到強烈的疼痛.

5 花樣滑冰運動員是如何控制轉速的?

花樣滑冰運動員在比賽中經常做出這樣的動作——伸開雙臂原地轉圈時,雙臂逐漸抱緊身體的過程中,轉動的角速度越來越大.這是為什么呢? 結合前述多個問題的討論,可以給出該問題的定性解釋.

運動員在轉動過程中,冰刀與冰面之間的摩擦力很小,力臂也很小,可以視為幾乎不受力矩作用.類比不受外力作用的質點動量守恒,可以得出結論——運動員在轉動過程中角動量守恒.此時,抱緊雙臂的過程中,運動員質量分布逐漸靠近轉軸,轉動慣量減小,要保持角動量不變,則需增大轉動的角速度.

6 阿特伍德機的動力學問題

例5如圖8所示的裝置為阿特伍德機,即一輕繩繞過質量為m、半徑為R的質量分布均勻的圓盤形定滑輪,繩的兩端分別系有質量為m1和m2的物體,m1＞m2,滑輪軸上受到的摩擦阻力可忽略.試求兩物體運動的加速度和兩側繩上的張力.假定繩子不能伸長,繩與滑輪之間摩擦力足夠大以至于繩與滑輪之間無相對滑動,重力加速度大小為g.

圖8

解析由于滑輪有轉動慣量,因此兩側物體加速運動時,滑輪加速轉動,繩子兩側張力肯定不同,否則滑輪所受合力矩為0.對兩物體和滑輪分別列動力學方程,聯立求解即可.

設兩根繩中的張力分別為FT1、FT2,兩物體運動時的加速度大小為a,滑輪轉動時的角加速度大小為β,根據牛頓第二定律以及轉動定理知m1g－FT1＝m1a,FT2－m2g＝m2a,FT1R－FT2R＝Iβ.圓盤轉動時的轉動慣量,a與β之間的運動輔助方程為a＝βR.聯立以上方程可得

點評從以上結果可以看出,若滑輪質量可忽略不計時,即上述3個表達式中m→0,則a＝,這正是課內學習牛頓運動定律處理簡單的滑輪連接的兩物體加速度與拉力問題的結果.但是本題的結果更具有一般性,一般性的結果在m→0的情況下能回歸到已知的結果中去,正說明本題結果的正確性,這也是我們檢查結果是否正確常用到的方法.

轉動問題在生活中廣泛存在.在研究轉動問題時,衡量物體慣性的物理量為轉動慣量,物體的轉動慣量不僅跟其質量有關,還與轉動的方式、轉軸的位置等有關.轉動問題中的轉動慣量,與質點動力學中的“平動慣量”,即物體的質量,有著異曲同工之妙.在學習轉動問題時,要不斷將轉動、平動問題進行對比和聯系,體會其中的不同點與相同點,這有助于我們對牛頓力學體系獲得更深、更廣的理解.

(完)