關(guān)于羅爾中值定理的教與學(xué)關(guān)于羅爾中值定理的教與學(xué)

◎蔣利華 陳文平 梁伍威

(桂林電子科技大學(xué)，廣西 桂林 541004)

一、引言

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，它可應(yīng)用于物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及生產(chǎn)實(shí)際等各個(gè)領(lǐng)域，而微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文以啟發(fā)式教學(xué)方法介紹了中值定理的理論，還介紹了學(xué)生學(xué)習(xí)中值定理的方法，并利用中值定理解決具體的實(shí)際問題.在學(xué)習(xí)三大中值定理的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生體會它們之間的辯證關(guān)系，一方面能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，另一方面也能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用辯證的思維看待生活、學(xué)習(xí)中遇到的一些問題.課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生能力和形成核心素養(yǎng)的最重要的途徑，有效的課堂教學(xué)可以將復(fù)雜難學(xué)的數(shù)學(xué)理論變得易于學(xué)生理解，便于學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)，從而獲得良好的教學(xué)效果.

二、啟發(fā)式教學(xué)

啟發(fā)式教學(xué)顧名思義就是一種以啟發(fā)學(xué)生思考為指導(dǎo)思想的教學(xué)方式.它不應(yīng)被理解為一種具體的教學(xué)方法或教學(xué)技巧，而是一種以啟發(fā)學(xué)生探索理論知識為主，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性為宗旨，把學(xué)生的被動學(xué)習(xí)變成積極的主動學(xué)習(xí)為目標(biāo)的教學(xué)指導(dǎo)思想.復(fù)雜的理論知識不僅會增加學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，也會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，為此我們可以通過啟發(fā)式教學(xué)，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論知識簡單化，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果.

三、羅爾定理的啟發(fā)式教學(xué)

為了引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，教師可先介紹羅爾定理的背景：羅爾在《方程的解法》一文中提出有關(guān)多項(xiàng)式零點(diǎn)分布的定理，這是現(xiàn)在羅爾定理的前身.當(dāng)時(shí)羅爾一直在質(zhì)疑微積分的正確性，所以羅爾是用純代數(shù)的方法證明該定理的.隨著微積分學(xué)的發(fā)展，人們根據(jù)微積分的理論重新證明，并把它推廣到一般函數(shù)情形，才稱之為羅爾定理.

下面介紹羅爾定理的內(nèi)容：

定理(羅爾中值定理)若f(x)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)f(a)=f(b).

為了引出定理的結(jié)果，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考：定理的三個(gè)條件在幾何上分別表示圖像的什么特征？讓學(xué)生根據(jù)圖像的特征觀察出定理的結(jié)論.

閉區(qū)間上連續(xù)表示圖像在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，沒有間斷點(diǎn)；開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)是指圖像在(a,b)內(nèi)光滑沒有尖點(diǎn)，并且條件f(a)=f(b)說明函數(shù)的圖像在區(qū)間端點(diǎn)一樣高，從而得到函數(shù)f(x)的圖像一定具有如下的形狀：

接著讓學(xué)生觀察思考，看他們從圖像上能看到什么現(xiàn)象.學(xué)生很容易得到結(jié)論：函數(shù)的圖像至少有一條平行于x軸的水平切線.這個(gè)結(jié)論是學(xué)生自己觀察得出，這一方面激勵(lì)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，另一方面也增強(qiáng)了學(xué)生對羅爾定理的記憶與理解.羅爾定理的完整表述為：

定理(羅爾中值定理)若f(x)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)f(a)=f(b)；

則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

微分中值定理是微分學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，定理的證明經(jīng)常困擾著學(xué)生，因此在講解定理的證明時(shí)，教師必須抽絲剝繭、層層遞進(jìn)，將深奧的數(shù)學(xué)定理、繁多的知識細(xì)節(jié)，融合在演繹推理過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)之美——嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)客觀的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的鉆研精神.

我們依然利用啟發(fā)式教學(xué)介紹羅爾定理的證明過程.教師可引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論來想，定理的結(jié)論要證的是在(a,b)區(qū)間內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，從圖像上看，那個(gè)點(diǎn)似乎是最大值或最小值點(diǎn)，那么函數(shù)在[a,b]內(nèi)是否有最大值和最小值呢？再看定理的條件，f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)可以保證其在[a,b]上有最大值和最小值(閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性質(zhì))，不過考慮問題要全面，一方面最大值和最小值如果相等是什么樣，如果不等又如何？從而學(xué)生可得到：

(1)當(dāng)最大值等于最小值時(shí)，又由f(a)=f(b)知，f(x)一定是常函數(shù)，且f(x)在(a,b)內(nèi)又是可導(dǎo)的，故(a,b)任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都為零.

綜合(1)(2)，不難得到羅爾定理完整證明過程.

這種以學(xué)生作為主體的啟發(fā)式教學(xué)模式，一方面調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，另一方面也把復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論知識簡單化，簡化了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，即能達(dá)到良好的教學(xué)效果，又能讓學(xué)生獲得良好的學(xué)習(xí)效果.

羅爾中值定理的推論.

推論1如果F(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且F′(x)=0，則F(x)≡C.

推論2如果F(x),G(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且F′(x)=G′(x)，則F(x)=G(x)+C.

四、羅爾定理的應(yīng)用案例

例1設(shè)f(x)滿足以下條件

近年來，華中師范大學(xué)不斷深化體制改革，完善監(jiān)管機(jī)制。2014年7月，該校后勤集團(tuán)在運(yùn)行機(jī)制和體制上作出了重大調(diào)整，設(shè)立4個(gè)辦公室、7個(gè)實(shí)體中心，實(shí)行小機(jī)關(guān)大實(shí)體運(yùn)行模式。為了強(qiáng)化部門負(fù)責(zé)人、生產(chǎn)者是第一責(zé)任人的意識，該校成立了食品藥品工作站，并于2014年11月正式掛牌。“工作站由校辦牽頭，掛靠后勤保障部，同時(shí)配套專職監(jiān)督員1人、信息報(bào)送點(diǎn)20多個(gè)，形成信息報(bào)送網(wǎng)格化，在全省率先完成了食品藥品監(jiān)管體制的建設(shè)。”該校相關(guān)負(fù)責(zé)人說。

(1)f(x)在閉區(qū)間[0,a]上連續(xù)；(2)f(x)在(0,a)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=0；證明：在(0,a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，滿足ξf′(ξ)=-f(ξ).

分析引導(dǎo)學(xué)生明確，此題要證明的是ξf′(ξ)= -f(ξ)，

即ξf′(ξ) +f(ξ)= 0，也就是F′(ξ)=ξf′(ξ) +f(ξ)=0.

而后利用羅爾中值定理即可證明.

證明構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=xf(x)，顯見(1)F(x)在閉區(qū)間[0,a]上連續(xù)；(2)F(x)在(0,a)內(nèi)可導(dǎo);(3)F(0)=0=F(a)=af(a)；由羅爾中值定理知，在(0,a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′(ξ)=0,即ξf′(ξ)=-f(ξ).

例2若f(x)滿足f′(x)=f(x)，f(0)=1，證明：f(x)=ex.

分析由結(jié)果f(x)=ex出發(fā)思考，相當(dāng)于證f(x)e-x=1，反過來找條件，由f′(x)=f(x)知e-x[f′(x)-f(x)】=0，即F′(x)=[e-xf(x)]′=0，則F(x)≡C.從而利用羅爾中值定理的推論就可得到對應(yīng)的結(jié)果.

證明構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e-xf(x)，顯見F(x)∈D(-∞,+∞)，且F′(x)=[e-xf(x)]′=e-x[f′(x)-f(x)]=0，所以F(x)≡c，又F(0)=f(0)=1，故F(x)=e-xf(x)=1，即f(x)=ex.

例3若a0xn+a1xn-1+…+an-1x=0有一個(gè)正根x0，

證明：方程na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+an-1=0必有一個(gè)小于x0的正根.

分析這是一個(gè)證明方程有實(shí)根的問題，而羅爾定理的結(jié)論相當(dāng)于f′(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

證明令f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x，顯見f(x)在[0,x0]內(nèi)連續(xù)，在(0,x0)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(x0)=0，由羅爾中值定理知在(0,x0)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)=0，即na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+an-1=0必有一個(gè)小于x0的正根.

五、教學(xué)效果體現(xiàn)

對于桂林電子科技大學(xué)商學(xué)院20級管理科學(xué)與工程類專業(yè)的學(xué)生，教師在進(jìn)行《高等數(shù)學(xué)》上冊的教學(xué)過程中，就利用了啟發(fā)式教學(xué)模式，該班學(xué)生在期末全校統(tǒng)考中取得了不錯(cuò)的成績，高等數(shù)學(xué)的通過率從以前的百分之七八十提升到了百分之九十.

六、羅爾中值定理的應(yīng)用展望

(一)羅爾中值定理推廣形式探討

羅爾中值定理在高等數(shù)學(xué)這門學(xué)科中扮演著舉足輕重的角色，一旦學(xué)生能夠熟練掌握和應(yīng)用這些知識，可以獲得一種滿滿的成就感.而導(dǎo)數(shù)作為一種重要數(shù)學(xué)工具，在分析和探討函數(shù)性質(zhì)和各個(gè)函數(shù)之間映射關(guān)系方面發(fā)揮出重要作用.但是，僅僅從導(dǎo)數(shù)這一概念入手去分析和研究函數(shù)，還不足以有效地突出導(dǎo)數(shù)這一工具的應(yīng)用價(jià)值.為了解決這一問題，教師需要將導(dǎo)數(shù)建立在微分學(xué)相關(guān)基本定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行應(yīng)用，微分學(xué)相關(guān)基本定理主要包含廣義羅爾中值定理 、拉格朗日定理等.而這些基本定理被統(tǒng)稱為“微分中值定理”，在這些中值定理中，羅爾定理屬于一種比較常用的定理，其通過采用推廣延伸的方式 ，可以從自身延伸出其他比較重要的定理，從而實(shí)現(xiàn)對羅爾中值定理的有效推廣和補(bǔ)充.另外，拉格朗日定理的應(yīng)用也充分體現(xiàn)出了微分學(xué)的典型應(yīng)用，該定理可以為函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的有效連接起到一定的橋梁作用，從而取得良好的溝通效果.此外，以上定理作為一種科學(xué)工具，為分析和探究各個(gè)函數(shù)映射關(guān)系提供了重要支持，所以，對羅爾中值定理推廣形式的探討，除了可以直觀、形象地體現(xiàn)出羅爾中值定理在高等教育中的典型應(yīng)用外，還能為進(jìn)一步提高函數(shù)關(guān)系研究結(jié)果的精確性打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

(二)羅爾中值定理推廣應(yīng)用分析

在分析和應(yīng)用羅爾中值定理期間，為了進(jìn)一步提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)水平，教師需要在參照廣義羅爾定理的基礎(chǔ)上， 通過增加和設(shè)置有限區(qū)間相關(guān)條件，可以得到羅爾中值定理相關(guān)理論知識，該理論知識主要是參照應(yīng)用型函數(shù)可導(dǎo)性所研發(fā)的，為后期全面地分析和研究函數(shù)整體形態(tài)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).由于廣義的羅爾定理在具體的使用中，存在條件性太強(qiáng)問題，因此，其應(yīng)用到實(shí)踐中往往會面臨較大的困難，也會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解難度.同時(shí)，由于受條件的限制，學(xué)生很容易在實(shí)際學(xué)習(xí)期間遇到瓶頸.這些因素對羅爾中值定理在實(shí)踐中的應(yīng)用產(chǎn)生了一定的限制作用.為了解決這一問題，確保羅爾中值定理可以更好地應(yīng)用于函數(shù)映射關(guān)系的處理中，教師需要在不斷提高羅爾定理的靈活性和可理解性等特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，充分結(jié)合廣義羅爾定理相關(guān)理論知識，不斷增加羅爾中值定理推廣研究深度.此外，教師還要不斷地開拓自身的思維，突破研究相關(guān)的各種局限性條件，從而實(shí)現(xiàn)對開區(qū)間、閉區(qū)間的深入分析和探究，從而起到拓展羅爾中值定理相關(guān)理論知識的作用.此外，教師在應(yīng)用羅爾中值定理對各種函數(shù)類進(jìn)行分析和研究期間，要盡可能地降低和削弱相關(guān)條件限制，確保羅爾中值定理得以推廣和應(yīng)用.

七、結(jié)論

高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主要特點(diǎn)是具有高度的抽象性，這種高度的抽象內(nèi)容使高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)都相對變得困難.所以，教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中如何利用啟發(fā)式教學(xué)模式直接影響到教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決具體問題的能力，教師只有通過啟發(fā)式教學(xué)才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動性，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考問題，提升解決問題的能力的根本目標(biāo).