初中數學畫圖解題能力的培養初探初中數學畫圖解題能力的培養初探

◎張武光

(福建省詔安縣紅星中學，福建 漳州 363500)

在學習數學知識時，學生若不懂得如何去分析數學題目中的畫圖信息，不會畫出具有針對性的圖形和圖像，則很難深入分析數學問題，且會導致一些數學問題無法得到解決.因此，學生不僅要學好數學知識，更需要懂得畫圖，以畫圖來幫助自己解決數學問題，使得數學學習具有意義和樂趣.下面筆者從數學畫圖解題的重要性分析出發，再結合一些例題分析畫圖解題的方法，以引導學生形成良好的畫圖解題能力.

一、初中數學畫圖解題能力培養的意義

(一)思維開發的必經之路

學生思維的開發總是需要一定的刺激與指導，才能朝著多元的方向發展.在此過程中，畫圖就是一種能夠激活學生思維、提升學生思維能力的重要方法，那么將數學畫圖解題與數學課程教學相結合就是對學生的一種有效畫圖能力的培養，也是提升學生思維能力的一個重要方式.因此，對學生數學畫圖能力的培養具有一定的意義，是實現對學生數學思維開發的有效路徑，教師應該對其有所重視，并落實相關的數學畫圖教學工作.

(二)增強數學教學的效果

畫圖是將抽象知識轉化為形象知識的過程，在不斷培養學生畫圖能力的過程中，整個數學課堂效果會變得更明顯，學生會不斷去尋找畫圖的切入點，使得學生的學習變得有活力和有意義.同時，教師教導學生畫圖，也是數學教學認知的全新過程.生動的畫圖能夠增強數學課程教學的效果，使得學生更愿意參與數學課堂知識的探索與認知.可見，畫圖過程的融入能夠提升數學課程教學效果.

二、在初中數學練習中畫圖的問題種類

(一)數學圖形中的輔助圖與結果圖

所謂輔助圖，按照文字含義講解，是指在某種程度上對習題具有補充、講解、剖析作用的圖.輔助圖在形式上并沒有作為結果而保留，只是由于其可以將習題以圖形的方式直觀形象地表達出來，因此有助于學生對題目的理解.這些輔助圖大多出現在選擇題和填空題的回答中.當然，小部分的分解回答也會出現輔助圖形.而對于結果圖形，則因為它所保留的形式為結果，是需要作為答案而展示出來的.許多時候在結果圖的練習中，圖也可以作為問題的答案，如尺規作圖.另外，在普通的繪圖練習中，有一些圖是可以用來幫助了解實際問題情況的結果圖，而這些結果圖也都是可以作為依據加以記錄的，其一般出現在普通數學練習題中，如幾何問題和函數問題中.

(二)數學圖形中的準確圖與示意圖

在現代數學制圖中，我們可以根據具體的繪圖工具來判斷圖形的類別.最常見的現代數學繪圖工具主要是三角尺、圓規、量角器等，利用這種現代的數學繪圖工具能夠充分地根據數學問題中的信息作出準確的圖形，而且這些圖形都有很高的精確度，完全符合問題中的信息，能夠把問題中所涉及的角度、數字、間距等信息完整正確地反映出來，這樣的圖形就是準確圖.但有些習題，只需要按照問題中的信息大概畫圖就能夠解答，這些比較簡單扼要的圖形就稱為示意圖.示意圖在某種程度上來說，并不能完整地對其所表達的數字信息做出正確的反應.因此在實際數學課程中，我們做題時大多都是先按照題目的特點大致描繪出本來就需要解決的問題的圖形形狀，然后再根據一定的方法以及圖形具體特征對問題加以研究與解決.

(三)數學圖形中的一般圖與特點圖

一般圖與特點圖主要是根據解題的過程以及可能的結論進行區分，其中一般圖主要用來應對一般情況，而特點圖則屬于在特殊的情況下制作的圖形.一般圖與特點圖應用的范圍有較大的區別，在實際的數學解題中，要有效掌握這兩種圖形.

三、初中數學中學生畫圖思維鍛煉的方式

(一)充分發揮想象力

在初中數學畫圖思維鍛煉中，教師要引導學生更好地發揮想象力.對于一些特殊的問題，學生在解答時不僅要依靠圖形，還要發揮抽象思維.在日常做題中，教師要積極引導學生通過圖形來發揮個人的空間想象力.例如，幾何中的“點”其實是沒有大小、只有位置的，而現實生活中的“點”是有大小之分的.因此，幾何中的“點”只存在于大腦的思維中，是一種抽象性的概念，教師要在日常的授課中做好引導.

(二)善于運用直觀思維

在解題過程中，學生通過圖像可以更為直觀地感受題目的邏輯性.很多問題其實來源于生活，教師要引導學生運用直觀思維，將比較抽象的題目用直觀的圖像表示出來，這樣能夠培養學生的觀察能力和直觀思維能力，從而更好地提升畫圖水平.

(三)緊密結合教材基礎知識

教材既是教師開展教學活動的基本素材，又是學生學習的主要材料.因此，學生需要全面掌握教材中的基礎知識，并按照這些基礎知識鍛煉邏輯思維.為了達到鍛煉邏輯思維的目的，學生需要掌握教材中的三大要素.其一是幾何的概念.幾何的概念是學習數學的基礎，學生要全面了解幾何的概念.其二是例題.教材中的例題雖然較為簡單，但是很多題型都由教材的例題演化而來.其三是課后習題.教材中很多單元的課后習題是比較經典的，教師要引導學生學會總結.學生只有全面了解以上三種要素，才能更好地配合日常的畫圖，輕松解答各類題型.

在初中數學的學習中，很多學生會認為一些概念與定義難以理解，然而，若是在學習過程中合理借助圖像，認識數學中的一些抽象概念便會容易許多.例如，在學習“函數”章節時，教師開篇會全面講解函數的三要素，介紹定義域、值域以及函數表達式的定義.而為了更好地理解這些定義的內涵，學生可以借助函數的大致圖像，從圖像中提取相關函數的定義域和值域，從而更加直觀地理解這些定義.

(四)熟練構造輔助線

在初中數學解題過程中，學生經常會面臨一些較為困難的問題.對于一些困難的問題，學生只要掌握了合理的方法，將大問題轉化為小問題，逐個擊破，便能夠有效解決.在這個過程中，學生需要發散思維，根據問題的著眼點熟練構造輔助線，這樣可以有效幫助學生理清解題思路，從而快速解決問題.一直以來，在數學問題中，圖形都是數學思維的表達工具，題中的數量關系若是能用直觀的圖形表達出來，便能起到啟發的作用.因此，教師要培養學生的發散思維，引導其熟練運用輔助線解決問題.

(五)有效借助幾何語言

在數學題目中，幾何語言又被稱為文字語言和符號語言，通常幾何語言的表達會和圖形相聯系.在解決初中數學題目時，幾何語言的運用非常廣泛，學生需要在熟練掌握基礎知識的基礎上應用幾何語言.因此，學生在初中階段需要在數學學習中加深對幾何語言的了解，以便在解題過程中能夠及時和同學、教師交換學習經驗，更好地將幾何語言運用到圖形的構造過程中，從而快速解答問題.

四、初中數學畫圖解題能力的培養過程

(一)函數解題之中的畫圖能力培養

初中數學的一大知識點就是函數，而對于初學者來說，函數知識的有關問題比較難理解，解答起來具有一定的邏輯思維難度.因此，教師可以結合一定的畫圖解題能力培養方式，以引導學生畫圖為目標，讓學生在畫圖中了解函數，分析函數問題，使得他們逐漸養成良好的畫圖習慣.其中，教師可以先從函數問題的選擇角度出發，以考試中比較容易考到、學生比較困惑的函數問題為培養內容，引導學生自主分析函數問題，并鼓勵學生從畫圖角度分析問題，而不是僅僅關注于數學題目中的文字，使得學生的學習由抽象轉化為具體形象.此時，教師可先選擇出合適的數學函數問題，如選擇一些具有數形結合思想的問題，以使得學生有機會從函數問題中尋找畫圖的契機，再結合實際的圖像內容來分析函數問題，感知圖像中的函數規律，從而對學生的畫圖解題能力實施有效培養.

在眾多數學函數題型之中，教師可以選擇下面這道與初中數學一次函數知識有關的問題，具體如下：小明是一名初中生，每天需要騎自行車上學，而在騎行過程中，小明從家里出發，需要先走一段上坡路，這段上坡路的終點是A，然后再走一段下坡路，而下坡路的終點是B，最后一段路程則是走平路直至到達學校，請說一說其中體現了哪些函數關系，函數圖像又是怎樣的.

解答這道函數問題的重要突破口是利用畫圖來將抽象的問題具體化.因此，鼓勵學生從畫圖角度來分析問題，是有效解答此道函數問題的關鍵.教師可以先鼓勵學生在大腦中思考函數圖像，再利用筆將函數圖像畫出來，以形成一個知識構建的過程.對于這道題目，我們可以將行駛路程s看成是時間t的函數，且經過分析可知小明的運動軌跡與一次函數圖像相似.其中，在開始階段，小明的上坡速度比較慢，而到下坡時，小明的行駛速度肯定比較快，此時直線的傾斜度肯定比第一階段要陡，進入平路階段時，會看到自行車的路程也是直線遞增的，因而可以構造出如圖1所示的函數圖像.通過這個圖像，學生可以清晰知道小明行駛的路程s與時間t的函數關系，從而有效解答出問題，進而促使他們從畫圖分析過程中養成良好的圖像理解與分析能力，最終幫助他們構建起良好的畫圖解題思路.

圖1

(二)概率解題之中的畫圖能力培養

日常生活中學生勢必會接觸各種具有可能性的問題，而判斷一個事件發生的可能性，就需要學生懂得一定的概率解題方法，以從概率分析中尋找到數學解題的思路.此時，學生要懂得以圖代數的方式，將抽象的數轉化為具體的形，以從形之中尋找到解答問題的一個路徑，這樣才能有效提升解題效率.其中，畫圖依然是學生解答概率相關問題的有效方法，畫圖過程是對概率問題數量關系的一次重要構建，可以幫助學生得到更多不一樣的學習路徑與思維.因此，教師可選擇出一些具有代表性的概率問題，讓學生從概率分析中構建圖形、圖像，以使得他們知道概率的形成過程，知道如何去判斷一個事件的發生概率，從而真正學會畫圖，學會分析概率問題.

在日常生活的概率事件中，教師可以選擇下面這樣的數學概率問題：某中學開展了課外藝體活動，有繪畫組、足球組、園藝組，每位同學只能報名參加其中一組，小紅和小明想參加其中的活動內容，問：他們會選到同一活動的概率是多少？

學生想要有效解答此概率問題，無非要懂得概率發生的可能性有多大.因此，教師可以主動引導學生從畫圖入手分析事件發生與發展的可能性，幫助學生構建起概率知識的科學觀念，從而促使學生將圖像中顯現出來的信息再次轉換為概率數字.這里教師可以引導學生將上述三個藝體組分別用A，B，C表示，并從樹狀分析圖的層面進行作圖.顯然這個事件(實驗)有兩個因素，即小紅與小明，每個因素有三種可能，可畫出從上而下的樹狀圖，從而將抽象的概率問題直觀化，如圖2所示：

圖2

(三)不等式解題之中的畫圖能力培養

初中考試中最為常見的一個考點就是不等式計算的相關問題，而七年級學生在初學不等式時，對不等式解、解集概念的理解是不清晰的，此時，教師可以利用數軸，從畫圖的角度給學生提出一個思考的方向，讓學生根據所畫的圖像信息理清思路并獲取正確答案.

如探求不等式x+3>5的解集問題時，教師提出問題：使這個不等式成立或者說滿足這個不等式的x的值有哪些？學生會回答3，4，5，…這時，教師給出明確的概念：像這樣，使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解.教師再問：不等式x+3>5的解有哪些數？請你畫出數軸并在上面描出表示這些數的點.學生回答：3,4,5，…然后努力畫數軸、描點.教師接著問：這個不等式的解有幾個？除了3,4,5，…還有其他的嗎？接下來學生的回答就會七嘴八舌，說2.1,2.2,2.01等都是不等式的解.到此，教師可適時總結：不等式x+3>5的解有無數個，這無數個解組成這個不等式解的集合，簡稱解集.由于這無數個數都比2大，所以表示為x>2,在數軸上表示，就是從表示2的這點往右畫一條線，表示2的這點畫成空心表示不包括2，如圖3所示.歷經這樣的畫圖過程，學生很容易理清不等式解、解集的關系，并直觀地表示不等式的解集.

圖3

五、結語

綜上所述，學生畫圖解題能力是基于各種數學問題探索、各種數學問題解答才在潛移默化中逐漸形成的，這需要教師給予學生一定的思考方向與路徑，讓學生逐漸構建起畫圖的思路與習慣，以有效提升他們自身的畫圖解題能力.因此，教師應該注重學生畫圖解題的培養過程，選擇合適的問題引導學生作圖，以提升學生的畫圖解題能力.