用折合質(zhì)量法解答2022年高考全國(guó)乙卷第25題

江西 聶應(yīng)才 應(yīng)強(qiáng)強(qiáng)

2022年高考已落下帷幕,對(duì)高考試題的分析是一線教師研究命題規(guī)律、把握考向的重要手段。筆者用折合質(zhì)量法分析了2022年高考全國(guó)乙卷理綜物理壓軸題,提出復(fù)習(xí)課不是重復(fù)再現(xiàn),而是深度再學(xué)習(xí)過(guò)程,以供借鑒。

1 引言

(2022·全國(guó)乙卷·25)如圖1,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上;物塊B向A運(yùn)動(dòng),t＝0 時(shí)與彈簧接觸,到t＝2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖2所示。已知從t＝0到t＝t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同。斜面傾角為θ(sinθ＝0.6),與水平面光滑連接。碰撞過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求:

圖1

圖2

(1)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

(2)第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

2022年高考全國(guó)乙卷理綜物理壓軸題第25題,實(shí)質(zhì)是二體問(wèn)題。對(duì)于這種問(wèn)題,如果在地面參考系與A(或B)參考系間切換,則科學(xué)思維更流暢、方程更簡(jiǎn)捷、計(jì)算更簡(jiǎn)化、解答更明了,會(huì)使問(wèn)題變得十分簡(jiǎn)單;但在以A(或B)為參考系時(shí),需要將另一物體B(或A)的質(zhì)量進(jìn)行折合,兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為m1、m2,則其折合質(zhì)量μ＝。下面筆者運(yùn)用折合質(zhì)量法進(jìn)行解答。

2 解答過(guò)程

2.1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能——柯尼希定理

Ek＝為S系中質(zhì)心的動(dòng)能,得出S系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能可視為質(zhì)心動(dòng)能與S′系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能之和,即著名的柯尼希定理。

第3問(wèn)與第1問(wèn)都是能量關(guān)系問(wèn)題,解決了第1問(wèn),接著思考第3問(wèn)。第一次碰撞后,物塊A以2v0速度沿斜面上滑,假設(shè)上滑最大路程為s,由動(dòng)能定理得

設(shè)物塊A下滑離開(kāi)斜面時(shí)速度大小為v,同理

物塊A以速度v向左運(yùn)動(dòng),與以速度0.8v0向右運(yùn)動(dòng)的B相互作用,作用結(jié)束,B速度變?yōu)関B,因A到達(dá)的最高點(diǎn)和前一次相同,則A仍以2v0速度沿斜面上滑。取向右為正方向,由動(dòng)量守恒定律得

A、B作用過(guò)程是資源動(dòng)能與彈簧彈性勢(shì)能間的轉(zhuǎn)化,有

③④聯(lián)立,解得vB＝0.2v0,v＝v0

將數(shù)據(jù)代入②式,并結(jié)合①式,解得物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ0＝0.45。

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的牛頓運(yùn)動(dòng)定律

兩質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,如果以其中某個(gè)質(zhì)點(diǎn)作為參考系,另外質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律是f＝μaμ,式中f是質(zhì)點(diǎn)間的作用力,μ是折合質(zhì)量,aμ是折合加速度,即它們的相對(duì)加速度。根據(jù)折合質(zhì)量概念,可直接用牛頓運(yùn)動(dòng)定律討論任何二體問(wèn)題的相對(duì)運(yùn)動(dòng),而無(wú)需考慮慣性力。第一次碰撞過(guò)程中,以地面為參考系,某時(shí)刻A的加速度為aiA ＝,方向向右;B的加速度為aiB ＝,方向向左。

在0～t0時(shí)間內(nèi),A的 位移

以A為參考系,0～t0時(shí)間內(nèi),B的位移即為彈簧壓縮量的最大值,相對(duì)初速度是1.2v0,方向向右;折合加速度aiμ ＝aiA ＋aiB ＝,方向向左。B相對(duì)于A做減速運(yùn)動(dòng),相對(duì)位移

解得Δx＝1.2v0t0－0.432v0t0＝0.768v0t0。這就是第一次碰撞過(guò)程中,彈簧壓縮量的最大值。

3 教學(xué)啟示

3.1 拓展知識(shí),發(fā)展思維

教學(xué)的重心不只是知識(shí)的傳授,以知識(shí)為載體,提升學(xué)生核心素養(yǎng)才是關(guān)鍵,而科學(xué)思維又是物理素養(yǎng)的核心,發(fā)展思維,才是以不變應(yīng)萬(wàn)變的策略。發(fā)展思維的有效路徑之一是要善于延伸拓展知識(shí),不拘泥于教材。我們不妨對(duì)此題再次進(jìn)行深入挖掘。

【拓展1】彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式Ep＝,式中k是彈簧的勁度系數(shù),x為彈簧的形變量。求物塊A、B第二次與第一次碰撞過(guò)程的彈簧壓縮量最大值之比。

第二次碰撞過(guò)程中,A、B的資源動(dòng)能為(v＋0.8v0)2＝,因此這次彈簧彈性勢(shì)能最大值為,則第二次與第一次彈簧壓縮量最大值之比為

【拓展2】求彈簧的勁度系數(shù)k的表達(dá)式。

從0～2t0時(shí)間內(nèi),以物塊B為參考系,物塊A在平衡位置(彈簧原長(zhǎng)處)以速度1.2v0向左壓縮彈簧,在t0時(shí)刻,彈簧最短,A速度為零,然后反彈,2t0時(shí)刻回到平衡位置,速度是1.2v0,方向向右,整個(gè)過(guò)程做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),周期T＝4t0。由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式T＝,解得彈簧的勁度系數(shù)

【拓展3】物塊A和B用此彈簧相連,放在水平臺(tái)面上。彈簧自然長(zhǎng)度為l0,A、B與水平臺(tái)面的動(dòng)摩擦因數(shù)均和A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同,現(xiàn)將它們拉開(kāi)距離l,同時(shí)由靜止釋放,求彈簧第一次回到自然長(zhǎng)度時(shí),兩物塊的相對(duì)速度。

如此變式拓展訓(xùn)練,進(jìn)一步夯實(shí)了學(xué)生的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念、能量觀念等物理觀念,同時(shí)提升了模型建構(gòu)、科學(xué)論證和科學(xué)推理等科學(xué)思維素養(yǎng)。

3.2 再度審視,進(jìn)階學(xué)習(xí)

高中物理知識(shí)點(diǎn)近160個(gè),核心知識(shí)20多個(gè),高考內(nèi)容集中在這些核心知識(shí)中,為了提高熟練程度,許多學(xué)校在高考復(fù)習(xí)期間安排學(xué)生做了大量習(xí)題,為遏制刷題內(nèi)卷,高考試題總是“出乎意料”,提醒教師應(yīng)該提煉物理概念和規(guī)律,從新課需要的視角進(jìn)行復(fù)習(xí)。學(xué)習(xí)進(jìn)階是對(duì)學(xué)生在各階段學(xué)習(xí)同一主題的概念時(shí)所遵循連貫的、典型的學(xué)習(xí)路徑的描述,一般呈現(xiàn)為圍繞核心概念展開(kāi)的一系列由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、相互關(guān)聯(lián)的概念序列。復(fù)習(xí)不是重復(fù),而是進(jìn)階學(xué)習(xí)。

微元法滲透在不同知識(shí)板塊中,著重化“變”為“不變”的物理思想,然后在“不變”的基礎(chǔ)上連續(xù)求和的方法,⑤⑥式借用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)微元求和,是對(duì)它的一種提煉升華。新課處理雙星問(wèn)題時(shí),通常引導(dǎo)學(xué)生理解軌道半徑與星體間距離關(guān)系,角速度、周期、線速度等關(guān)系,列幾個(gè)方程來(lái)求解,但如果以其中一顆星體作為參考系,就轉(zhuǎn)化成了常規(guī)的行星運(yùn)動(dòng)模型,其質(zhì)量就要用折合質(zhì)量代替。折合質(zhì)量法處理雙星體將會(huì)“別有風(fēng)味”。

4 結(jié)語(yǔ)

二體問(wèn)題引入折合質(zhì)量,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)不變,相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的資源動(dòng)能是系統(tǒng)內(nèi)機(jī)械能與其他能轉(zhuǎn)化的總量,可以迅速轉(zhuǎn)化為其他能的極值;動(dòng)力學(xué)方程不用考慮是否為慣性系,將質(zhì)量換算成折合質(zhì)量,列式與以地面為參考系的牛頓運(yùn)動(dòng)定律一樣。如此思考就簡(jiǎn)單明了了。

高考承擔(dān)著“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”功能,高考試題對(duì)一線教學(xué)發(fā)揮著積極的指導(dǎo)作用,復(fù)習(xí)不僅是要做題,更要發(fā)展學(xué)生科學(xué)思維,對(duì)于相同知識(shí)內(nèi)容,不同階段要作不同深度、廣度的高階思維學(xué)習(xí),不能僅是重復(fù)再現(xiàn)。