基于觀測(cè)器構(gòu)造不同階混沌系統(tǒng)的廣義同步理論研究*

徐燕燕

（江西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 南昌 330013）

0 引言

實(shí)現(xiàn)混沌同步的方法有多種，如自適應(yīng)控制同步[1]、觀測(cè)器控制同步[2]、滑模控制同步[3]、脈沖同步[4]等。現(xiàn)有文獻(xiàn)大多集中在混沌系統(tǒng)完全同步方面，廣義同步的研究很少，關(guān)于不同階混沌系統(tǒng)的研究更少。然而，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，如腦混沌的研究，可以利用低階系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)高階系統(tǒng)達(dá)到同步；循環(huán)系統(tǒng)和呼吸系統(tǒng)可以達(dá)到一致的行為。但兩系統(tǒng)本身的性質(zhì)卻有著本質(zhì)的差別，并且是不同階的，因此，研究此類問題有助于弄清復(fù)雜系統(tǒng)間的相互聯(lián)系[5-10]。

筆者通過對(duì)狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行擴(kuò)展，設(shè)計(jì)控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，基于預(yù)先確定的響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的函數(shù)關(guān)系，采用解析法構(gòu)造了混沌廣義同步的響應(yīng)系統(tǒng)。提出的同步方法不要求驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的線性部分穩(wěn)定就可以實(shí)現(xiàn)不同維混沌系統(tǒng)間的線性廣義同步，并且通過自適應(yīng)控制可以降低控制能量，提高同步速度，在實(shí)際中有更廣泛的應(yīng)用。

1 問題描述

考慮如下兩個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)：

其中，式（1）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，式（2）為待構(gòu)造的響應(yīng)系統(tǒng)；x∈Rn，y∈Rm，F(xiàn)和G可以是不同的函數(shù)。對(duì)于給定的映射φ：Rn→Rm，如果系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）滿足||x-φ(y)||=0，則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了廣義同步。若m=n，且φ為恒等映射，即為一般意義下的完全同步。

不失一般性，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）可分解為：

其中，Ax是F(x)的線性部分，f(x)是F(x)的非線性部分，A∈Rn×n是系數(shù)矩陣。有許多混沌系統(tǒng)可以做上述分解，如Chua’s電路、Lorenz系統(tǒng)、Chen’s系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)等等。

設(shè)系統(tǒng)（3）的輸出為：

其中，C∈Rn為輸出矩陣。C的選擇可以使系統(tǒng)所有狀態(tài)變量參與，也可以使部分可觀測(cè)的狀態(tài)變量參與。

研究的目標(biāo)是構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng)（2）的具體結(jié)構(gòu)，并在合適的控制器作用下，實(shí)現(xiàn)廣義同步。

在考慮線性廣義同步的情況下，有：

T∈Rn×m，n≤m，即所構(gòu)造的響應(yīng)系統(tǒng)可以是不小于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)階數(shù)的任意階系統(tǒng)。以下將構(gòu)造出響應(yīng)系統(tǒng)（2），并使之符合（5）。

首先對(duì)混沌系統(tǒng)和混沌信號(hào)做出如下假設(shè)：

假設(shè)1：

||h(x,t)||≤γ(x)，?x,t；||l(y,t)||≤β(y)，■y,t，且γ(t)和β(t)是連續(xù)的。

一般情況下，不管系統(tǒng)是處于平衡點(diǎn)、周期和混沌情況下，對(duì)所有的時(shí)間t均有：

那么，在假設(shè)1滿足的情況下，存在W,T∈R+，有：

首先引入變量e和ε，用e和ε分別表示狀態(tài)變量誤差向量和輸出誤差向量，則：

定理1：若系統(tǒng)（2）滿足：

T∈Rn×m是所選擇的任意矩陣，n≤m，T+∈Rm×n是矩陣T的偽逆矩陣，有TT+=In，In是n階單位矩陣。g(y)是可選擇的非線性函數(shù)，可以與f(x)相同，也可以不同，B和D由條件1求解，則在(A,K)滿足能觀測(cè)的條件下，即rank(K;KA;...KAn-1)=n時(shí)，系統(tǒng)（3）和（7）構(gòu)成的驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)系統(tǒng)滿足線性廣義同步式（5），且系統(tǒng)（7）是系統(tǒng)（3）的廣義狀態(tài)觀測(cè)器。

條件1：

其中：P、Q、L是適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣。

現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)具有如下形式的控制器U(t)：

U(t)=m0tanh(Kε)，其中m0∈R+，L由式（9）確定，稱為控制器的學(xué)習(xí)速率矩陣。

下面給出證明：變量誤差e=x-Ty，則誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為：

其中，l(x)=(DTD)-1DTf(x)，h(y)=(DTD)-1DTg(x)。

選擇Lyapunov函數(shù)為：V(e)=eTPe≥0

則：

由于sgn[Kε]TKε=||Kε||，所以因此，當(dāng)系統(tǒng)滿足條件1、假設(shè)1和式（6）的前提下，有如下結(jié)論：選擇m0≥2(W+T)時(shí)，為一負(fù)定函數(shù)，則式（10）的平衡點(diǎn)e=0是大范圍漸近穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)（3）和（7）實(shí)現(xiàn)廣義同步。

當(dāng)選擇的m0不滿足m0≥2(W+T)時(shí)，則不能確定兩系統(tǒng)是否實(shí)現(xiàn)同步控制。當(dāng)選擇的m0遠(yuǎn)大于2(W+T)時(shí)，雖然能實(shí)現(xiàn)同步且有較快的同步速度，但所需的控制能量較大，較大的控制能量在某些場(chǎng)合時(shí)不允許的，因此，正確估計(jì)出m0的大小并實(shí)現(xiàn)同步控制是必要的。可通過對(duì)m0設(shè)計(jì)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律來實(shí)現(xiàn)。給出如下定理。

定理2：考慮的兩個(gè)系統(tǒng)分別滿足條件1、假設(shè)1及式（6）的前提下，設(shè)計(jì)如下形式的自適應(yīng)控制律：

能得出如下結(jié)論：

證明：

選擇如下形式的Lyapunov函數(shù)：

V(e,m)=eTPe+[m-2(W+T)]2

則：

將[Kε]Tsgn(Kε)=||Kε||代入上述不等式可得到)＜-eTQe≤-λmin(Q)||e||2，那么：

即定理2得證。

2 仿真實(shí)例

為驗(yàn)證上述結(jié)論，下面給出蔡氏電路系統(tǒng)的數(shù)值模擬結(jié)果。其動(dòng)力學(xué)模型如下：

其中，f(x1)=bx1+0.5(a-b)(|x1+1|-|x1-1|)，當(dāng)a=-1.27，b=-0.68，α=10，β=14.87時(shí)，系統(tǒng)（11）處于混沌狀態(tài)，其吸引子相圖如圖1所示。

圖1 Chua’s電路的混沌吸引子相圖

根據(jù)式（7），構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng).=T+ATy+T+g(y)+T+Lε+T+DU，U=-mtanh(Kε)，=(Kε)Ttanh(Kε)。

任選初值為：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1 2 5），響應(yīng)系統(tǒng)（-1 -2-3 -4）。m的初值選為15，選取步長0.000 1進(jìn)行仿真，則誤差和m的動(dòng)態(tài)演化曲線如圖2和圖3所示。

圖2 廣義誤差e1和e2隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)曲線

圖3 誤差e3和自適應(yīng)量m隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)曲線

3 結(jié)論

綜上所述，筆者研究了與已知系統(tǒng)不同階且滿足響應(yīng)系統(tǒng)階數(shù)大于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)階數(shù)的廣義同步系統(tǒng)構(gòu)造理論及其應(yīng)用，所提方法適用范圍廣。構(gòu)造的系統(tǒng)中帶有控制器，當(dāng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)滿足一定條件時(shí)，不論系統(tǒng)處于何種狀態(tài)，都可以實(shí)現(xiàn)廣義同步；自適應(yīng)律的設(shè)計(jì)，使得所構(gòu)造系統(tǒng)可以在線調(diào)整參數(shù)誤差，有效地實(shí)現(xiàn)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步。用Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了嚴(yán)格證明，并用蔡氏電路進(jìn)行仿真，結(jié)果表明該方法是有效的，并且具有很好的魯棒性。這將進(jìn)一步提高廣義同步在保密通信中應(yīng)用的抗破譯性，提高保密通信的安全性。