函數性質與導數的易錯分析
——以2022年新高考Ⅰ卷第12題為例

廣東 莫 祺

函數與導數是高中數學的核心模塊，也是高考的難點，常常出現在各種題型(選擇、填空、解答)比較靠后的位置，綜合性較強，很多學生無法找到題眼，經常在關鍵點上出錯，得分率低.本文以2022年新高考Ⅰ卷第12題為例，剖析抽象函數性質及圖象變換、原函數與導函數的對稱關聯性中的易錯點，并梳理此類問題的解題思路，以期提高此類題的正確率.

一、試題呈現

C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)

【參考答案】BC

(易錯：忽視復合函數可看成一個新的函數)

故f(3-x)=f(x)，則f(-1)=f(4)，故C正確；

(易錯：復合函數求導時，內層函數不求導)

(易錯：不熟悉雙對稱的函數隱含著周期性)

g(-1)=g(1)=-g(2)，故D錯誤；

由[f(2+x)+f(2-x)]′=g(2+x)-g(2-x)=0知，

f(2+x)+f(2-x)=c(c為常數)，

(易錯：混淆圖象的平移、伸縮、翻折變換對應復合函數的變化)

下面來看原函數與導函數圖象之間對稱性的關系：

(易錯：忽略了通過函數對稱性找極值點)

(易錯：不能熟練掌握導數幾何意義在圖象變化趨勢中的應用)

而若f′(x)關于x=2對稱，x1+x2=4，f′(x1)=f′(x2)，f(x)在x1和x2處切線的斜率相等，則f(x)關于點(2,c)對稱，f(x)也是周期為2的周期函數，下同方法一.

(易錯：習慣性地將對稱中心的縱坐標寫成0)

二、易錯數據

2022年新高考Ⅰ卷給人眼前一亮的感覺，考生普遍表示難度大，和平時做的題很不一樣.試卷在基礎性、綜合性、應用性、創新性方面進行了深入的考查，對概念和方法的理解不深刻的同學肯定是比較吃力的，也給了一味刷題、不重視基本概念的同學當頭一擊，對中學數學改革起到了積極的引導和促進作用.對于上面的例題，某所國家級示范性高中的一個平行班學生(已經完成了函數與導數章節的第一輪復習)在周測中的易錯數據如下：

易錯數據分析表易錯點名稱混淆抽象函數性質及圖象變換、原函數與導函數的對稱關聯性題源名稱2022新高考Ⅰ卷第12題(多選題)班級人數44該題平均分1.89選對人數5漏選人數29錯選人數10

從上面的數據可以看出，得分很不理想，平均分不足2分，29名漏選的同學中，22名同學都是選了C，7名同學選了B，說明這個班的同學們基本上掌握使用定義判斷抽象函數的對稱性，10名錯選的同學們基本上都是選了A，也反映了少數同學的思維局限于x軸上的對稱中心.

三、易錯分析

這道考查函數性質與導數的綜合題是2022年新高考Ⅰ卷中選擇題的壓軸題，要求學生在抽象函數的背景下，理解函數的奇偶性、對稱性、導數等概念以及它們之間的聯系，對數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養都有較高的要求.方法一從函數對稱性的定義出發，通過復合函數求導，找到導函數新的對稱關系，雙對稱得到周期性，易錯點主要是函數性質的概念不清晰及復合函數求導錯誤.方法二從圖象變換出發，通過三種變換得到函數的對稱關系，再根據原函數圖象與導函數圖象之間的關系尋找新的對稱關系，重視數形結合的思想，易錯點是圖象變換關系混亂、原函數與導函數的對稱關聯性掌握不熟練，下面對易錯點進行詳細的敘述：

四、易錯練習

1．(2021·新高考Ⅱ卷·8)設函數f(x)的定義域為R，f(x+2)為偶函數，且f(2x+1)為奇函數，則( )

C．f(2)=0 D．f(4)=0

【參考答案】B

【解題思路】由函數f(x+2)為偶函數，則f(2+x)=f(2-x)，f(x)關于x=2對稱.由函數f(2x+1)為奇函數，則f(1-2x)=-f(2x+1)，所以f(1-x)=-f(x+1)，則f(x)關于(1,0)對稱，故函數f(x)是以4為周期的周期函數.

(易錯：忽視復合函數可看成一個新的函數)

因為函數F(x)=f(2x+1)為奇函數，則F(0)=f(1)=0，

(易錯：忽視奇函數F(0)=0)

故f(-1)=-f(1)=0，其他三個選項未知，故選B.

【參考答案】D

【解題思路】因為f(x+1)是奇函數，所以f(-x+1)=-f(x+1)， ①

因為f(x+2)是偶函數，所以f(x+2)=f(-x+2).②

由兩個對稱性可知，函數f(x)的周期T=4．

(易錯：不熟悉雙對稱的函數隱含著周期函數)

令x=1，由①得,f(0)=-f(2)=-(4a+b)，由②得,f(3)=f(1)=a+b，

因為f(0)+f(3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6?a=-2，

令x=0，由①得,f(1)=-f(1)?f(1)=0?b=2，所以f(x)=-2x2+2．

(易錯：漏掉隱含條件，若函數在對稱中心處有定義，那么對稱中心一定在函數圖象上)

【參考答案】B

【解題思路】因為當x∈(0,1]時，f(x)=x(x-1)，f(x+1)=2f(x)，所以f(x)=2f(x-1)，即f(x)的函數圖象向右平移1個單位長度，圖象的縱坐標變為原來的2倍，如圖所示.

當2

(易錯：運用圖象解析式求解的過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側擴大到2倍)

五、函數與導數的教學建議

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》強調通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.相比較其他模塊，新高考對函數、導數的“四基”和“四能”要求更高，考查力度也呈現加大的趨勢，不僅題型在變化，難度、深度也在增加.因此，在這一知識模塊的復習過程中，一定要腳踏實地，落到實處，具體來說：

1.重視數學概念的生成，引導學生抽象概括.高三的概念復習不是簡單地復述，更應該是在新情境下再次升華，理解數學概念的本質.比如抽象函數的對稱性，不只是記住f(a+x)=f(a-x)表示f(x)關于x=a對稱，而要理解a+x與a-x表示數a向左或向右平移|x|個單位長度后，對應函數值相等，由x的任意性推出f(x)圖象的對稱性.數學概念的理解既是正確思維的前提，又是提高數學解題能力的必要條件.以下兩個誤區要避免，其一是認為概念的學習單調乏味,不去重視它,導致對概念的認識模糊；其二是對基本概念沒有理解透徹,只是機械、零碎的認識，結果導致學生在無法形成能力的情況下匆忙去解題,只會模仿老師解決某些典型的題和掌握某類特定的解法,一旦遇到新情境的題目就束手無策.

2.細致梳理主干知識，歸納常見的數學模型.高三需要以課本為中心，充分發揮課本的主導作用，弄清每個章節的知識點和要求，弄清基本規律的來龍去脈，構建出清晰的知識體系.復習的過程可以使用思維導圖，圍繞一條主線，從點到面進行拓展梳理，再總結一般規律回歸到通法.比如含參函數的單調性的分類討論，從f′(x)=0是否有根、根是否在定義域內、比較根的大小、二次型函數開口方向等進行討論，再借助圖象(一次型或二次型函數)寫出單調區間，學生需要熟練這條主線的每個細節.