數(shù)學(xué)建模方法在高中物理化學(xué)學(xué)科解題中的應(yīng)用

王 坤

(北京市第八十中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》提出中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).其中,數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)應(yīng)用,數(shù)學(xué)教學(xué)更加看重其實(shí)用價(jià)值.

數(shù)學(xué)建模是將某些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或其他學(xué)科中的問(wèn)題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來(lái)刻畫(huà)原有問(wèn)題,并為解決問(wèn)題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo).數(shù)學(xué)建模的一般流程如圖1所示.

圖1

高中物理和化學(xué)學(xué)科中的很多問(wèn)題,都具有很強(qiáng)的實(shí)際背景,這些問(wèn)題的解決,都可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)完成.解決相應(yīng)的物理和化學(xué)問(wèn)題,可以幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的流程有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),同時(shí)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值有更加深刻的感悟.

面對(duì)一個(gè)具體的物理或者化學(xué)問(wèn)題,該如何通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)解決呢? 下面通過(guò)幾個(gè)具體問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明.

問(wèn)題1一個(gè)帶有滑輪的梯形木塊A置于光滑水平面上,斜面的傾角為θ,木塊A上的物體B用繞過(guò)滑輪的輕繩與物體C相連,用一水平向左的拉力F作用在物體B上,恰使A、B、C保持相對(duì)靜止.如圖2所示,已知物體A、B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,不計(jì)一切摩擦,試求拉力F,并討論θ為何值時(shí)F有最大值,最大值為多少.

圖2

數(shù)學(xué)建模過(guò)程如下:

步驟1:觀察情境.3 個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

步驟2:發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.因?yàn)橄到y(tǒng)中的物體保持相對(duì)靜止,可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析.

步驟3:收集數(shù)據(jù).3個(gè)物體的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,拉力為F,斜面的傾角為θ.

步驟4:選擇模型.設(shè)定自變量θ,因變量F,構(gòu)建函數(shù)模型F＝f(θ).

設(shè)3個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)的加速度大小為a,方向水平向左,B、C間繩的拉力大小為FT,斜面對(duì)物體的支持力為FN.

對(duì)系統(tǒng):F＝3ma,對(duì)物體B:F－FT＝ma.對(duì)物體C:FTcosθ－FNsinθ＝ma,FTsinθ＋FNcosθ＝mg.將上述方程整理可得,此即為函數(shù)F＝f(θ).

步驟5:求解模型.選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法,求函數(shù)F＝f(θ)的最大值.簡(jiǎn)便起見(jiàn),考慮3mg為正常數(shù),先計(jì)算的最大值.

方法1(幾何法)在平面直角坐標(biāo)系中,表示點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(cosθ,－sinθ)連線的斜率,結(jié)合圖形,容易知道其最大值為,此時(shí)θ＝60°.

方法2(判別式法)易知g(θ)＞0,對(duì)其平方,并應(yīng)用同角關(guān)系式可得,變形為(g2＋1)cos2θ－4g2cosθ＋4g2－1＝0,為使cosθ有解,首先需使Δ＝(4g2)2－4(g2＋1)(4g2－1)≥0,解得可知θ＝60°時(shí),g(θ)取最大值

通過(guò)上述方法,均可得到當(dāng)θ＝60°時(shí),F＝f(θ)取得最大值

步驟6:檢驗(yàn).θ＝60°滿(mǎn)足原有問(wèn)題的條件,此時(shí)其為最優(yōu)解條件,所以模型有效.

問(wèn)題2如圖3所示,某同學(xué)將離地1.25m 的網(wǎng)球以13m·s－1的速度斜向上擊出,擊球點(diǎn)到豎直墻壁的距離為4.8m.當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時(shí),擊中墻壁上離地高度為8.45m 的P點(diǎn).網(wǎng)球與墻壁碰撞后,垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍.平行墻面的速度分量不變.重力加速度g取10m·s－2,網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點(diǎn)到墻壁的距離d分別為( ).

圖3

數(shù)學(xué)建模過(guò)程如下:

步驟1:觀察情境.在立體空間中的網(wǎng)球運(yùn)動(dòng).

步驟2:發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.在空間中,從3 個(gè)方向?qū)λ俣确謩e進(jìn)行分析.

步驟3:收集數(shù)據(jù).擊球點(diǎn)高度1.25m,墻壁落點(diǎn)高度8.45m,擊球點(diǎn)距墻壁距離4.8 m,網(wǎng)球初速度13m·s－1,擊中墻壁時(shí),豎直分速度為零,反彈后垂直墻面分速度變?yōu)榕鲎睬暗?.75倍,平行墻面分速度不變,重力加速度g取10m·s－2.

步驟4:選擇模型.在空間直角坐標(biāo)系中,建立空間向量模型來(lái)表示速度,以擊球點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以垂直于墻面的方向?yàn)閤軸,平行于墻面且平行于地面的方向?yàn)閥軸,垂直于地面的方向?yàn)閦軸,建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系.

圖4

步驟6:檢驗(yàn).所求解數(shù)值滿(mǎn)足題目的條件,所以模型有效.

問(wèn)題3(2022年全國(guó)甲卷,節(jié)選)螢石(CaF2)是自然界中常見(jiàn)的含氟礦物,其晶胞結(jié)構(gòu)如圖5所示,X代表的離子是_________;若該立方晶胞參數(shù)為apm,正負(fù)離子的核間距最小為_(kāi)________pm.

圖5

數(shù)學(xué)建模過(guò)程如下:

步驟1:觀察情境.螢石的晶胞結(jié)構(gòu).

步驟2:發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.對(duì)螢石中的Ca2＋和F－進(jìn)行數(shù)量和結(jié)構(gòu)分析.

步驟3:收集數(shù)據(jù).螢石的化學(xué)式為CaF2,晶胞結(jié)構(gòu)如圖5所示.

步驟4:選擇模型.結(jié)合螢石的晶胞結(jié)構(gòu),建立正方體模型,對(duì)正方體中特殊位置點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行研究.

步驟5:求解模型.在正方體中,6個(gè)面(正方形)的中心稱(chēng)為面心,體對(duì)角線的交點(diǎn)(中點(diǎn))稱(chēng)為體心.根據(jù)螢石晶胞結(jié)構(gòu),淺色X 離子分布在晶胞的頂點(diǎn)和面心上,每個(gè)頂點(diǎn)處的X 離子與晶體中的8個(gè)深色Y 離子通過(guò)離子鍵相連,其中有1 個(gè)Y 離子在同一個(gè)晶胞中,而位于面心處的X 離子共與晶體中的8個(gè)Y 離子通過(guò)離子鍵相連,其中有4 個(gè)Y 離子在同一個(gè)晶胞中,因此1個(gè)晶胞中淺色X 離子共有4個(gè).深色Y 離子分布在晶胞內(nèi)部,則1個(gè)晶胞中共有8個(gè)Y 離子.因此,該晶胞的化學(xué)式應(yīng)為XY2,結(jié)合螢石的化學(xué)式可知,X 為Ca2＋.根據(jù)晶胞結(jié)構(gòu),將晶胞分成8個(gè)相等的小正方體,其中F－(即Y 離子)位于晶胞中小正方體的體心,而Ca2＋位于小正方體的頂點(diǎn).因?yàn)樾≌襟w的邊長(zhǎng)為,體對(duì)角線長(zhǎng)為,Ca2＋與F－之間的距離等于小正方體體對(duì)角線長(zhǎng)的一半,即

步驟6:檢驗(yàn).所求解數(shù)值滿(mǎn)足題目的條件信息,所以模型有效.

通過(guò)建模解決以上幾個(gè)物理、化學(xué)學(xué)科問(wèn)題,我們可以深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性作用及其應(yīng)用價(jià)值,為多學(xué)科整合開(kāi)辟新的思路.

(完)