感悟基本圖形，提升初中學生數學解題能力感悟基本圖形，提升初中學生數學解題能力

◎王 寧

(上海市嘉定區蘇民學校，上海 201802)

隨著基礎教育新課程改革的不斷發展，初中數學的教學方法和模式也在不斷創新，這在很大程度上豐富了學生的數學思維.幾何是數學的重要課程，其中含有大量以基本圖形為構架的復雜圖形，如果學生的空間想象能力不足，將會很難求解.基本圖形指的是能夠反映出某個定理和數學規律的圖形.讓學生自主感悟基本圖形，可以讓他們的思維處在最近發展區內，利于他們找到解決幾何問題的思路.本文首先對基本圖形的概念進行論述，然后對應用基本圖形提升學生解題能力的意義進行說明，最后提出借助基本圖形，提升初中學生數學解題能力的策略，希望對初中數學幾何教學帶來幫助.

一、基本圖形概念

為了找到解決幾何問題的方法，我們往往需要構建一個最簡單、最重要、最基本的幾何圖形，該圖形具有特定的性質，能夠將題干中隱含的幾何概念、公式等表現出來，我們將這樣的圖形叫作基本圖形.初中幾何中的基本圖形數量并不多，但是這些圖形卻能將復雜的幾何問題通過基本圖形特有的性質變得簡單化.這些基本圖形包括：平行線、等腰三角形、全等三角形、與圓有關的角、相似三角形、特殊角三角形、與面積相關的三角形等.在應用基本圖形進行解題的過程中，我們要根據問題中出現的已知條件找到題目中含有的基本圖形，將不完整的基本圖形補充完整，剖析每個幾何問題的思維過程，從而提高解題的靈活性.

二、應用基本圖形提升學生解題能力的意義

(一)可以起到語言轉換作用

我們知道，學生在解題的時候因為讀不懂題目意思而導致出錯的概率很大.這說明學生對數學語言的理解還不到位，因此，培養學生的數學語言轉換技巧對提高他們的解題能力大有裨益.而在培養數學語言轉換能力時，學生可以通過畫基本圖形的方式來尋找解題的突破口.比如“平行線”是初中數學的重要知識點，平行線分線段成比例又是平行線的重要定理，其數學語言描述為：平行于三角形一邊的直線，與它的兩條邊所截得的線段成比例.這個時候教師可以讓學生根據定理的語言，自己畫出基本圖形，并對線段是否成比例進行驗證.學生在理解定理的過程中，就能畫出如圖1所示的基本圖形，這對于發展學生的信息挖掘能力很重要.

圖1

(二)可以很好地規范學生的幾何解題步驟

解決初中數學幾何問題需要掌握一定的技巧，要做到“三看清”：看清題目中所講的內容，看清楚題設的條件，看清要解決的問題.只有明確這三個方面，才能提高解題效率.借助基本圖形，學生就可以根據基本圖形的獨有特性來歸納、發現并最終得到每一個幾何問題的求解條件，將基本圖形的性質應用到解題過程中，從而提升解題技巧，規范解題步驟.

三、感悟基本圖形，提升初中學生數學解題能力的策略

(一)通過基本圖形提煉加工其他圖形

數學中的幾何學主要是研究空間結構的一門學科，屬于數學中最基本的研究內容.相關的教學經驗表明，初中生已經具有很強的空間想象能力，之所以沒有發揮出這種能力，主要是因為教師在讓學生進行圖形加工的時候未將基本圖形的理念融入其中.因此，教師通過引導學生研究基本圖形可以提高學生的基本解題能力.基本圖形中隱藏著很多重要的幾何知識，比如，在初中有關相似三角形的幾何題中，經常會出現如圖2所示的基本圖形.該圖形有一個重要的性質：∠C=∠ABD，根據該性質就會找到各邊之間的關系為AB2=AD·AC.這個關系式非常重要，在很多相似三角形問題的求解中都能用到.教師可以引導學生對相似三角形的性質進行應用，從而提煉出其他的信息，這樣，他們在進行更復雜的相似三角形相關問題的求解中，就可以以此圖形為基本圖形，將其當作“母圖”，從而根據母圖解題.學生在解題訓練中找到的母圖越基本，那么子圖就會越豐富，學生在解決子圖問題中就能夠很好地應用各種數量關系.需要注意的是，基本圖形的獲得過程要讓學生參與，基本圖形不一定全是老師的總結和歸納，學生自己獲得題目中的基本圖形，這本身就是一個對知識點應用的過程，可以很好地培養他們的解題能力.

圖2

(二)利用基本圖形培養學生的解題思路

在利用基本圖形提高學生解題思路的教學過程中，教師一定要樹立學生的課堂主體地位，在解題的過程中要滲透數學思想和方法，提高學生的數學素養.同時教師要通過一題多解的方式促進學生思維的發展，讓他們在解題的過程中能夠融會貫通，并引導他們在解題后進行反思，以提高他們的綜合解題能力.相關的教學實踐發現，采用一定的策略去研究基本圖形，會讓學生更靈活地審題，將復雜和抽象的幾何問題變得簡單和具象化，起到事半功倍的效果.

比如，圖3屬于四邊形中的一個基本圖形，學生根據所學知識很容易得到各邊的長度關系為：AP·BP=AD·BC.教師可以與學生一起對該四邊形的性質進行概括：一線三垂直.這個性質屬于該基本圖形的基本性質，學生需要靈活掌握.學生在熟悉了該性質后，教師可以通過變式的方式向學生提供更深層次的習題，讓學生學會應用.如將圖3中的四邊形ABCD轉化為矩形，并沿著圖形內的直線EF進行折疊，使點C正好落在邊AB的中點上，將其記作C′，設點D的對應點為D′，兩條直線C′D′與AD相交在M點，最終得到圖4，請將AM的長用AB和BC表示出來.

圖3

圖4

對于幾何中經常出現的折疊問題，學生通常會感覺難以下手，這與學生的空間想象力不足有關，他們無法對圖形變換進行深入理解.基于此，對于該種基本圖形變換題，教師要引導學生學會分析，讓他們自己找到復雜圖形中蘊含的“一線三垂直”特征.教學實踐表明，學生有了上述的發現后，他們的解題思路將會非常明晰，會找到圖4中的兩個相似三角形，即△AC′M和△BFC′，這樣后面的求解就變得很簡單了.近些年中考中有很多開放性的綜合題，其主要特點就是開放性、探究性和創新性，而這些綜合題就是由一些基本圖形改編而來的.在平時的訓練中，教師要以基本圖形為載體，對它們進行提煉、變式和拓展，訓練學生的數學思維，以達到舉一反三的目的.

(三)讓學生學會“累加”，提高對基本圖形的應用

基本的圖形關系和性質是構建幾何問題的基石，也是學生學好幾何的關鍵.在實際的教學中，教師往往因為基本圖形的簡單而忽視讓學生對圖形進行應用.其實雖然原始基本圖形簡單，但是一些常見的基本圖形經過簡單的組合就能形成復雜的幾何圖形，其中蘊含著豐富的圖形性質，形成了復雜的幾何問題，這些問題會成為學生眼中的難題.在基本圖形解題教學中，教師要從學生熟悉的平行線、等腰三角形開始，逐步逐級地讓學生“累加”圖形，慢慢地體會幾何綜合題是如何一步步形成的，這樣可以增強學生對幾何基礎知識的鞏固.“累加”圖形教學可以這樣進行：第一步，任意畫出一個等腰三角形EAD，EA=ED，讓學生快速說出其性質，即等邊對等角、等角對等邊，并告訴學生這是因為等腰三角形是最基本的軸對稱圖形.第二步，在上一步的基礎上，讓學生作出兩個底邊共線的等腰三角形：D是線段AB上的一點，以AD和BD分別為底邊在AB的兩側作等腰三角形EAD和等腰三角形FBD，求證：AE∥BF.第三步：在第二步的基礎上，過點F作AB的垂線，假如垂足為H，延長線AE和FH交于點C，求證：CE=FE.第四步：在上述步驟的基礎上，連接CB,BE，如果恰好AB=BC，求證：EB=EF.第五步：在上述所有步驟的基礎上，連接CB，如果AC邊的中點為M，求證：DF=2EM.

通過上述五個步驟的圖形“累加”后，最終得到了如圖5所示的復雜圖形.學生一步步地對圖形進行變換，一邊畫圖一邊了解性質，就能求出各步驟中的證明題.通過五步訓練，教師就把平行線、等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、三角形全等、線段的垂直平分線、中點等基礎幾何知識進行了有序的結合和應用，給學生揭示了各個基本圖形之間的關系，讓他們在解題過程中結合題干中給定的基本圖形創建新的圖形，從而提高解題能力.

圖5

(四)讓學生在解題中學會“分割”，提高解題速度

在初中數學幾何教學中，“分割法”是經常應用到的解題方法.通過分割的形式，可以讓一些復雜的幾何圖形簡單化，學生只需要將所學的知識進行遷移即可提高解題的速度.分割法的方式有很多，在實際的教學中，教師要帶領學生讀懂題意，引導他們從題干中挖掘出有價值的基本圖形信息，進而應用到實際的解題中去.比如有如圖6所示的一道數學題：將兩個面積和周長相等的長方形重合在一起，求組合圖形的面積.在解題的過程中，教師要讓學生發揮空間想象力，思考如何將復雜的圖形簡單化.為此，可以將圖形分割成兩個全等的梯形，得到：S組=(7-2+7)×2÷2×2=24(平方厘米).在指導學生應用分割法的時候，教師要教給學生一些技巧，可以利用一些不規則圖形的凹凸特點，將其分割成若干個可以計算的規則圖形(如長方形、三角形、梯形等)，先將各個規則圖形的面積計算出來，最后再把這些規則圖形的面積加在一起，總面積就是不規則圖形的面積了.為了提高學生的圖形分割計算能力，教師要適當加大訓練量，經常出示一些不規則圖形讓學生進行分割訓練，并針對他們在分割中存在的問題進行糾正，從而提高他們利用所學知識解決數學幾何問題的能力.

圖6

(五)讓學生在解題中學會“等量代換”，拓展數學思維

等量代換是一種非常有助于培養學生數學思維的數學教學方法，指的是用一種量(或一種量的一部分)來代替和它相等的另一種量(或另一種量的一部分).對于數學基本圖形來講，采用等量代換的形式，同樣可以讓學生將學過的知識用于解題中，能激發他們的探究能力，從而學會解決一些復雜的數學問題.比如，如圖7所示，已知AB∥EC，求圖形中陰影部分的面積.在指導學生解題的時候，教師要讓學生多觀察圖形中已有的各種數學信息，將陰影部分面積轉化為其他能利用已知條件的部分，進而解決問題.為此，根據題干中已知的數學信息，因為AB∥EC，所以S△AOE=S△BOC，則S陰=10×8÷2=40.在平時的初中數學幾何教學中，教師可將等量代換作為一種常規的教學方法，讓學生挖掘有用的信息，知道如何用一種量(或一種量的一部分)來代替和它相等的另一種量(或另一種量的一部分).在學生學習該種方法的時候，教師要鼓勵學生多探究和互動，遇到難以解決的問題時，指導學生將學過的知識應用在問題解決中，還可以通過小組合作的形式來學習該種數學思想，最終提高學生的數學思維.

圖7

結 語

綜上所述，在初中幾何課程中含有大量基本圖形，讓學生感悟基本圖形的性質，學會靈活應用，對于提高他們幾何解題能力的幫助是很大的.受到傳統數學教學理念的影響，初中數學在培養學生解題能力中存在的問題還是較多的，如學生解題思路單一、解題靈活性不足等，這些因素限制了學生數學思維的發展.因此，在感悟基本圖形，提升初中學生數學解題能力教學中，教師要以基本圖形為出發點，讓學生利用所給基本圖形提煉出其他基本圖形，學會對圖形進行“累加”，從而掌握利用基本圖形解題的規律，提高數學核心素養.