圖式表達：促進學生數學學習深度建構

江蘇省南通市海門區正余小學 宋云翔

“圖式”原本是心理學的一個概念，是指“有組織、可重復的心理結構、行為模式”。在美國認知心理學家魯姆哈特認為，圖式就是組成在一起的知識的單元。圖式理論同樣揭示了學生數學學習的“奧秘”。在數學教學中，教師要著眼于學生的認知、心理和行為圖式，引導學生進行圖式表達。圖式表達基于學生的圖式建構，依賴于學生的心理同化、順應等。圖式表達的方式很多，主要有動作圖式表達、圖像圖式表達、語言圖式表達等。圖式表達可以化抽象為直觀、化單一為豐富、化模糊為清晰、化淺顯為深刻。

一、動作表達：化抽象為直觀

魯姆哈特認為，圖式是對于知識的一種特有表征方式。學生學習數學的過程，從某種意義上說，就是“圖式化”的過程。圖式能表征數學事實，能幫助學生理解算理、算法等，幫助學生建立數感，促進學生對相關數學知識的理解，等等。在數學教學中，學生不僅能建立表象圖式，而且能建立動作圖式。建立了動作圖式，學生就會用動作圖式來表達。動作圖式的表達，能化抽象的數學知識為直觀。

在蘇教版數學五年級下冊“圓的周長”這一課的同課異構教學中，學生普遍對“圓周長的一半”和“半圓的周長”兩個概念的認識比較模糊，不能有效地區分。為此，一位教師用抽象的數學符號對“圓周長的一半”和“半圓的周長”進行比較、抽象和深化概念，幫助學生建立了符號性表征；另一位教師引導學生畫出了“圓周長的一半”和“半圓的周長”的圖，引導學生進行比較，從而幫助學生建立了圖像性、圖形性的表征；而第三位教師則引導學生用手簡單地比畫，即讓學生用手畫出一個180°的圓弧表示“圓周長的一半”，再畫出一個180°的圓弧加一條直徑表示“半圓的周長”，從而幫助學生建立了動作性的表征。實踐證明，用抽象的符號建立符號表征，或用抽象的語言建立解釋表征，抑或用形象化的圖形建立圖像、圖形表征，都沒有用動作建立動作表征來得穩固。當學生用動作進行動作表征、動作圖式之后，他們自然地理解了兩個概念的區別與聯系，在匯報交流、解決問題等活動中，學生也自然地能用動作圖式來表達。用動作圖式表達，避免了符號演繹的煩瑣，避免了圖形表征的麻煩，能化抽象為直觀，同時操作也比較簡單。

動作圖式是依靠動作來表征數量關系、語義的一種方式。一般來說，在低年級，教師應當引導學生用動作圖式來表達，以幫助學生建立內在的動作圖式心理表征。相比較于符號表征、圖形表征，動作表征更符合低年級學生的年齡和心理特征。從某種意義上說，學生的數學學習發端于直觀動作，也終止于直觀動作。因為，學生內化的數學素養等最終總是要通過直觀動作、行為表達顯現出來。

二、圖形表達：化模糊為清晰

德國思想家康德曾說：“圖式是潛藏在人類心靈深處的一種技術、一種技巧。”在數學學習中，學生往往會將若干個知識點集結成知識組塊，進而建立一種線狀結構圖式、網狀結構圖式和表格式的結構圖式等。這些圖式，筆者都將其稱為圖形圖式。在格式塔心理學中，圖形圖式還有“完形”“整體”的一種趨勢、趨向。在引導學生建立圖形圖式的過程中，教師要有意識地引導學生動手作圖、觀察讀圖、思考想圖，從而不斷豐富、夯實學生的圖形圖式表象。圖形圖式，能化學生模糊的數學學習為清晰。

讀圖、畫圖，用圖形、圖像等來進行表征，是學生圖形圖式生成的重要標識，同時也是學生用圖形圖式來表達的重要方式。作為教師，要注重學生對圖式的提取、加工、表達和應用。在數學教學中，引導學生建立圖形圖式或者用圖形圖式來表達，絕不僅僅是一種“數形結合”，而更為重要的是幫助學生建立一種圖形表象，用圖形表達來思考，并且將圖形表達通過表達顯現出來。在引導學生建立圖形圖式的過程中，教師要幫助學生進行調整、補充和修正，從而讓學生的圖形圖式能有效地表征問題、解決問題。例如，在教學蘇教版數學五年級上冊“小數的大小比較”一課時，筆者將教材中的具體數量——“0.6元和0.48元”，變更為“0.6和0.48”，并引導學生進行意義賦予。在學生借助于自己意義賦予的具體數量比較大小之后，筆者引導學生畫圖，來表征兩個抽象的小數——“0.6和0.48”。有學生畫正方形表征小數，并進行比較；有學生畫線段圖表征小數，并進行比較。在畫圖的過程中，學生自然生成了小數的心理圖像。學生對小數的大小比較從模糊走向清晰，為后面實施小數的加減法教學奠定了堅實的基礎。

圖式表達有助于學生形成用圖形思考、用圖形探究的數學學習習慣和品質。在教學中，圖形表征能讓數學不再是“冰冷的美麗”，而是能讓學生展開“火熱的思考”。圖形圖式契合了學生的認知、探究等心理特點，能降低學生對數學學習的認知和探究難度，讓學生把握到數學知識的本質和實質等。

三、符號表達：化單一為豐富

圖式，不僅僅包括動作圖式、圖形圖式，還包括符號圖式。相比較于動作圖式、圖形圖式，符號圖式更能發展學生的理性思維。學生的數學學習，從某種意義上來說就是“符號化”的過程。在數學教學中，教師要引導學生建構符號，引導學生用符號思考、用符號探究，使符號成為學生數學學習的橋梁和載體，幫助學生建立符號圖式，引領學生用符號進行圖式表達。符號圖式表達，能讓學生的數學學習由單一變為豐富。

符號圖式的建構過程是一個符號表征、符號加工、符號建構、符號創造的過程。作為教師，要充分激發學生對符號建構和創造的興趣，讓學生會用符號進行思考、探究。符號圖式能幫助學生建立符號模型。例如，在教學蘇教版數學四年級下冊“乘法分配律”一課時，在引導學生通過舉例、驗證等發現了“運算規律”之后，筆者引導學生用自己的方式進行不完全歸納。于是，有的學生用“△×（☆+□）=△×☆+△×□”來表達，有的學生用“a×（b+c）=a×b+a×c”來表達；有的學生用“甲×（乙＋丙）=甲×乙+甲×丙”來表達；等等。盡管學生用了不同的文字、符號，但都能表征乘法分配律的本質內涵，都能發現乘法分配律所表達的關系、關聯、規律等。相對于其他圖式表達，符號化的圖式表達更能揭示數學知識的本質，也更簡潔、更精準。符號化的表達，發展了學生的符號意識。

從某種意義上說，數學知識是人類形式化、符號化的結果。借助于符號圖式，能有效地引導學生將實際問題抽象成數學問題，并幫助學生建構數學模型。數學的符號表達，不僅能揭示數學知識的本質，而且能提升學生的抽象化、概括化水平，以及數學學習力，發展學生的數學核心素養。

四、言語表達：化淺顯為深刻

言語圖式表達是圖式表達的一種重要形式。言語不像動作、圖形那樣直觀，但言語更能喚醒學生的學習經驗，激發學生的數學思維，調動學生的數學想象。言語表達，能化淺顯為深刻。在引導學生建立言語圖式表達的過程中，教師要注重言語的整體性、言語的結構性、言語的層次性、言語的系統性等。

例如，在教學蘇教版數學五年級上冊“梯形的面積公式”一課時，筆者不僅引導學生推導梯形面積公式的形成過程，還引導學生用符號來表征梯形的面積公式，并引導學生用語言來表達梯形的面積公式。在表達的過程中，筆者尤其引導學生突出“上下底的和”，始終將“上下底的和”作為一個言語圖式中的整體，這個整體有助于學生建立梯形的上下底的和與平行四邊形的底之間的關聯，從而有助于學生更加深刻地理解梯形的面積公式，使學生在思考與“梯形面積”相關的數學問題時，總能從“梯形的上下底的和”這個角度來思考。這樣，就打破了學生在解決問題時“在已知了梯形的上下底之和”的情況下，還大費周折地想分別求出梯形的上底、下底的思維定式。相比較于其他的圖式，言語圖式更能幫助學生建立一種思維的組塊、認知的組塊、知識的組塊等。言語圖式，有助于學生理解數學知識的意義，從而實現學生的數學學習從“量”到“質”的飛躍，從“知”到“智”的嬗變。在數學教學中，言語圖式不僅是一種“有意義的圖式”，還是一種“有意味的圖式”。

教師引導學生應用言語圖式進行表達時，要注重突出重點，尤其是要讓學生的言語圖式表達有節奏、有節律。在教學中，教師要幫助學生理解圖式、建構圖式、完善圖式，進而引導學生用圖式思考、用圖式探究、用圖式表達。圖式是學生數學素養發展的“泵”，圖式表達不僅是學生圖式內化的重要標識，而且也是數學學習效度的重要標識。通過圖式表達，可以幫助學生實現數學理解的跨越，促進學生認知結構的完善，使學生的數學學習變得更有意義、更有價值！