探究真題命題導向 深化創新思維發展
——2022年創新性高考試題及變式選登

山東 貴州 尹承利 李 寒 蘇 福

圖1

圖2

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

【參考答案】D

【創新點說明】本題結合數學學科知識，展示數學文化，感受數學之美，取材于中國古建筑物，以中國古代建筑中的舉架結構為背景，考查學生綜合應用等差數列、解析幾何、三角函數等基礎知識解決實際問題的能力，讓學生領略中華民族的智慧和數學研究成果，進一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國主義情感，體現了高考試題的創新性原則.

【變式】第41屆上海世博會的中國館——“東方之冠”氣勢磅礴，令人印象深刻.該館以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”為設計理念，代表中國文化的精神與氣質.其形如冠蓋，層疊出挑，制似斗拱.它有四根方柱，托起斗狀的主體結構，上方的“斗冠”類似一個倒置的正四棱臺，若“斗冠”的高、“斗冠”側面的高和中國館的總高度構成公差約為17 m的等差數列，且“斗冠”側面的“坡比”約為0.78，“斗冠”側面的高約為44 m，則上底面邊長與下底面邊長的差約為( )

A.45 m B.54 m C.69 m D.76 m

【參考答案】C

【解題思路】如圖為中國館“斗冠”的直觀圖，

【變式說明】中國館融合了中國古代營造法則和現代設計理念，詮釋了東方“天人合一，和諧共生”的哲學思想，展現了藝術之美、力度之美、傳統之美和現代之美，是對中國文化的最好表達.本題以“中國館”為背景，融合等差數列、立體幾何、坡比等知識及列方程組計算的方法，知識交匯命制，考查直觀想象、邏輯推理及數學建模等數學核心素養，尤其本題引入初中學習的“坡比”概念，體現了對知識的基礎性和全面性的考查要求.

【參考答案】B

【創新點說明】本題結合學科知識，展示數學文化，取材于我國古代科學家沈括的杰作《夢溪筆談》，以沈括研究的圓弧長計算方法“會圓術”為背景，讓學生直觀感受我國古代科學家探究問題和解決問題的過程，引發學生的學習興趣，體現了高考試題的創新性原則.

【創新點說明】本題結合學科知識，展示數學文化，以“南宋數學家秦九韶發現的從三角形三邊求面積的‘三斜求積’方法”為背景，在《普通高中課程標準實驗教科書A版必修5》的閱讀與思考“海倫和秦九韶”的基礎上進行創新,設置優秀傳統文化情境，體現了高考試題的創新性原則.

A.6平方米 B.9平方米

C.12平方米 D.15平方米

【參考答案】B

【變式說明】《九章算術》是我國較早的一部流傳至今的著名數學專著.《九章算術》內容豐富，而且大多和實際生活密切聯系，這些密切聯系實際生活的題材，反映出我國古代先賢的智慧，同時也顯示出古代中國數學的研究多以實用性為主.本題以《九章算術》中“算弧田面積所用的經驗方式”為背景，與高考中的圖形相匹配，讓學生領略中華民族的智慧和數學研究成果，進一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國主義情感.

【參考答案】A

【變式說明】在《普通高中課程標準實驗教科書A版必修5》的閱讀與思考“海倫和秦九韶”的基礎上進行創新,首先給出一段閱讀材料，然后利用題中所給公式，運用正弦定理和整體思想求解，旨在弘揚中華優秀傳統文化，讓學生感受中國的傳統文化之美并予以傳承.

【參考答案】C

【變式說明】在《普通高中課程標準實驗教科書A版必修5》的閱讀與思考“海倫和秦九韶”的基礎上進行創新，在已知三角形面積的前提下，逆用秦九韶公式求邊長，以此引導學生理解數學，感受探究、解決數學問題的過程，進而體會中國古代數學的偉大貢獻，增強愛國主義情懷.

A．c>b>aB．b>a>c

C．a>b>cD．a>c>b

【參考答案】A

【創新點說明】本題是2022年全國甲卷第12題，主要考查三角函數大小的比較；考查了學生運用所學知識分析、轉化、解決問題的能力，同時也考查了學生的觀察能力與運算能力，體現了高考的全面性、基礎性和綜合性原則；比較大小問題在選擇壓軸題出現過若干次，與以往不同的是，之前大多是以指數和對數為背景的比較大小，而今年則是以三角函數為背景的比較大小，體現了高考的創新性原則.

A．c>b>aB．b>c>a

C．c>a>bD．a>b>c

【參考答案】A

【解題思路】方法一(作商法)：

觀察答案A和B,我們需要比較b和c的大小，

故選A.

方法二(作差法)：

所以a

觀察答案A和B,我們需要比較b和c的大小，

方法三(構造函數法)：

a和b的大小比較同上，這里就不贅述了，我們這里著重比較b和c的大小，

f′(x)=cosx-cos2x+2xsin2x=-2cos2x+cosx+1+2xsin2x,

所以有c-b>0，即c>b，故選A.

方法四(泰勒公式)：

新人教版A版教材必修一第256頁習題第26題是這樣的：

英國數學家泰勒發現了如下公式：

其中n!=1×2×3×4×…×n.

試用你的計算工具計算cos0.3，并與上述結果比較.

根據上述的描述，我們也用前三項來計算，可得

比較可得答案，故選A.