非線性蘭姆波在厚度緩慢變化和衰減下的特性分析*

左煒翌 安志武? 張碧星

(1 中國科學院聲學研究所聲場聲信息國家重點實驗室北京 100190）

(2 中國科學院大學北京 100190）

0 引言

板殼結構廣泛用于機械、民用和航空航天等領域。這些結構在時變載荷下由于疲勞產生的微裂紋會降低材料性能，進而引發斷裂。因此，在材料早期疲勞時檢測微裂紋對于避免工程部件和結構的災難性故障非常重要。非線性蘭姆波可以長距離傳輸并檢測整個板殼結構的內部缺陷，因此在超聲無損檢測和結構健康監測領域得到了廣泛的應用[1-4]。

一些理論研究討論了蘭姆波二次諧波的產生機制和效率。de Lima等[5]和Deng等[6-7]使用二階微擾近似和模態分析方法研究了蘭姆波二次諧波生成的復雜問題。由于蘭姆波各個模式具有色散特性，在基頻波和二次諧波的波數不匹配時會產生拍頻效應，二次諧波難以隨傳播距離增加而累積。S0模態在低頻范圍內的色散非常微弱，相比其他模態容易產生累積非線性效應。Zuo等[8]和Wan等[9]分析了由S0模態產生的非線性蘭姆波，測量了一段傳播距離范圍內線性增加的S0模式的二次諧波。在某些場景下，變厚度板殼更接近實際工程結構。Hu等[10]基于對稱蘭姆波模式分析了緩慢線性變厚板中非線性導波的理論模型的微擾法近似解，并通過仿真模擬和實驗對其進行了驗證。然而，在測量長距離結構或黏彈性材料時，導波的衰減會影響二次諧波的激發和接收[11-12]，導致模型失效。Kanda等[13]用多尺度法得到了均勻厚度板下的二次諧波衰減規律，但由于求解方程時將復波數近似成實數，使得在衰減較大的情況下結果不準確。

為此，本文基于Hu等[10]的工作，完善了蘭姆波二次諧波在變厚度板中傳播的理論推導過程，使該理論適用于角度變化更大的變厚度板，并將理論的適用范圍推廣至黏彈性介質。通過半解析計算給出了S0模式在厚度保持均勻、線性增加、線性減小、曲線變化下的二次諧波的累積和傳播規律，并利用有限元方法對該理論的適用范圍進行了分析。

1 復數域的蘭姆波頻散曲線

蘭姆波是在固體板中傳播的超聲導波。由于波導界面存在自由邊界條件，縱波和橫波在上下邊界處相互轉換，產生疊加和干涉，于是產生了一種與固體波導幾何形狀有關的超聲導波模式。因此蘭姆波具有多模式和色散特性。當考慮聲波衰減時，蘭姆波的頻散曲線對應的波數和相速度均是復數。本文以應用廣泛的有機玻璃(PMMA)作為算例，表1列出了PMMA材料的參數，包括密度、縱波和橫波的聲速、對應的衰減系數[14]和三階彈性常數[15]。

表1 PMMA的各項參數Table 1 Parameters of PMMA

PMMA是一種黏彈性材料，聲波在其中具有較大的衰減。基于Kelvin-Voight模型，其縱波速度和橫波速度都是復數：

其虛部項表示聲波的衰減。如圖1所示，將復速度帶入蘭姆波的頻散方程可以得到各個蘭姆波模式的頻散曲線。由于考慮了聲波的衰減，在給定頻厚積下，蘭姆波的任何模式都有負的速度虛部，因此傳播模式和非傳播模式不再有明顯的區分。

圖1 蘭姆波對稱模式在復數域的頻散曲線Fig.1 Dispersion curve of Lamb wave symmetric modes in complex domain

2 等厚度板中的蘭姆波二次諧波解析解

非線性聲波方程缺乏一般的研究方法，但在弱非線性效應的情況下微擾法可以取得很好的近似。微擾法的基本思想是把待求的物理量表示成收斂的級數。該級數中的主要項是完全可解問題的解，而高階項描述完全可解問題相比實際問題產生的偏差。參照圖2中的坐標，基于微擾法的思想，將蘭姆波的位移寫為基頻項和二階微擾項的和：

圖2 等厚度的平板Fig.2 The uniform-thickness plate

其中，需要滿足|u(2)|?|u(1)|。蘭姆波基頻的位移可以展開為各個模態的位移：

其中，A(1)n為第n個模式的振幅，ˉu(1)n(y)為單位振幅下的位移場。在實際測量時，如果測量得到了蘭姆波模式n的表面振動位移uy(h)，則該模式的振幅為An=uy(h)/ˉuy(h)。

考慮三階彈性常數時，蘭姆波基頻項將產生體積力fi和表面應力σij：

其中，δij表示克羅內克函數，下標表示愛因斯坦求和約定，上標(1,1)表示體積力和表面應力是基頻波位移的二次型，因此頻率是基頻波頻率的兩倍。將體積力作為外力，得到二倍頻的有源聲波方程：

同時在上下邊界y=±h處滿足自由邊界條件：

其中，σ(2)是二次諧波在僅考慮二階彈性系數(線性情況下)產生的應力張量，ny是沿y軸方向的單位向量。將二倍頻的蘭姆波位移u(2)同樣展開為各個模式的和：

出于計算方便起見，二次諧波第n個模式的振幅包含了隨傳播距離x變化的相位項。

在超聲無損檢測的實際應用中，由于高頻蘭姆波的激發和接收較為困難，通常使用低頻S0模式作為激發非線性蘭姆波的基頻波，并同樣接收二倍頻的S0模式作為檢測信號[8-10]。從圖1的頻散曲線可以看出，在頻厚積較小的部分，S0模式只有輕微的色散。而其他模式和S0模式相速度嚴重不匹配，所以難以產生累積的二次諧波。因此本文接下來也限定為S0模的基頻波和二次諧波。將位移公式(8)帶入有源聲波方程(6)和邊界條件(7)得到：

3 緩慢變厚度板的二次諧波方程

如圖3所示，當板的厚度沿傳播距離發生變化時，對應了圖1中蘭姆波頻厚積的變化，但是當厚度變化足夠緩慢時，發生模式轉換和反射的振幅可以忽略不計，同時近似認為依然滿足水平自由邊界條件。然而，式(9)中的相關物理量均會隨傳播距離x發生變化。因此式(9)需要改寫為

圖3 厚度緩慢變化的板Fig.3 The plate with slowly-varying thickness

其中：

該方程具有解：

其中包含二次諧波相位的累積項：

由于厚度變化d(x)的任意性，實際計算時需要借助圖1中的頻散曲線進行數值積分求解。

Hu等[10]運用了類似的方法，在角度為0.17°時完成了厚度線性變化板的實驗驗證工作。本文改進了Hu等[10]的推導過程，使理論適用于角度更大的變厚度板，并將理論的適用范圍推廣至黏彈性介質。

4 算例和理論成立條件

本文在4種不同幾何形狀的板中設置90 kHz的S0模式蘭姆波，使用式(18)進行數值積分求解，并運用有限元方法(Finite element method,FEM)進行仿真驗證。有限元仿真使用顯性動力學程序，使用高斯調制的20個周期正弦波作為激勵信號。計算結果如圖4所示。

在圖4(a)中，由于色散特性，蘭姆波二次諧波的傳播產生了拍頻效應，色散長度符合式(9)。不考慮聲波衰減時，二次諧波的振幅經過色散長度的整數倍后會歸零。當考慮聲波衰減或板的厚度緩慢變化的情況時，拍頻效應將不再嚴格地被滿足。二次諧波的振幅依然會沿著傳播距離而振蕩，但在基頻能量消失前不會歸零。如圖4(b)～圖4(d)所示，基于不同幾何形狀的板，二次諧波的振幅累積具有不同的特性。

圖4 4種長度為1 m的板中的二次諧波振幅Fig.4 Second harmonic amplitudes in four plates with length of one meter

該半解析方法與有限元仿真結果吻合度較高，據此，基于有限元仿真的結果可以討論該理論成立的條件。通過前文的分析可以得出該理論經過了3處近似：

(1)微擾近似。微擾近似要求振幅不能過大，累計非線性諧波相比起基頻波是一個小量。一些實驗中典型的二次諧波振幅會小2～3個數量級。

(2)無散射近似。Feng等[16]提出了一種半解析計算方法，可用于計算時間上無限長的蘭姆波在變截面的板中的散射情況。另外也可以基于有限元仿真結果判斷基頻波的能流大小。對于坡度變化最大的圖4(d)模型，其最大角度為5.5°，有限元計算結果表明基頻波的能流在通過高斯變化的窄邊后損失小于1%，可以近似認為在傳播過程中無散射發生。

(3)小角度近似。當厚度變化的角度過大時，式(7)表示的上下水平自由邊界條件不再得到滿足。

通過第4節的4個算例發現，在坡度小于5°，同時最大厚度不超過最小厚度兩倍的情況下，可以很好地滿足上述的近似條件，使得該理論方法與有限元仿真的結果一致。

5 結論

本文運用微擾法推導了考慮聲波衰減時在厚度緩慢變化板中蘭姆波二次諧波的波動方程，并通過半解析方法給出了S0模式二次諧波的累積和傳播規律。用有限元仿真驗證了理論，并分析了理論成立的條件。結果表明，在滿足微擾近似、無散射近似、小角度近似的情況下，本文的理論模型具有較高的精度。因此，非線性蘭姆波檢測技術有望應用于波導厚度緩慢變化和存在衰減的情況。