多思維切入 妙角度拓展
——以一道零點問題的探究為例

江蘇 韓文美

函數零點問題是函數與方程中的基本知識和重要內容，一直是歷年高考中的熱點和重點問題之一．此類問題內容豐富、融合度高、交匯性強、創新度高，同時又能合理滲透高中數學中重要的數學知識與思想方法，有機融入函數與方程思想、“動”與“靜”之間的合理轉化等辯證思維，是充分體現與考查數學知識及數學能力的一個好場所，備受各方關注．

1．問題呈現

【問題】(2022·浙江省溫州市普通高中高考適應性測試數學試題(溫州二模)·17)已知a>0，函數f(x)=x4+x3+ax+a2有且僅有兩個不同的零點，則a的取值范圍是________．

此題以含參的四次函數為問題背景，結合參數的取值限制，利用函數的零點個數情況來確定參數的取值范圍，難度較大．具體解決問題時，可以通過函數的圖象思維、方程思維、解析幾何思維以及不等式思維等不同的思維方式來切入，結合零點的個數情況進行綜合分析與判斷，實現參數的取值范圍的確定．

2．問題破解

思維視角一：圖象思維

方法1(圖象轉化法1)：

解析：由f(x)=0，可得x4+x3=-a(x+a)，

結合函數f(x)=x4+x3+ax+a2有且僅有兩個不同的零點，可知函數g(x)=x4+x3與直線y=-a(x+a)的圖象有兩個不同的交點，

又g(-1)=g(0)=0，可得函數g(x)的大致圖象，如圖所示，過點A(-1，0)，O(0，0)，

由a>0，可得直線y=-a(x+a)與x軸負半軸交于點B(-a，0)，

結合圖象可得，函數g(x)的圖象與直線y=-a(x+a)相切時有且僅有一個交點，易得切點為A(-1，0)，此時B(-1，0)，

所以當a=1時，函數g(x)的圖象與直線y=-a(x+a)相切，結合直線y=-a(x+a)的斜率與零點的關系，數形結合可知，當01時，函數g(x)的圖象與直線y=-a(x+a)沒有交點，所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思：根據函數所對應的方程，結合零點情況拆分為一個函數與一條直線的交點個數問題，進而利用函數圖象的單調性與直線的位置關系來直觀分析，數形結合，巧妙轉化，是解決此類高次函數零點問題中比較常用的解題技巧．正確的拆分與轉化是關鍵所在，動直線是其中一個比較常見的問題．

方法2(圖象轉化法2)：

解析：由于a>0，當x≥0時，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據題目條件，可知函數f(x)有且僅有兩個不同的負零點，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

又g(-a)=0，可得函數g(x)的大致圖象，如圖所示，同時在同一平面直角坐標系中作出二次函數y=-(x2+x)的圖象.

數形結合可知，只需-1<-a<0，即0

解后反思:根據分離函數法，將函數有兩個零點的問題轉化為兩個函數圖象有兩個公共點問題，然后運用數形結合直觀地求出參數的取值范圍．這里分離函數中將求復合函數參數的取值范圍問題轉化為一個含參的復合函數以及一個常見的二次函數圖象的交點變化與個數確定問題，從而運用數形結合解決問題．

思維視角二：方程思維

方法3(換元法)：

解析：由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

解后反思：根據函數所對應的方程，通過恒等變換處理，利用換元轉化為二次函數方程，結合二次函數求根公式，通過根的性質以及函數零點的個數情況構建對應的不等式，通過求解不等式來確定參數的取值范圍．合理的利用恒等變換方法進行處理為問題的進一步分析與解決提供一定的思維依據，變換的過程往往是朝著熟知的知識方向進行．

方法4(方程轉化法)：

解析：由于a>0，當x≥0時，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據題目條件，可知函數f(x)有且僅有兩個不同的負零點，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思:根據函數所對應的方程，通過恒等變換，將函數零點問題轉化為方程的根的問題來處理，利用二次方程的判別法求得參數的取值范圍．再利用參數條件以及函數的特征確定函數具有兩個不同的負零點，是解決問題的關鍵所在，為后面進一步的方程求根指明方向，回避不必要的分類討論．

思維視角三：解析幾何思維

方法5(距離轉化法)：

解析：由于a>0，當x≥0時，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據題目條件，可知函數f(x)有且僅有兩個不同的負零點，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思：根據函數所對應的方程，通過恒等變換，合理配方，利用配方后關系式的結構特征，將問題轉化為相應曲線上的點到定點距離為定值的點的個數問題，利用圖形直觀想象，數形結合得出參數的取值范圍．通過距離這一特殊結構特征，合理構建，數形結合直觀處理，更加簡潔有效．

思維視角四：不等式思維

方法6(均值不等式法)：

解析：由于a>0，當x≥0時，f(x)=x4+x3+ax+a2≥a2>0，

根據題目條件，可知函數f(x)有且僅有兩個不同的負零點，

由f(x)=0，可得x4+x3+ax+a2=0(x≠0)，

即x2+2x+a<0，

結合判別式Δ=4-4a>0，解得a<1，即0

所以a的取值范圍是(0，1)．

解后反思:根據函數所對應的方程，通過恒等變換，將函數零點問題轉化為方程的根的問題來處理，借助均值不等式的轉化以及因式分解進行變形與轉化，得以確定對應的不等式成立，利用方程的判別法構建不等式來確定參數的取值范圍．合理借助均值不等式的放縮與轉化，為問題的解決提供更加直接有效的途徑．

3．變式拓展

探究1：保留題目創新情境，改變參數a的限制條件為一般性條件，由“a>0”拓展為“a∈R”，使得問題的分類與研究更加廣闊，從而得到以下更為一般性的變式問題．

【變式1】已知a∈R，函數f(x)=x4+x3+ax+a2有且僅有兩個不同的零點，則a的取值范圍是________．

解析：當a=0時，由f(x)=x4+x3=x3(x+1)=0，可得x=0或x=-1，函數f(x)恰有兩個不同的零點；

當a>0時，由以上問題的方法5，可得a的取值范圍是(0，1)；

探究2：根據變式1及其解析過程，在一般條件下進行全面系統地討論對應函數的零點個數問題，從而得到以下對應的變式問題．

【變式2】已知a∈R，試討論函數f(x)=x4+x3+ax+a2的零點個數情況．

具體解析過程可以參照原問題的解析與變式1中的解析過程，得到以下對應的結論：

(2)當a=1時，函數f(x)有且僅有一個零點；

4．教學啟示

(1)總結常規方法，歸納常見思維

解答一些函數零點的相關問題時，最常用的方法就是借助函數的圖象，數形結合直觀解決，利用合理代數運算與恒等變換，轉化為比較熟知的基本初等函數問題或可以求導確定函數單調性的對應函數問題等，巧妙分離參數，合理做到一“靜”一“動”或一“直”一“曲”，“動”直線，“靜”曲線，巧平移，妙變換．借助函數的圖象，“直”“曲”分離，數形結合，“動”“靜”配合，直觀想象．

(2)倡導“一題多解”，實現“一題多得”