交替投影盲反卷積的陣不變量被動定位*

王卓越 李宇? 王宇杰 遲騁

(1 中國科學院聲學研究所北京 100190）

(2 中國科學院先進水下信息技術重點實驗室北京 100190）

(3 中國科學院大學北京 100049）

0 引言

被動聲源定位問題一直是海洋聲學研究的熱點，常見的被動定位方法有三點定位、匹配場方法、波導不變量[1-2]、陣不變量法等。

陣不變量定位技術作為一種水聲信號處理技術，近幾年受到了廣泛關注。與基于模型的匹配場定位方法相比較，利用陣不變量的被動定位方法不需要海洋環境的準確知識，可以幾乎實時地進行目標的定位和跟蹤，是一種具有魯棒性和高效性的定位方法。

Lee等[3]在2006年提出了利用陣不變量的定位方法，該方法能夠利用聲源輻射信號多條入射路徑的入射角度隨時間偏移的偽彩圖來解算聲源的距離信息。但由于利用陣不變量的方法進行定位需要確保在波束域和時域中的多徑到達相互分離，因此無法直接應用于連續聲源的定位問題。

2010年，Sabra等[4]證明了利用基于射線的盲反卷積技術從未知的聲源信號中提取格林函數的可行性。2017年，盲反卷積和陣列不變量的組合被應用于未知波形的聲源定位問題上[5-6]，解決了無法利用陣不變量方法對水下連續聲源進行被動定位的問題。2019年，Byun等[7]將連續干擾消除過程成功應用在陣不變量測距方法上，完成了利用垂直陣區分并估計多個目標距離的工作。

上述研究在應用盲反卷積技術時，部分與所選波束相干性較低的路徑提取效果欠佳，使得提取出的格林函數圖像存在明顯的模糊，直接影響到陣不變量方法的定位精度。

針對上述問題，本文提出基于交替投影(Alternating projection,AP)[8-9]盲反卷積的陣不變量定位方法。該方法利用AP方法分離出多徑信號，對多個波束分別進行盲反卷積，并將不同波束提取出的格林函數相干聯合起來，最后通過盲反卷積技術與陣不變量方法的級聯實現被動定位。通過仿真實驗結果驗證了該方法在低信噪比條件下實時被動定位的能力，證明了AP盲反卷積技術有效解決了低信噪比下格林函數圖像模糊的問題，從而使陣不變量方法的定位精度顯著提高。

1 基于AP盲反卷積的陣不變量方法

圖1是本文算法的基本流程圖。該方法首先將AP方法應用于波束信號的分離上，利用提取的多個入射角進行盲反卷積得到多組格林函數的提取結果；再利用互相關函數(the cross-correlation function)補償多組提取結果的相對時延，實現格林函數的相干聯合估計；最后將聯合估計結果應用于陣不變量方法上，解算出聲源的位置信息。后文將根據圖1所示流程對基于AP盲反卷積的陣不變量方法進行詳細論述。

圖1 基于AP盲反卷積的陣不變量方法的流程圖Fig.1 Flow chart of matrix invariant method based on AP blind deconvolution

1.1 信號模型

一般針對利用垂直陣的陣不變量方法，采用如下模型[3]：假設垂直陣的中心位于(0,zc)處，連續聲源位于(r0,z0)處，θ是陣列的觀測角度，順時針為正方向，如圖2所示。

考慮一個位于淺海波導中rs=(rs,zs)的點聲源，如圖2所示，該點聲源廣播一個信號s(t)，其傅里葉變換為

圖2 垂直陣與聲源位置模型圖Fig.2 Vertical array and sound source position model diagram

在垂直陣列位于rn=(0,zn)的第n個陣元上的接收信號pn(t)是由M條多徑信號組成的，pn(t)的傅里葉變換可以表示為

其中，G(rn,rs,ω)是聲源與垂直陣(1≤n≤N)的第n個元素之間的時域格林函數g(rn,rs,t)的傅里葉變換；θi、a(θi)、Ti和αi分別表示第i條路徑到達角、轉向向量、到參考傳感器的時間延遲和路徑的復振幅；n(ω)為噪聲向量，矩陣A為轉向矩陣，其中每列代表多徑到達的轉向向量。根據射線近似，假定αi在頻率上近似恒定，即當使用單波束信號進行反卷積時可以假設αi是一個實數，是因為它的恒定相位被認為包含在s(x)中。然而，當多波束進行相干處理時，必須考慮其相位。

聲源波形矢量ν(ω)和轉向矢量a(θi)分別被定義為

式(4)中，τn(θi)表示第n個陣元與參考陣元之間的第i個路徑的時延差。因此，到達第n個陣元的第i路徑的總時延為Ti+τn(θi)，參數αi、Ti和τi的估計，等價于在射線近似下格林函數的估計。

從接收信號p(x)中分離源波形和格林函數的問題等價于找到以下方程的最優解：

1.2 盲反卷積技術

為了捕獲源信號及其未知相位分量Φs(ω)，可以將傳統的平面波波束形成應用于特定的波束方向，其輸出由式(6)給出：

波束形成器輸出的相位ψ(ω,θi)=Φs(ω)-ωTi，其中包含了源相位分量Φs(ω)，可通過相位旋轉從陣元接收數據Pn(ω)中移除：

聲源頻譜通常不是平坦的，式(7)通過歸一化Pn(ω)來消除信號源頻譜|S(ω)|。由?G(rn,rs,ω)表示盲反卷積的輸出結果，其中包括了格林函數幅度的估計值和與時間延遲T(θi)相對應的線性頻移ωT(θi)。

1.3 基于AP的盲反卷積技術

基于AP方法的盲反卷積技術與基于射線理論的盲解卷積(Ray-based blind deconvolution,RBD)技術最大的區別在于基與AP的盲反卷積技術改變了僅使用單個波束提取格林函數的方法，采用多波束聚焦的方式，充分利用各波束的信息對格林函數進行聯合估計。

基于AP方法的盲反卷積技術主要包括兩個步驟：首先通過AP方法實現波束的分離；再將不同波束提取出的格林函數聯合起來，實現格林函數的相干聯合估計。

1.3.1 利用AP方法進行波束信號分離

本節通過AP方法將式(5)所述的多變量非線性優化問題轉化為序列的一維優化問題[6]。首先應對第i條路徑的入射角θi進行估計，使用式(8)所述的連續干擾抵消過程(Successive interference cancellation,SIC)實現波束信號的分離。

假設多路徑的數量是已知的或可以估計的。AP方法和傳統的時延求和波束形成的差別在于AP法將前一次迭代中識別出的波束信號從剩余信號中減去。通過對產生的殘差信號進行波束形成來搜索后續入射角。這樣的迭代過程在估計后續入射角時可以減少已被識別波束的干擾。

如式(9)所示，ν(ω)包括波束到達時間和聲源信號頻譜的因子s(ω)。

1.3.2 基于相干聯合的格林函數提取方法

本節介紹利用1.3.1節分離出的多波束信號獲得格林函數(即信道沖擊響應，CIR)的方法。在傳統的RBD技術中，利用從波束形成器輸出中峰值最大的波束信號的相位來估計格林函數。當存在與所選波束信號低相干性的路徑時，RBD方案則不能很準確地檢測到這些路徑。為了解決這一問題，使用多個波束信號來估計格林函數，首先，從式(8)選擇了入射角為θi的波束，通過盲反卷積技術估計頻域的格林函數，如下所示：

這里?G(rn,rs,ω,θi)代表利用第個i波束獲得的第n個陣元的頻域格林函數。由于不同波束的格林函數具有不同的時間延遲，因此會產生相對時間偏移，在對不同波束提取的格林函數相干組合之前需要對相對時延進行補償。一般情況下，可以利用式(9)中ν(ω)元素之間的互相關系可以得到時間偏移信息。

互相關函數以及第1個波束到達的相對時間偏移量可以表示為

利用公式(12)給出的時間偏移信息，將利用不同波束提取的格林函數進行相干組合：

其中，ΔTi是ΔT的第i個元素。對于相干聯合，復振幅αi的相位差也需要補償，它也可以從ri(t)當t=ΔTi的相位中得到。

2 陣不變量方法

在沒有陣列傾斜的情況下，陣列不變量可以直接應用于通過盲反卷積提取的格林函數，用于源距離估計。聲源和垂直陣之間的水平距離r0從式(14)中獲得：

其中，c是本地聲速，其標準值為c=1500 m/s，對于理想的波導和底部相互作用的淺水環境，β≈1，這個公式就化簡為r0=-c/χ0。因此，聲源距離r0主要由陣不變量χ0決定，在淺水區為負值。陣列不變量χ0定義為

其中，s=sinθ，t是傳播時間。方程(15)使波束時間偏移圖中波束時間坐標(s,t)形成橢圓曲線。

3 算法實現

(1)轉向：采用常規平面波波束形成，旋轉波束朝向最大到達角，輸出為

其中，τn(θi)是相對于參考陣元的第n個陣元接收到的來自第i條路徑的時延差，Pn(ω)是在深度zn的第n個陣元接收到的信號pn(t)的傅里葉變換，N為接收陣陣元數目。波束輸出的相位信息ψ(ω,θi)=Φs(ω)-ωT(θi)，其中，Φs(ω)是未知聲源信息的相位，T(θi)是第i條路徑信號的傳播時間。a(θi)是第i條路徑對應的轉向向量。

(2)合成：假設入射功率在陣列上均勻分布，將波束轉向結果歸一化為1/N，重構第i束波束角對應的壓力場：

(3)移除：從總壓力場中減去合成壓力場(即干擾)得到去除第k個到達的修正聲壓場。

(4)利用AP方法實現波束多徑信號分離：

(6)利用多波束進行相干聯合格林函數估計公式如下：

式(21)中，Pn(ω)是第n個陣元接收到的原始信號pn(t)的傅里葉變換。

4 仿真分析

本節對連續噪聲源的情況進行仿真，驗證本文所提出算法的性能。

使用KRAKEN工具包仿真淺水環境下垂直陣的接收情況，環境參數如圖3所示。聲速剖面數據使用SWellEx-96實驗采集的聲速數據[10]，1996年進行的SWellEx-96實驗，其地點距離加利福尼亞州圣地亞哥附近的洛馬角大約12 km。實驗地點的聲速剖面如圖4所示，海面和海底附近聲速分別為1519 m/s和1488 m/s。海底采用兩層介質模型，介質密度為1760 kg/m3，聲衰減系數為0.2 dB/λ；沉積層厚度23.5 m，上界面聲速為1572.3 m/s，下界面聲速為1593.0 m/s；基底層為半無限空間，聲速為1593.0 m/s。

圖3 垂直陣仿真實驗聲源及陣列位置示意圖Fig.3 Sound source and array position diagram of vertical array simulation experiment

圖4 海洋環境模型Fig.4 Marine environmental model

使用置于上述波導環境中的25元垂直均勻線陣，陣元間距為1 m。布放在38～62 m水深處。仿真聲源信號為400～1200 Hz的寬帶噪聲信號。目標聲源距離陣列中心的距離分別為1600 m。帶內信噪比為20 dB。

圖5是使用KRAKEN對圖4所示的環境條件進行寬帶傳播建模的結果。模擬結果表明，接收信號的波前由表面和底部邊界的反射形成4組，接收陣元處的格林函數共8個多徑入射角。

圖5 KRAKEN仿真格林函數理論值Fig.5 KRAKEN simulation Green’s function theoretical value

使用前文中描述的AP方法進行波束分離的過程如圖6所示。從圖6(a)可以看出，波束1接近5.5°，從接收信號中消除波束1后，重新搜索波束最大值，找到波束2為-9°，即為圖6(b)所示；同理，消除波束1和波束2后波束3在13°，消除波束1、2、3后，波束4在19°，結果如圖6(c)和圖6(d)所示。

圖6 利用AP方法進行波束分離Fig.6 Beam separation using AP method

為了實現對格林函數的聯合估計，必須根據公式(20)描述校正各自波束信號之間的時延差。為此，使用強度最強的波束1信號來計算波束2、波束3和波束4信號的互相關函數，見式(11)和式(12)。得到多個分離波束信號的互相關函數如圖7所示。在互相關過程中，對每個波束信號進行歸一化處理，使所有波束信號具有相同的能量。當比較互相關函數的峰值振幅時，可以看到第2束、第3束與參考(第1)束有最大的相干性，而第4束的相干性比前兩束都低。將估計的波束信號之間的時延差被替換到公式(23)中，實現對格林函數的相干聯合估計。

圖7 分離波束信號的互相關系數Fig.7 Beam separation using AP method

如圖8所示，1、2，3、4顯示了分別使用波束1、2、3、4獲得的延時補償格林函數。其中利用各波束提取出的格林函數經過時延補償與波束1的到達時間是時間對齊的。

根據圖8(a)～圖8(d)所示，根據所選波束與其他路徑的相干程度，從單波束得到的格林函數可以看出利用不同波束提取格林函數的效果不同，波束1的提取效果明顯好于其他波束。圖8(e)顯示了用聯合估計算法得到的相干組合的格林函數。它等價于上面給出的4個格林函數的相干組合。結果表明，相干組合的格林函數比單波束的結果提供了更清晰的提取結果。相比于較為清晰的提取結果1，可以看出，提取結果5的第4條路徑和第6條路徑在強度上都有一定程度的提高。

圖8 利用不同波束提取出的格林函數Fig.8 Green’s function extracted by different beams

圖9分別是利用波束1單波束和聯合估計提取格林函數做出的波束時間偏移圖。圖9(a)是聯合估計算法得到的波束時間偏移圖，圖9(b)是單波束1的結果。利用圖9(a)聯合估計算法估計出的距離，相對誤差為0.8%；利用圖9(b)單波束常規方法估計出的距離，相對誤差為6.9%。

圖10是圖9中兩種波束時間偏移圖上第4個亮點的局部放大圖，藍色方框代表該亮點理論值，紅色方框是該亮點最大值實際出現的位置。可以看出利用波束1的單波束提取方案[11]偏離理論值的距離更遠，存在更大的模糊。通過聯合提取的方式能夠在一定程度上提高測距精度。

圖9 聯合提取方案和單波束方案的波束時間偏移圖Fig.9 Beam-time image of joint extraction scheme and single beam scheme

圖10 聯合提取方案和單波束方案波束時間偏移圖的局部放大圖Fig.10 Local magnification of beam-time image of joint extraction scheme and single beam scheme

由表1信噪比為5～20 dB時的測距結果可以得出結論：

表1 不同信噪比條件下多組距離仿真結果Table 1 Simulation results of multi-group distance under different SNR conditions

(1)在相對較高的信噪比條件下，利用陣不變量方法進行距離估計相對誤差基本在15%以內。

(2)將利用多波束聯合提取的格林函數應用在陣不變量方法上，定位精度顯著提高，在信噪比為10 dB的條件下，單波束提取方案平均距離估計的相對誤差為9.5%，多波束聯合估計方案相對平均估計誤差為4.7%，多波束提取方案的距離估計誤差降低了50.5%。

根據上述仿真結果，可以得出結論，在20 dB甚至更低的帶內信噪比條件下，隨著信噪比的降低，單波束提取方案的定位精度存在明顯的下降，利用多波束聯合提取方案的陣不變量方法測距方法具有更高的精度且更加穩健。可見將多波束聯合提取方法應用在陣不變量定位方法上，有效地解決了低信噪比情況下由于路徑相干性低引起的格林函數提取模糊的問題，從而間接改善了利用陣不變量方法的測距精度。

5 結論

本研究采用AP方法對傳統的盲反卷積技術進行了改進。基于AP方法的波束形成因為具有SIC過程從而具有更高的角度分辨率。可以將常規波束形成不能很好地分辨的小能量波束進行分離。此外，本文提出了一種將多個波束得到的格林函數結果相干聯合起來的方法。通過仿真實驗驗證，這種聯合估計格林函數的方法實現了對現有多路徑結構的更好的識別，也間接提高了利用陣不變量對連續噪聲源進行定位時的定位精度，提高了陣不變量方法在低信噪比條件下的穩健性。