發現元素關聯構造同構方程發現元素關聯構造同構方程

◎沈杜宇 劉凱峰

(1.南通大學數學師范211班，江蘇 南通 226019；2.南通大學理學院數學系，江蘇 南通 226019)

一、構造同構方程

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出，應當注重發展學生的數感，數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果等方面的感悟.在中學數學學習中“式”也不在少數，類比于“數感”，我們可以提出“式感”.構造函數、構造方程等就反映了解題者對不同變量、不同數學對象之間的關系所具備的平衡感與敏銳度.相對而言，“式感”應該是一種比“數感”更復雜、更微妙的感悟.

同構方程簡單地說就是“同樣結構的方程”，即若干個元素具有同樣的關系式，滿足同一個方程.當然，同構方程一般比較隱蔽，需要我們用敏銳的眼光去發現，并將之呈現出來.在高中數學學習中，同構思想經常出現，近年來的高考數學試卷中也頻頻出現利用同構思想解題的題目.例如，ex≥ln(x+a)+a可以巧妙地變形為ex+x≥eln(x+a)+ln(x+a)，于是我們構造函數F(x)=ex+x，原不等式即F(x)≥F(ln(x+a))，利用函數的性質可推出x≥ln(x+a).本文我們不打算談大家比較熟悉的同構函數，而主要談談同構方程.

二、構造同構方程舉例

下面我們舉數列、代數、解析幾何方面的9個例子，這些例子都是先通過觀察發現兩個不同的數學對象滿足相同的數學關系，然后構造相同的方程，簡潔明快地解決問題.解決這一類問題往往比較困難，解題者一拿到手可能沒有思路，尤其是一些問題中并沒有出現式子，需要解題者在思考過程中敏銳地覺察出題中隱含了一個與其他式子相同結構的式子，得到同構方程.

證明因為a1=0,a2=1，所以由題設知當n≥1時an+1>an.

①

當n≥2時，把①式中的n換成n-1得

②

再由a1=0,a2=1及上式可知，當n∈N+時，an都是整數.

例2設am+an=ap+aq,a3m+a3n=a3p+a3q，(a>0,a≠1).

證明：mn=pq.

證明據第一式立方,得a3m+a3n+3am+n(am+an)=a3p+a3q+3ap+q(ap+aq)；

所以有am+n=ap+q，故得m+n=p+q.從而am·an=ap·aq.

若記am+an=ap+aq=b，am·an=ap·aq=c，則am,an是方程x2-bx+c=0的兩根，

ap,aq也是此方程的兩根，因此，am=ap，an=aq，得m=p,n=q；或者am=aq，an=ap，得m=q,n=p.總之都有mn=pq.

點評容易看出本題與立方和公式有關.已知兩數和與兩數積，逆用韋達定理構造方程是一種高級技巧.

從而，每個vi均為此二次方程的兩根之一.對于固定的s，設這兩個根為a，b.

否則，a，b之一至少出現5次.不妨設vi中a出現了5+k(0≤k≤4)次，剩下的vi為b，且出現了5-k次，又所有的vi均不小于1，由均值不等式得

故6ab=9a2+b2?(b-3a)2=0?b=3a.

將10個方程相加得v1+v2+…+v10=16.

例4(2011年浙江高考)如圖1，已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

圖1

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離.

(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點)，過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

設PA，PB的斜率為k1,k2(k1≠k2)，則k1,k2是上述方程的兩根，所以

將①代入y=x2得x2-kx+kx0-x02=0，

由于x0是此方程的根，故x1=k1-x0,x2=k2-x0,

例5已知拋物線y=x2，圓E： (x-2)2+y2=1，拋物線上三點分別為A(a,a2),B(b,b2)和C(c,c2)，這里a≠±1，且AB,AC均與圓E相切.試用a表示b+c,bc.

解析直線AB的方程y-(a+b)x+ab=0.

又圓心(2,0)到AB的距離為1，

化簡得(a2-4a+3)b2+(6a-4a2)b+3a2-1=0.

同理有(a2-4a+3)c2+(6a-4a2)c+3a2-1=0.

即b,c是關于x的一元二次方程(a2-4a+3)x2+(6a-4a2)x+3a2-1=0的兩根.

點評從目標式b+c,bc，我們能看出一點韋達定理的影子.

例6已知實數p>0，且過點M(0,-p2)的直線l與曲線C：x2=2py交于A,B兩點.

(1)設O為坐標原點，直線OA,OB的斜率分別為k1,k2，若k1·k2=1，求p的值.

圖2

設直線AB方程為y=kx-p2，與x2=2py聯立，消去y，得x2-2pkx+2p3=0.

所以x1·x2=2p3=4p2，所以p=2.

(2)證明設點N(x0,y0)，T1(x3,y3)，T2(x4,y4)，

則點T1處的切線方程為x·x3=2(y+y3)，代入點M，得y3=4，同理可得y4=4.所以直線T1T2的方程為y=4，所以y0=4.

點評兩組相關點法，如果蘊含某種對稱性，往往就會出現同構方程.

例7已知拋物線x2=4y，直線y=kx+1交拋物線于A,B兩點，P是拋物線外一點，連接PA,PB分別交拋物線于點C,D，且CD∥AB.若k=1，求點P的軌跡方程.

圖3

同理可得x2也為方程的根.聯立①式得x1+x2=2x0=4k=4，解得x0=2.

所以點P的軌跡方程為x=2(y<1).

點評解析1利用了向量、定比分點知識來表明平行關系；解析2利用了斜率來表明平行關系.處理好了一個數學對象，若能如法炮制處理另一個數學對象，就有可能構造出一個共同代數式、函數、方程等.當然，構造方程解決問題不一定會更簡單，例如本題解析2沒有利用同構方程而解答更加簡單.

(1)證明：點Q是線段MN的中點.

(2)分別過點M,N作雙曲線的切線l1,l2，證明：三條直線l,l1,l2相交于同一點.

(3)設點P為直線l上一動點，過點P作雙曲線的切線PA,PB，切點分別為A,B.證明：點Q在直線AB上.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1,x2是方程的兩根，所以x1+x2=-2，

于是，無論x0取什么值(即無論P為直線l上哪一點)，點Q(-1,-1)都在直線AB上.

點評本題是一道2007年全國高中數學聯賽浙江省預賽題，題目結論優美，綜合性較強，集中體現了構造同構方程解決問題的思想方法.如果解題者不具備構造同構方程求解的經驗，解題過程會比較煩瑣，甚至困難重重.

三、結束語

構造同構方程需要學生有較高的數學素養，但這不是一朝一夕就能掌握的.在平時的教學中，數學教師可以選取典型題目，采用兩種方法進行分析，一種方法不需要構造同構方程，另一種方法則需要構造同構方程，通過對比，讓學生體會構造同構方程解題的巧妙之處.在初中數學學習和高中數學學習中，學生都會遇到構造同構方程的問題，尤其是高中階段學習解析幾何的內容時，這樣的問題更多些.教師在高中二輪復習數學思想方法微專題教學中，可以開辟類似的專題引導學生總結反思，有利于提高學生的數學素養.