改進LuGre模型的電磁直線執行器自適應魯棒控制

譚草，黎德祥，葛文慶，李波，陸佳瑜

(山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255000)

0 引 言

電磁直線執行器相比傳統的滾珠絲桿直線傳動系統，動力傳遞路線縮短，響應迅速，具有高效節能的優點[1-2]。以電磁直線執行器為代表的直線直接驅動技術已經成為汽車線控、智能制造等領域研究的熱點。

電磁直線執行器是一個非線性強的耦合系統，未經衰減的負載直接作用于執行器，執行器參數的變化也直接影響系統的正常運行，這些因素都給執行器的控制帶來困難。從控制問題的角度看，高響應、高精確度是控制的基本問題[3-4]。電磁配氣機構等領域要求執行器實現“軟落座”，對落座速度要求嚴格[5-6]；文獻[7]針對電磁直線執行器模型的不確定性問題，提出了一種非線性自適應軌跡跟蹤的落座控制和一種基于極值搜索的多變量自適應控制；文獻[8]為應對變化負載力下的工作需求，提出了一種基于能量法的反饋控制器；摩擦力作為電磁直線執行器中普遍存在的非線性作用，在很多控制問題的研究中被簡化為未建模因素或者外部擾動，然而對摩擦力進行建模及補償對控制器的進一步提升具有重要意義。

從控制算法的角度看，傳統的PID控制、解耦控制和極點配置等方法以及現代控制算法如自適應控制、魯棒控制、預見控制和滑模變結構控制等方法都在執行器控制領域中不斷地得到應用[9-10]。其中自抗擾控制將擾動前饋補償與誤差反饋控制相結合，具有不依賴被控對象數學模型的優點，然而非線性因素過多往往造成參數調節困難[11]。文獻[12]設計過程基于帶寬的概念，降低了參考模型設計和控制參數調節的難度。近年來，基于積分反步的自適應魯棒方法發展迅速，文獻[13]給出了一種基于“積分反步”思想逐步設計非線性控制器的方法。文獻[14]提出了半正定反饋形式下的單輸入單輸出自適應魯棒控制方法，為了解決該方法不能獨立設計控制律和自適應律的缺陷，又在文獻[15]提出了期望補償的自適應魯棒控制理論。自適應魯棒控制串聯彈性執行器[16]、液壓執行器[17]、永磁同步電機[18]等在控制領域展現出了良好的控制性能，為控制系統魯棒性提供了可行的參考。

為使電磁直線執行器在獲得期望的響應與精確度，對動態摩擦力等非線性因素以及外界干擾等具有更好的魯棒性，本文提出對系統不確定性參數、摩擦狀態量進行在線自適應估計；結合摩擦補償自適應控制律，穩定反饋和魯棒控制設計基于改進LuGre模型的電磁直線執行器自適應魯棒控制，并對該方法的穩定性、參數影響、控制性能進行分析，通過仿真和試驗驗證所提方法的有效性。

1 結構與模型

1.1 結構與原理

本文采用的研究對象為一種高功率密度動圈式電磁直線執行器，為上下對稱的圓筒形結構，由外磁軛、內磁軛、永磁體、線圈和線圈骨架等部件組成，如圖1所示。電磁直線執行器工作原理詳見文獻[4]，執行器采用Halbach永磁陣列提高驅動能力，相鄰線圈電流方向相反以減小電樞反應，具有功率密度高、響應迅速等優勢。

1.2 模型建立

動圈式電磁直線執行器是機械、電路和磁路相互耦合[12]，電路子系統、磁路子系統以及機械子系統構成的方程組如下:

(1)

式中：u為電源電壓；ke為反電動勢系數；v為線圈運動速度；R為線圈電阻；i為線圈電流；L為線圈電感；Fe為電磁力；N為線圈匝數；B為磁感應強度；l為線圈的有效長度；km為電磁力系數；M為運動部件的質量；x為運動部件的位移；Ff為摩擦力；Fdis為建模誤差和其他的外界干擾。摩擦作為機械系統中最常見的一類非線性現象，其動力學具有高度的復雜性和不確定性，不能簡單地將摩擦力看作是一個常數。為更好地反映電磁直線執行器機械傳動的真實情況，采用了一種改進的LuGre動態摩擦力模型[19]，其數學表達式如下

(2)

式中：α0為鬃毛的剛度系數；z為系統的內部摩擦狀態；σ1為鬃毛的微觀阻尼系數；Af為庫倫摩擦系數；α2為粘滯摩擦系數；vs為Stibeck速度；正定函數g(v)用來描述Stibeck現象；σ0α0為庫倫摩擦的量級；σ0(α0+α1)為靜摩擦的量級。定義s(|v|)為一非遞增的連續函數

(3)

式中l1>l2>0為兩個切換速度。考慮電氣動力學的建模，其驅動電流i與控制電壓u的關系不能簡單地化簡為正比的關系，由于式(1)電路子系統中第三項相對于其他兩項很小，為簡化模型可忽略不計。結合式(1)、式(2)，可得到整個控制系統的動力學方程組

(4)

?θ∈Ωθ,θimin≤θi≤θimax,i=1,…,6。

(5)

(6)

式中：θimax和θimin為已知的常數;δ(x,t)為已知的形態方程；d(t)為未知但有界的時變擾動。

2 控制器設計

2.1 參數自適應設計

2.1.1 模型不確定性參數集自適應律設計

(7)

式中：Γ為一個連續可導且正定對角的自適應律矩陣；τ為自適應函數;p為類滑模變量；ψ的表達式為

(8)

此外，參數自適應不連續的映射函數[21]定義為

(9)

對任意τ的投影映射，可實現以下性質：

?θ∈Ωθ,θimin≤θi≤θimax,i=1,…,6。

(10)

(11)

2.1.2 時變非線性摩擦狀態量自適應律設計

為了解決動態摩擦力模型中狀態量z為不可測的問題。需分別對z1和z2進行自適應估計。因此，設計基于映射函數的雙重觀測器，使其對建模誤差有一定的魯棒性，即有

(12)

式中β1和β2的值分別為：

相應的投影映射函數可以表示為

(13)

式中：z1max=z2max=α0+α1;z1min=z2min=-α0-α1。對任意βj的投影映射，可實現以下性質：

(14)

(15)

式(10)和式(14)意味著參數和狀態的估計總是有已知的界。因此，可以綜合一定的魯棒控制律，以保證一般魯棒性能。此外，式(11)和式(15)的特性能夠使用自適應算法來消除參數不確定性的影響，從而大大改善穩態跟蹤性能。

2.2 自適應魯棒控制系統設計

自適應魯棒控制器包含自適應控制、魯棒控制和線性反饋控制3個部分，如圖2[22]所示。

定義電磁直線執行器的一個類滑模變量p和輸出跟蹤誤差e=x1-xd，并且有

(16)

式中：k1>0為常數增益；xd為電磁直線執行器的參考位移。由式(16)得

(17)

式(17)是一個穩定的收斂速度為k1的傳遞函數，當p很小或者是趨于0時，e也就會很小或者是趨于0。根據式(4)，對p求導得

(18)

自適應魯棒控制器[23]設計如下

(19)

式中：ua為自適應模型補償項；us為魯棒反饋項；us1為簡單的比例反饋，以穩定名義動力學；ks1為一足夠大的非線性增益；us2為用來減弱模型不確定影響的魯棒項，它滿足下面的2個條件：

(20)

式中：ε0和ε1為任意小的常數。一種滿足式(20)的us2為

(21)

式中：ks2為一足夠大的非線性增益；h0、h1和h2[24]為滿足以下條件的任意光滑邊界函數：

(22)

式中‖‖2代表歐幾里得范數。

2.3 控制器的穩定性證明

a)觀測器經過有限時間t0內收斂時，選擇Lyapunov函數為

(23)

證明：對式(23)進行求導并結合式(15)得

(24)

(25)

b)控制器經過有限時間t0內收斂時，選擇Lyapunov函數為

(26)

并且它有界于

exp(-λt)]。

(27)

其中λ=2ks1/θ1max。

證明：對式(26)進行求導并結合式(20)得

(28)

證明：選擇Lyapunov函數為

(29)

對式(29)進行求導，得

(30)

(31)

由于g(x2)>0,s(|x2|)≥0和us2p≤0得

(32)

3 控制性能分析

3.1 參數影響分析

為研究控制器參數與控制性能的相關性關系，通過相關系數矩陣進行相應的數據分析，基于皮爾遜相關系數來研究多變量的相關性問題，具體公式[25]為

(33)

式中：E(·)為數學期望；μX為樣本X的均值；σX為樣本X的標準差；μY為樣本Y的均值;σY為樣本Y的標準差。經計算可得到各個控制參數對系統性能影響的相關系數矩陣如圖3所示，圖中縱坐標表達式為

(34)

式中：JITAE為時間與誤差絕對值乘積的積分，它反映控制系統在轉換狀態時，以最小代價的損失實現控制目的；tr為系統的響應時間，定義為系統從10%到90%的參考位移所經歷的時間，它反映控制系統的響應速度；σ(%)為超調量；gi為θi對應的正定對角矩陣系數。

從圖可知，σ(%)與k1負相關度最大，tr與k1正相關度最大，k1對JITAE也有明顯影響。σ(%)與ks1的正相關度最大，與ks2的正相關度次大；tr、JITAE與ks2的負相關度最大，與ks1的負相關度次大。ks1和ks2為自適應魯棒控制中的兩個關鍵控制參數，這與實際控制規律吻合。執行器工作中不可避免地會產生系統參數變化，在確定控制參數之后，圖4進一步分析系統參數對系統控制性能的影響。為了比較，考慮PID算法[26]

(35)

式中Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分因子。

自適應魯棒控制中線圈電阻對σ、tr與JITAE影響都最大，執行器應用中應合理設計散熱方案以避免溫升帶來的電阻變化；PID控制中，線圈電阻對k1與JITAE影響最大，電磁力系數對σ影響最大。系統動質量、線圈電阻以及電磁力系數在自適應魯棒控制中對控制性能的影響顯著小于在PID控制中，說明自適應魯棒控制對系統參數變化敏感程度較低。

3.2 干擾抑制分析

為分析系統對負載擾動的抑制能力，以式(4)為研究對象，分別進行式(35)的PID控制和式(14)中的魯棒控制項us的魯棒控制，并與自適應魯棒控制進行對比分析。在達到目標位移xd=5 mm之后(25 ms時)，負載從0 N突變為100 N，不同控制算法下系統響應如圖5所示。由于負載擾動，穩定在目標位移的執行器迅速偏離目標位移；PID控制、魯棒控制和自適應魯棒控制偏離目標位移的最大值分別為0.25、0.12和0.05 mm，調節過程中自適應魯棒控制位移偏移的最大值顯著小于魯棒控制與PID控制；在反饋控制作用下執行器重新回到目標位移并保持穩定的時間為6.5 ms，相比于PID控制和魯棒控制分別縮短了110.7%、16.9%。顯著小于魯棒控制與PID控制的調節時間。自適應魯棒控制外部負載擾動情況下調整能力優于魯棒控制與PID控制。

圖6為系統在白噪聲干擾下的軌跡跟蹤曲線對比，期望位移xd=0.008sin(8πt)m，由圖可知，PID控制、魯棒控制和自適應魯棒控制在白噪聲干擾下都能實現對目標位移的漸進跟蹤，最大誤差分別為1.13、0.79和0.24 mm，自適應魯棒控制的跟蹤誤差與穩定性顯著優于PID控制和魯棒控制。說明在電磁直線執行器運動過程中受到持續的外界信號干擾時，仍然能有效地消除摩擦力帶來的不利影響，從而提升控制精確度和系統穩定性。

4 試驗與分析

為驗證提出算法對電磁直線執行器的有效性，搭建了如圖7所示的試驗平臺，通過基于DSP2812的控制器實現控制算法，控制器集成了電流傳感器與H橋驅動模塊，執行器的位移由激光位移傳感器實時檢測并顯示在上位機中。被控的電磁直線執行器工作行程為20 mm，線圈256匝、電阻為1.18 Ω，動質量為0.250 kg。

為驗證所設計摩擦補償控制算法的有效性，將所該算法與PID控制方法和魯棒控制方法在相同的試驗條件下進行比較。設置期望xd=15 mm的階躍位移，電磁直線執行器不同控制算法下的系統響應曲線如圖8所示。

由試驗結果可知，由于起步階段的動態滯后現象，系統運動速度較緩慢。隨著控制器的控制作用，系統快速運動，并朝著目標位移靠近。最終，PID控制、魯棒控制和自適應魯棒控制都能實現系統對位置階躍信號的不超調跟蹤，穩態誤差趨于0，系統位置響應誤差滿足系統靜態跟蹤精確度要求。自適應魯棒控制相對于魯棒控制和PID控制的時間分別縮短了6.9和9.8 ms。在保障穩態精確度前提下，自適應魯棒控制的響應速度更快。由圖8(b)可知，整個跟蹤過程中，辨識出的動態摩擦內部狀態收斂于之前離線辨識出的結果。自適應魯棒控制對非線性摩擦力的補償效果，顯著大于PID控制和魯棒控制。對比可知，自適應魯棒控制能夠有效克服非線性摩擦對控制系統的影響，更好地消除摩擦帶來的反應遲緩，實現快速跟蹤。

圖9為不同控制算法下電磁直線執行器斜坡響應結果曲線，不同控制算法下，執行器都能在10 mm內跟蹤目標曲線，證明了電磁直線執行器快速響應的特性。其中，本文提出的控制算法下，執行器在5 mm以內跟蹤目標曲線，且穩態誤差趨近于0，在響應速度與控制精確度上優于PID控制以及魯棒控制。

圖9(b)為自適應魯棒控制下控制器輸出占空比與執行器線圈電流曲線，響應之初輸出占空比為滿占空比，從而實現執行器的快速響應；隨后占空比迅速調節為負值，線圈電流隨之變為負值以實現執行器動子的減速；最后占空比和電流保持在固定值，執行器動子勻速運動、穩定跟蹤目標斜坡曲線。

為驗證自適應魯棒控制的軌跡跟蹤性能，設置期望位移xd=0.008sin(8πt)，電磁直線執行器不同控制算法下的軌跡跟蹤曲線如圖10所示。在第一個峰值處，自適應魯棒控制相位滯后時間和相對誤差分別為0.1 ms和0.1%；PID控制和魯棒控制相位滯后時間分別為0.7和0.3 ms，相對誤差分別為3.7%和2.8%。隨后，自適應魯棒控制相位滯后時間和相對誤差逐漸趨近于0。整個跟蹤過程中，自適應魯棒控制的跟蹤誤差與相位滯后時間，顯著小于PID控制和魯棒控制下的跟蹤誤差；對比可知自適應魯棒控制不僅能夠提高系統的瞬態響應性能，而且能夠以更高的精確度跟蹤連續位置指令，更好地消除摩擦帶來的跟蹤誤差，實現平穩跟蹤。

4 結 論

1)為提升電磁直線執行器在動態摩擦力下的跟蹤性能與干擾抑制性能，提出基于改進LuGre模型的電磁直線執行器自適應魯棒控制方法，在保障控制精確度前提下，響應迅速，能夠有效克服非線性摩擦、外界擾動和系統參數不確定性的影響。

2)基于改進LuGre模型的電磁直線執行器自適應魯棒控制中，非線性增益ks1與ks2是影響控制性能的關鍵參數；線圈電阻變化對超調量、JITAE與響應時間影響皆較大，需合理設計散熱方案以避免溫升帶來的電阻變化。