一種柔性機械臂減振方法的研究

韓瑞泊 ，賈晨輝 ，孫 超

（長安大學工程機械學院，陜西 西安 710064）

0 前言

目前，機械臂在各個領域的應用越來越廣泛，尤其是在工業和航空領域。機械臂通?？梢苑譃閯傂詸C械臂和柔性機械臂，相比于剛性機械臂，柔性機械臂具有響應速度快、運動靈活性高、整體重量輕等優勢與特點[1]，但是柔性機械臂也更容易發生彈性變形，并且在運動結束后會有部分殘余振動，這就使得柔性機械臂的運動精度大大降低[2]。因此，解決柔性機械臂的殘余振動問題一直是機械臂研究領域的熱門話題[3]。

目前，振動控制有多種控制方法，其主要原理就是控制系統的動態響應，將系統的振動水平限制在允許的范圍內。柔性機械臂振動抑制方面的主要方法可以分為主動控制和被動控制[4]。主動控制需要額外增加外部能源作為作動器，通過對系統狀態的檢測和評估，從而采用一系列相應的措施來抑制系統的振動[5]，常見的方法有自適應控制技術[6]、模糊控制技術[7]、滑模變結構控制技術[8]、神經網絡控制技術等等[9]。被動控制則不需要額外供給能源，其作用與系統本身相聯系，系統不會增加額外的能量，反而在減振裝置發揮作用時會消耗一部分系統能量，從而達到阻斷能量向被控系統傳遞的目的[10]。主動控制又會根據控制信息的來源將其分為前饋控制和反饋控制，前饋控制是一種通過對系統特性的分析提前向系統輸入參數的控制策略，具有容易實現、防患未然的優點。

本文針對單連桿柔性機械臂，利用脈沖響應疊加為零的思想，提出了通過合理配置柔性臂運動參數達到減振效果的方法，詳細闡述了此減振方法的理論基礎和原理，并進行了實驗研究。該方法屬于主動控制范疇中的前饋控制，其計算非常簡單，控制系統簡潔且易于實現，能夠彌補現有控制方法的不足。

1 減振方法提出

本文運用脈沖響應疊加為零的思想，通過合理配置柔性臂運動參數實現對殘余振動的抑制。將高階系統簡化成二階系統，若輸入為兩脈沖信號，在t1=0時給被控對象施加一個幅值為A1的脈沖信號，系統會產生對應振幅的系統響應；再設置第二個脈沖信號的幅值，如果在t2時刻給被控對象施加一個幅值為A2的脈沖信號，讓第二個脈沖在t2時刻得到的響應軌跡和第一個脈沖在相同時刻獲得的響應軌跡大小相同、方向相反。那么在nT時刻以后，兩脈沖響應振幅之和等于零，這樣系統的殘余振動就會大幅減少。

本文研究的柔性機械臂輸入的信號是角加速度，輸出信號為末端振動位移。柔性臂的轉動過程分為“加速-勻速-減速”三段，中間的勻速階段角加速度為零，柔性臂不受力的作用，故不會產生形變。柔性臂的殘余振動主要源于加減速過程中發生的形變，運動結束后需要依靠自身阻尼衰減消除振動。加速段和減速段的加速度信號方式是相同的，均為矩形脈沖信號，如圖1（a）所示。根據信號與系統的理論，矩形脈沖信號可以通過單位階躍信號和延時單位階躍信號進行表示，兩個階躍信號的幅值相同、方向相反，所以圖1（a）所示的矩形脈沖信號可由圖1（b）表示，如式（1）所示。

圖1 矩形脈沖信號的合成與分解

在t1=0的時刻角加速度從0變化至ω0，給被控對象施加一次激勵；在合適的時刻t2使角加速度從ω0變化至0，施加第二次激勵；根據脈沖響應疊加為零的思想，選擇合適的延時時間t2和ω0的輸入幅值，即可有效地消除系統的殘余振動。

上文提及的脈沖響應疊加為零的思想作為振動機理分析的理論基礎，基于典型二階系統，對阻尼因素為零的系統進行減振機理分析并得出相關結論，為有阻尼系統的振動機理分析提供了理論參考。

2 減振機理分析

2.1 無阻尼系統減振機理分析

在控制工程領域中，二階系統的應用十分廣泛，一般情況下都是利用二階微分方程進行描述。柔性機械臂系統屬于高度非線性的復雜系統，在實際應用中可以用二階系統來近似表示較為復雜的系統。因此，本節以二階典型系統為例對本文的研究方法進行深入分析。首先引入系統阻尼比ξ和二階系統處于無阻尼情況下的固有頻率ω=1/T，單位為rad/s。由自動控制原理的相關理論知識得到，在閉環情況下標準化二階系統傳遞函數的表達形式如式（2）所示。

圖2為單位負反饋結構形式的標準化二階系統，R(s)為二階系統的輸入信號，C(s)為系統的輸出信號。

圖2 標準化二階系統

當系統的響應情形處于阻尼因素為零的時候，即ξ=0時的二階控制系統，設定輸入控制信號R(s)以單位階躍的形式輸入到系統當中，由式（2）可以得到系統輸出控制信號C(s)的計算式如下。

將式（3）兩邊去拉普拉斯反變換，可得式（4）：

式（4）表明，若二階系統處于無阻尼形式的時候，其單位階躍響應的表現形式為幅值不變的響應曲線，具體表現形式如圖3所示，振蕩角頻率為ω，在柔性機械臂系統中表現為柔性臂在受到外部激勵時作往復的振幅無衰減的擺動。

圖3 ξ=0時二階系統單位階躍響應

當單位階躍和延時單位階躍信號的二階響應疊加為零時，即可實現對系統殘余振動的抑制。由式（1）和（4）可得式（5）：

式中，t1為階躍信號跳變的時間；t2為延時階躍信號跳變的時間，t2-t1即延時時長。

因為階躍信號的階躍一旦跳變，此跳變會一直持續到時間無窮大，此時，輸出響應的平衡位置會根據階躍信號幅值的大小而變化。當單位階躍信號由0到1發生跳變時，輸出響應的平衡位置會從0變成1。固有圓頻率為ω的典型二階系統的單位階躍輸入信號和響應曲線如圖4所示。當階躍信號從零開始時，取t1=0，將其代入（5）式得到式（6），經計算得到式（7）。

由式（6）和（7）可知，在由階躍信號和延時階躍信號疊加形成的矩形脈沖信號中，當t1=0且滿足t2=nT時，兩次階躍信號的響應幅值大小相等，方向相反。故二階無阻尼系統的疊加響應為零，在柔性機械臂系統中的表現是系統的殘余振動被完全消除，輸出響應與輸入信號如圖4所示。

圖4 ξ=0時二階系統的輸入與輸出

綜上所述，研究團隊以單位階躍對典型二階系統的作用進行了證明，當階躍的幅值為任意大小ω0時，上述結論也是成立的。該結果表明，針對無阻尼機械臂系統運動，在任意加速度下只要加速運動時間t2滿足t2=nT，都能實現對系統殘余振動的完全抑制。

2.2 阻尼系統減振機理分析

實際工程應用中系統會存在阻尼因素，以本文的二階欠阻尼系統為例，即當0＜ξ＜1時，輸出量的拉普拉斯變換式如式（8）所示。

將式（8）進行拉普拉斯逆變換，可得到二階系統的單位階躍響應，如式（9）所示。

依據前文所述的減振方法，利用單位階躍信號和延時單位階躍信號疊加形成一個矩形脈沖信號，將矩形脈沖信號作為輸入信號輸入到二階系統中，矩形脈沖的響應即兩個階躍信號響應的疊加，具體如式（10）所示。

若要消除系統的殘余振動，需滿足t1=0且t2=nT。以系統固有周期為例的輸出響應如圖5所示。

圖5 有阻尼二階系統的單位階躍響應

以上論述分析解釋了矩形脈沖信號激勵的二階阻尼系統減振原理，因此，應當配置機械臂運動角加速度及角速度值使加速段的運動時間t約等于機械臂固有振動周期T或T的正整數倍，再利用系統響應疊加原理即可實現對系統殘余振動的有效抑制。

為了讓機械臂能穩定地停在所需要的位置，在施加控制加速的矩形脈沖信號給機械臂系統后，必須給機械臂系統施加一個控制減速的矩形脈沖信號，將矩形脈沖曲線積分后即是上文提到的三段式速度曲線。機械臂系統減速階段的外部脈沖和加速階段的矩形信號呈對稱關系，分析結果相同。速度-加速度-振動響應曲線如圖6所示。

圖6 速度-加速度-振動響應曲線

從速度-加速度-振動響應曲線可以看出，柔性機械臂在加速和減速運動過程中變形較大，在中間的勻速運動和運動結束后變形較小。由于阻尼系統自身存在衰減，當矩形信號前后兩次激勵幅值相同時，經過1個固有周期T后，其方向是相反的，大小也是不一樣的，故在阻尼系統中不能實現系統殘余振動的完全抑制。

由公式（10）可得，當t1=0且t2=T時，前后兩次響應幅值的比值為g(t)=eξωTsinωdT，所以針對二階阻尼系統殘余振動的最大抑制率為1-eξωTsinωdT。

3 結論

研究團隊在輸入整形原理的基礎上提出了柔性機械臂振動抑制的方法，基于無阻尼系統和有阻尼系統對本方法的減振機理進行了理論分析。發現當設置柔性機械臂的角加速度和角速度值使角速度除以角加速度等于機械臂固有振動周期的正整數倍時，柔性機械臂的殘余振動在運動結束后能夠得到有效抑制。